3 Решение типового варианта

Задание 1. Найти следующие интегралы:

а) , б), в), г).

а) .

Решение.

Поскольку , то

.

Ответ:

б) .

Решение.

Применим формулу интегрирования по частям .

Ответ:

в) .

Решение.

Применим универсальную тригонометрическую подстановку . Тогда,,. Следовательно,

Ответ:

г) .

Решение.

Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:

Коэффициенты ,найдем из условия:

. (1)

Подставим в равенство (1) значения и.

Таким образом,

.

Ответ:

Задание 2. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Применим подстановку . Получим

Ответ:

Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций .

Решение. Найдем точки пересечения данных кривых. Для этого решим систему уравнений:

.

Решаем полученное уравнение

.

.

Получаем

,.

Таким образом, точки пересечения кривых имеют координаты: и.

Построим данную фигуру (рис.1).

Рис.1.

Площадь данной фигуры находим по формуле :

.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница

.

Ответ: (кв. ед.).

Задание 4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

а) ,.

а) .

Решение. Это несобственный интеграл I рода (с бесконечным пределом интегрирования). Согласно определению несобственного интеграла I рода

имеем

.

Поскольку , то

Ответ:

б) .

Решение. Это несобственный интеграл II рода (от неограниченной функции). Согласно определению несобственного интеграла II рода

.

Поскольку при подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв, имеем

.

Ответ: .

Задание 5. Найти полный дифференциал функции

Решение. Полный дифференциал функции двух переменных вычисляется по формуле

В нашем случае

Следовательно,

Ответ:

Задание 6. Исследовать на экстремумы функцию

Решение. Найдем частные производные данной функции.

,.

Найдем критические точки функции, которые являются решением системы уравнений

Решаем систему уравнений

или

Решая получившиеся системы уравнений, получим координаты четырех критических точек данной функции: ,,,

Проверим для каждой из них достаточные условия экстремума. Найдем частные производные второго порядка. ,,. Вычислим значения вторых частных производных в каждой критической точке.

Для точки имеем:,,.

Значит, в точке данная функция имеет минимум.

Для точки имеем:

,,.

Значит, в точке данная функция имеет максимум.

Для точки имеем:,,

Значит, в точке данная функция не имеет экстремума.

Для точки имеем:

,,

Значит, в точке данная функция экстремума не имеет.

Ответ:

Задание 7. Вычислить двойной интеграл где областьограничена линиями:

Решение. Найдем точки пересечения кривых, решив систему уравнений

точки пересечения данных линий. Построим область (рис. 2). Для этого уравнение окружностипреобразуем к видуЗначит, центр окружности имеет координатыа радиус окружности равен 1.

Рис.2.

Выберем направление интегрирования вдоль оси Областьограничена линиями

Следовательно,

Ответ:

Задание 7. Вычислить где областьограничена поверхностями

Решение. Изобразим область .

Рис.3.

Проекцией области на плоскостьявляется окружностьДля удобства вычисления перейдем к цилиндрическим координатам по формуле

.

Уравнения поверхностей ив цилиндрических координатах примут видисоответственно, проекция поверхности на плоскостьпримет вид. Получаем

Ответ:

Задание 7. Найти координаты центра масс области , лежащей в плоскостии ограниченной линиями, если ее плотность в каждой точке пропорциональна сумме координат этой точки.

Решение. Построим область .

Рис.4.

Координаты центра масс найдем по формулам:

гдемасса области,

статические моменты области относительно осиисоответственно,поверхностная плотность.

По условию задачи , гдекоэффициент пропорциональности.

Область ограничена снизу прямойсверху – прямой,. Следовательно,

Следовательно,

Ответ: