- •50 Лекций по микроэкономике
- •Часть I. Введение в микроэкономику
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Что такое рынок?
- •Раздел 1. Понятие равновесия
- •Раздел 2. Существование и единственность равновесия
- •Раздел 3. На конном рынке
- •Раздел 4. Размышления по поводу цены равновесия
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. От чего зависят желания покупателей?
- •Раздел 1. Понятие сдвига кривой спроса
- •Раздел 2. Полезность и спрос
- •Раздел 0.У барбоса есть вопросы. От чего зависят желания продавцов
- •Раздел 1. Предложение и производительность. Кривая предложения. Сдвиг кривой предложения
- •Раздел 2 будет посвящен более подробному анализу функции затрат производства, а в разделе 2 лекции 4 будет рассматриваться функция выручки и поведение предприятий в различных типах рыночных структур.
- •Раздел 2. Общее понятие о затратах. Кривые средних и предельных затрат
- •Раздел 3. Закон убывающей производительности
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Сколько на рынке продавцов и покупателей. Важно ли это?
- •Раздел 1. Понятие о структуре рынка
- •Раздел 2. Поведение предприятий в условиях совершенной конкуренции и чистой монополии
- •Раздел 3. Антитрестовское законодательство сша
- •Раздел 4. Экономическая монополия в условиях рыночной экономики и административная монополия отраслевого министерства - в чем разница?
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. У всех покупателей одинаковое отношение к рыночной цене?
- •Раздел 1. Индивидуальный спрос и спрос на рынке в целом.
- •Раздел 2. Кривая спроса и наблюдаемая динамика продаж
- •Раздел 3. Независим ли выбор потребителя?
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. У всех ли продавцов одинаковое отношение к рыночной цене?
- •Раздел 1. Индивидуальное предложение и предложение на рынке в целом
- •Раздел 2. Предложение в трех периодах
- •Раздел 3. Формирование рынка автомобилей в сша
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Упрямые и покладистые покупатели
- •Раздел 1. Что показывает эластичность
- •Раздел 2. Как измерить эластичность
- •Раздел 3. Ценовая дискриминация
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Товары заменяют или дополняют друг друга. Как это влияет на спрос?
- •Раздел 1. Кривая безразличия и норма замены
- •Раздел 2. Бюджетная линия и равновесие потребителей
- •Раздел 3. Понятие о частичном и общем равновесии
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Как цена плетет паутину рынка?
- •Раздел 1. Понятие устойчивости равновесия. Паутинообразная модель
- •Раздел 2. Сравнение подходов Вальраса и Маршалла к проблеме устойчивости равновесия
- •Раздел 3. Государство, спекулянты и устойчивость рыночного равновесия
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Что можно предпринять, если цена не в состоянии скоординировать действия на рынке?
- •Раздел 1. Государственное регулирование рынка. Налоги и дотации. Фиксированные цены
- •Раздел 2. Внешние эффекты и затраты. Общественные блага. Дифференциация доходов населения
- •Часть II. Теория потребления и спроса
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Желает ли себе добра потребитель?
- •Раздел 1. Свобода выбора и суверенитет
- •Часть II нашего издания полностью посвящена потреблению и потребительскому спросу.
- •Раздел 2. Рациональность
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Что полезнее - вода или алмаз?
- •Раздел 1. Общая и предельная полезность
- •Раздел 2. Кривая спроса
- •Раздел 3. Законы Госсена
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы.Можно ли обойтись без неуловимой предельной полезности?
- •Раздел 1. Проблема потребительского выбора
- •Раздел 2. Полезность и предпочтения. Количественная и порядковая теории полезности
- •Раздел 3. Основные предположения ординалистской теории полезности
- •Раздел 4. Кривые безразличия
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы.Как лучше истратить деньги?
- •Раздел 1. Множество допустимых возможностей потребителя. Бюджетная линия
- •Раздел 2. Оптимум потребителя
- •Раздел 3. От порядковой полезности к количественной
- •Раздел 4. Как тратили деньги советские люди
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Как поступает потребитель, когда меняются доход и цены?
- •Раздел 1. Реакция потребителя на изменение дохода
- •Раздел 2. Реакция потребителя на изменение цен
- •Раздел 3. Кривые Энгеля
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы.Что можно еще увидеть на кривой спроса?
- •Раздел 1. Уравнение Слуцкого
- •Раздел 2. Случай разнонаправленного влияния эффекта замены и эффекта дохода
- •Раздел 3. Приглашение к историческому поиску
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы.Получает ли потребитель прибыль?
- •Раздел 1. Излишек потребителя
- •Раздел 2. Что объясняет сумма излишков потребителей?
- •Раздел 3. Жюль Дюпюи - первооткрыватель потребительского излишка
- •Раздел 4.Налоги, дотации и излишки
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Что лучше сейчас или потом?
- •Раздел 1. Межвременный выбор во времени
- •Раздел 2. Логика сложных процентов
- •Раздел 3. Теория человеческого капитала
- •Раздел 4. Из истории ростовщичества
- •Раздел 5. Потребительский кредит в сша
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Можно ли определить, насколько изменился жизненный уровень?
- •Раздел 1. Индекс реального дохода
- •Раздел 2. От Ирвинга Фишера до Александра Конюса
- •Раздел 3. Практика расчетов индекса стоимости жизни
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Общество одинаковых людей?
- •Раздел 1. Дифференциация доходов: хорошо это или плохо?
- •Раздел 2. Способы измерения дифференциации доходов. Кривые Лоренца
- •Раздел 3. Неопределенность равновесия
- •Раздел 4. Расшифрованная статистика
- •Раздел 5. Тенденции изменения дифференциации доходов
- •Часть III. Теория производства и предложения
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Можно ли считать потребление и производство в чем-то похожими?
- •Раздел 1. Производство полезности
- •Раздел 2. Полезность обмена
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Какие законы производства мы знаем?
- •Раздел 1. Производственная функция
- •Раздел 2. Характеристики производства
- •Раздел 3. Технический прогресс и производственная функция
- •Раздел 4. Штрихи к портрету производственной функции
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Что же такое стоимость?
- •Раздел 1. Затраты фирмы в коротком периоде
- •Раздел 2. Затраты фирмы в длительном периоде
- •Раздел 3. Затраты, отдача от масштаба и структура рынка
- •Раздел 4. Альтернативные затраты. Из истории экономической мысли
- •Раздел 5. Высшее образование: отдача от масштаба
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Что объяснил Коуз?
- •Раздел 1. Зачем экономике нужна фирма?
- •Раздел 2. Рациональные границы интеграции
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Легко ли быть конкурентом?
- •Раздел 1. Равновесие фирмы и отрасли в коротком периоде
- •Раздел 2. Равновесие фирмы и отрасли в длительном периоде
- •Раздел 3. Развитие понятия "совершенная конкуренция"
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Хорошо ли быть единственным?
- •Раздел 1. Поведение монополии в коротком периоде
- •Раздел 2. Монополия в длительном периоде
- •Раздел 3. Монополия с несколькими заводами
- •Раздел 4. Монополия и общественные потери
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Зачем продавать по разным ценам?
- •Раздел 1. Дискриминационное поведение монополии
- •Раздел 2. Типы ценовой дискриминации
- •Раздел 3. История понятия "ценовая дискриминация"
- •Раздел 4. Тарифы на электрическую энергию и ценовая дискриминация
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Каждому свой товар?
- •Раздел 1. Дифференциация продукта
- •Раздел 2. Поведение фирмы в коротком и длительном периодах
- •Раздел 3. Мировой и российский опыт рекламы
- •Раздел 4. Патиентная (нишевая) стратегия конкурентной борьбы
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Как жить на рынке с несколькими хозяевами?
- •Раздел 1. Структура рынка
- •Раздел 2. Поведение олигополистов
- •Раздел 3. Из истории сговора: международные картели в электротехнике
- •Раздел 4. Преимущество первого хода
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Что такое "много" и что такое "мало"?
- •Раздел 1. Количественные методы оценки структуры рынка
- •Раздел 2. Изменения в рыночной структуре американской экономики
- •Раздел 3. Из истории российских монополий
- •Часть IV. Рынки факторов производства
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Что и зачем покупает фирма?
- •Раздел 1. Факторы и ресурсы
- •Раздел 2. Редкость ресурсов
- •Раздел 3. Кругооборот экономических благ
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. От чего зависит спрос на ресурсы?
- •Раздел 1. Спрос фирмы на ресурс. Конкуренция на рынке продукта
- •Раздел 2. Спрос на ресурс фирмы-монополиста
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Кто такие "прочие равные"?
- •Раздел 1. Совершенная конкуренция на рынке ресурса
- •Раздел 2. Монополия на рынке ресурса
- •Раздел 3. "Сетевые" монополии
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Кто обладает властью на рынке?
- •Раздел 1. Монопсония на рынке ресурса
- •Раздел 2. Двусторонняя монополия на рынке ресурса
- •Раздел 3. Рынки ресурсов : антимонопольная практика
- •Раздел 4. Монопсония Советского государства на рынке зерна 1926 г.
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Mного ли человеку надо?
- •Раздел 1. Индивидуальное предложение труда
- •Раздел 2. Рыночное предложение труда
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Плата - за что?
- •Раздел 1. Экономическая рента как часть дохода фактора
- •Раздел 2. Земельная рента
- •Раздел 3. Теория ренты : из истории исследований
- •Раздел 4. Рынок городских земельных участков
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Сколько стоит время?
- •Раздел 1. Домашние хозяйства и фирмы на рынке заемных средств
- •Раздел 2. Равновесие на рынке заемных средств
- •Раздел 3. Посредники на рынке заемных средств : коммерческие банки и другие финансовые институты
- •Раздел 4. Российский рынок в первой половине 90-х годов
- •Раздел 5. Из ранней истории банков
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Иметь или не иметь?
- •Раздел 1. Цена права собственности
- •Раздел 2. Вечные и изнашиваемые ресурсы
- •Раздел 3. Цена раба
- •Раздел 4. Лизинг
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Как должен распределяться доход?
- •Раздел 1. О распределении в целом
- •Раздел 2. От чего зависит доход фактора
- •Раздел 3. Из истории исследования проблемы распределения
- •Раздел 4. Статистика доходов
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Прибыль: бухгалтерская, экономическая или нормальная?
- •Раздел 1. Теория прибыли
- •Часть V. Теория общественного благосостояния
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Что такое равновесие?
- •Раздел 1. Частичное и общее равновесие
- •Раздел 2. Модель Вальраса
- •Раздел 3. Леон Вальрас
- •Раздел 4. Изменение относительных цен в России после 1992 г.
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Что такое эффективность?
- •Раздел 1. Что экономисты понимают под эффективностью?
- •Раздел 2. Эффективность без цен
- •Раздел 3. Эффективность и конкурентное ценообразование
- •Раздел 4. Вильфредо Парето
- •Раздел 5. "Первое наилучшее" и "второе наилучшее"
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Как из частных выгод сделать общественное благосостояние?
- •Раздел 1. Выбор "эффективность - справедливость
- •Раздел 2. Функции общественного благосостояния
- •Раздел 3. Иеремия Бентам
- •Раздел 4. Разговоры в пользу бедных, или Джон Роулз - великий борец за теоретическую справедливость
- •Раздел 5. В поисках справедливости : шведский эксперимент[21]
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Как быть с неравенством?
- •Раздел 1. Почему необходимо перераспределение?
- •Раздел 2. Неравенство и его измерение
- •Раздел 3. Социальные трансферты в России и в других странах
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Сколько стоит чистый воздух?
- •Раздел 1. Внешние эффекты и их регулирование
- •Раздел 2. Теорема Коуза
- •Раздел 3. Рональд Коуз - история и причины успеха
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Кто такие "зайцы"?
- •Раздел 1. Классификация и свойства общественных благ.
- •Раздел 2. Эффективный объем предоставления общественных благ
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Что общего у государства с рынком?
- •Раздел 1. Избиратели, политики и чиновники
- •Раздел 2. Парадоксы коллективного выбора
- •Раздел 3. Когда государство оказывается "несостоятельным"
- •Раздел 4. Новая политическая экономия Джеймса Бьюкенена
- •Раздел 5. Поиск ренты в экономике России
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Как монополии берут власть?
- •Раздел 1.Ущерб от монополизации (в традиционной трактовке и теории поиска ренты)
- •Раздел 2. Естественная монополия
- •Раздел 3. Естественная монополия : инструменты регулирования
- •Раздел 4."Естественная монополия" в железнодорожной отрасли: опыт Запада и России"
- •Раздел 5. Локальные естественные монополии в переходной экономике России (на примере "Водоканалов")
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Сколько стоит кот в мешке?
- •Раздел 1. Рынки с асимметричной информацией
- •Раздел 2. Эффекты асимметрии
- •Раздел 0. У барбоса есть вопросы. Как проваливается государство?
- •Раздел 1. Экономический анализ провалов государства
- •Раздел 2. Экономическая теория бюрократии
- •Раздел 3. Национализация как провал государства уроки британского опыта
Раздел 2. Логика сложных процентов
В одной из книг Якова Исидоровича Перельмана есть такой сюжет.
Человек кладет в банк 1000 руб. под 100 % годовых. Это значит, что при хранении вклада в течение года его величина вырастает на 100 % первоначального значения, т. е. на 1000 руб. и если вкладчик предполагает хранить свои деньги в банке ровно в течение года, он сможет в конце этого периода получить 1000 + 1000 = 2000 руб.
Правила хранения таковы, что вкладчик может в любой момент получить свои деньги.
Проценты простые, т.е. приращение вклада пропорционально времени хранения. Если вкладчик захочет получить свои деньги через два года, то его вклад увеличится на 2000 руб. ему будет причитаться всего 3000 руб., а если он захочет снять свои деньги через полгода, то вклад увеличится на 500 руб. и составит всего 1500 руб.
Но вкладчик все-таки хочет хранить деньги в банке ровно год. И ему в голову приходит такая мысль: а что если через полгода ему переоформить вклад, т. е. как бы получить деньги и сразу же положить их снова храниться еще полгода? Сумма, выросшая за полгода, составит, как мы видели, 1500 руб. А если эти 1500 руб оставить теперь еще на полгода в банке, то сумма увеличится еще на 1500·1/2 = 750 руб. и составит 2250 руб. Это больше, чем та сумма, которая получилась бы без переоформления, так что такая операция вкладчику, безусловно, выгодна.
Читатель, возможно, заметил, что мы могли бы все расчеты выполнить проще. За первые полгода вложенная сумма возрастает в 1 + 1/2 =l.5 раза. За вторые полгода уже новая сумма возрастает в 1.5 раза, так что всего в конце года вкладчик должен получить:
1000(1 + 1/2)2 = 2250 руб.
Но вернемся к нашему вкладчику. Он продолжает свои размышления: а если переоформлять вклад через каждый квартал? Тогда в конце концов получится:
1000(1+1/4)4 = 2441.41 руб.,
т. е. еще больше! (Если вы захотели проверить результат, учтите, что мы округляем результат до целых копеек).
Легко сообразить, что, переоформляя вклад N раз в течение года, вкладчик в конце концов получит:
1000 (l+1/N)N руб.
При ежемесячном переоформлении вклада сумма составит 2613.04 руб., а при ежедневном, считая, что банк работает без выходных, — 2714.57 руб. Как видим, переход от N = 12 к N = 365 не очень сильно увеличил сумму — всего на 101 руб. с копейками, — так что выигрыш едва ли стоит ежедневных хлопот с переоформлением.
Но в мысленном эксперименте мы можем пойти еще дальше: а что произойдет при бесконечно частом переоформлении? Величина (1+1/N)N, как известно из курса математики, при N → + стремится к пределу, равному е ≈ 2.718 281 8... Таким образом, если переоформление вклада превратится в непрерывный процесс, то при 100 % годовых вкладчик к концу года сможет получить в банке 1000е ≈ 2718.28 руб., т. е. доход на вложенную 1000 руб. составит 2718.28 – 1000 = 1718.28 руб.
Теперь мы отойдем от перельмановского сюжета и попытаемся найти ответы на некоторые вопросы. Вполне ли разумны рассмотренные нами правила хранения вклада?
Нельзя ли их улучшить? И что означает цифра “100 % годовых”, если при соблюдении всех правил вкладчик может получить в течение года доход почти 172 %?
Чем неудачны правила, предложенные банком? Они побуждают вкладчика часто переоформлять свой вклад. При этом он не получает и не вкладывает никаких денег. Как будто ничего не происходит — а его доход увеличивается.
Банк, назначив ставку 100 % в год, должен быть готов за пользование вкладом в течение года заплатить без малого 172 % и при этом загрузить своих служащих бесполезной работой по переоформлению вкладов.
Можно, конечно, запретить вкладчику какое-то время совершать операции по своему вкладу или по крайней мере понижать процентную ставку, если вкладчик захочет воспользоваться своими деньгами в течение “запретного” периода. Можно ввести плату за переоформление. Можно не накапливать доход на счете вкладчика, а выплачивать ему причитающиеся суммы “непрерывно” (на практике — через короткие промежутки времени). Но мы рассмотрим другую возможность: попытаемся отказаться от простых процентов, т. е. от начисления дохода пропорционально сроку хранения вклада, и попробуем найти такую зависимость дохода от времени хранения вклада, которая избавила бы и вкладчика, и банк от перечисленных выше неудобств. Уязвимым местом первоначального правила начисления дохода было следующее обстоятельство: операции, не изменяющие в момент их совершения количества денег у каждой из сторон, тем не менее изменяли в конце концов доход вкладчика. Назовем такие операции фиктивными; попытаемся сконструировать правила таким образом, чтобы выполнение фиктивных операций не изменяло дохода вкладчика. Пусть v обозначает сумму, вносимую вкладчиком в момент t0; сумму, которую он получит в банке через некоторое время, в момент t1, обозначим w. Функция роста, связывающая эти величины:
w = F(v, t0, t1),
выражает количественную сторону правила начисления дохода. Для правила простых процентов, которое мы теперь ставим под сомнение, эта функция описывает линейную зависимость от времени хранения:
w = F(v, t0, t1),
выражает количественную сторону правила начисления дохода. Для правила простых процентов, которое мы теперь ставим под сомнение, эта функция описывает линейную зависимость от времени хранения:
w = v[1 + (t0 – t1), |
где коэффициент определяется процентной ставкой.
Потребуем, чтобы функция роста обладала следующими тремя свойствами.
1. Стационарность: один и тот же по величине вклад при одной и той же продолжительности хранения дает одно и то же значение функции роста, независимо от момента вложения (рис. 4). Иными словами, значения функции роста должны зависеть только от разности Т = t0 – t1. Приняв это требование, мы можем записать функцию роста как w = F(v, T).
Рис. 4. Стационарность роста
2. Аддитивность: рост суммы вкладов равен сумме функций роста по каждому из вкладов в отдельности (рис. 5). Зафиксируем моменты внесения и получения вкладов и рассмотрим зависимость размера выплаты w только от величины первоначального вклада: w = G(v). Требование аддитивности означает выполнение равенства:
G(x + y) = G(x) + G (y) (1) |
Рис. 5. Аддитивность роста
В чем смысл этого требования? Если бы при каких-нибудь значениях х и y имело бы место неравенство:
G(x + y) < G(x) + G(y), |
то вкладчику было бы выгодно свой вклад v = х + y разделить на два вклада размером х и y. Но количество денег у вкладчика не зависит от того, сделает ли он один вклад размером 1000 руб. или разделит его на части размером 300 и 700 руб. Не зависит от этого и количество денег, поступающее в распоряжение банка, так что дробление вклада — фиктивная операция.
Если бы, напротив, имело место неравенство:
G(x + y) > G(x) + G(y), |
вкладчик был бы заинтересован, например, объединиться с приятелем, договорившись о распределении дополнительного дохода. Но такое объединение — тоже фиктивная операция. Итак, мы признали требование (1) разумным. Но непрерывная функция, обладающая этим свойством — это прямая пропорциональность:
G(v) = kv. |
Доказательство этого факта помещено в Математическом приложении VI. Вспомним, что функция G(v) описывает рост при фиксированных моментах t0 и t1. Если же эти моменты произвольны, то коэффициент k должен зависеть от t0 и t1, а поскольку мы приняли допущение о стационарности, коэффициент k должен зависеть от продолжительности хранения вклада. Таким образом, мы пришли к следующему результату: функция роста, отвечающая требованиям 1 и 2, должна иметь вид:
F(v, T) = vk(T). (2) |
Функцию k(T) будем называть коэффициентом роста вклада.
3. Согласованность во времени. Пусть вклад v за время хранения вклада T1 возрастает до значения w1, а вклад w1 за последующий период хранения T2 возрастает до w2 (рис. 6).
Потребуем, чтобы за время хранения T1 + T2 первоначальный вклад v возрастал до того же самого значения w2. Иными словами, мы хотим, чтобы фиктивная операция переоформления вклада не изменяла дохода вкладчика.
Рис. 6. Согласованность во времени
Из равенства (2) следует:
w1 = vk(T) и w2 = w1k(T2) = vk(T1)k(T2). |
Мы требуем, чтобы выполнялось также равенство:
w2 = vk(T1 + T2). |
Таким образом, коэффициент роста должен удовлетворяет условию:
k(T1 + T2) = k(T1)k(T2). (3) |
Подобно тому как условию (1) соответствует только прямая пропорциональность, требованию (3), предъявляемому к коэффициенту роста, отвечает только показательная функция:
k(T) = eρT. |
Коэффициент ρ показывает, с какой скоростью происходит рост вклада.
Таким образом, всем трем рассмотренным требованиям отвечает функция:
w = vρT.. |
Заметим, что коэффициенту роста можно придать эквивалентную форму:
k(T) = RT, (4) |
или:
k(T) = (1+r)T, (5) |
полагая R = eρ, r = R – 1.
Теперь в нашем распоряжении имеются различные показатели, характеризующие скорость возрастания вклада. Между ними существует взаимно однозначная связь. В частности,
ρ = lnR = ln(1 + r).
Выясним, что показывает каждый из этих показателей.
Из равенства (4) видно, что при Т = 1, т. е. при хранении вклада в течение единицы времени (например, года), первоначальный вклад увеличивается в R раз, или возрастает на долю r своей первоначальной величины. Величина r100 % обычно называется процентной ставкой, а формула (5) — формулой сложных процентов. Будем считать, что вклад производится в момент t0 после чего доход начисляется непрерывно; будем рассматривать накопленную сумму вклада w(t) как функцию текущего времени. По прошествии временивклад несколько увеличится; его относительный прирост в единицу времени составит:
d = [w(t + Δt) – w(t)]/w(t) Δt.
Мгновенную относительную скорость получим, переходя к пределу при Δt → +:
d = (1/w(t))(dw(t)/dt).
Если рост происходит в соответствии с уравнением (4):
w(t) = veρ(t – t0), |
то dw(t)/dt = ρveρ(t – t0)
и δ = ρ.
Последний результат разъясняет смысл показателя ρ.
В той ситуации, которая рассматривалась в начале этого раздела, вкладчик имел возможность непрерывно переоформлять вклад из расчета 100 % годовых, т. е. фактически мог получать доход на основе сложных процентов при ρ = 1. Этому значению соответствует рост за год в R = е1 ≈ 2.718 раза, т. е. действительная процентная ставка составляла 171.8 % годовых. Если бы при тех же правилах банк хотел установить действительную процентную ставку 100 %, то при непрерывном начислении дохода следовало бы взять ρ = ln 2 ≈ 0.693.
В примере была использована высокая процентная ставка для того, чтобы было заметнее различие между результатами применения формул простых и сложных процентов.
Разложение показательной функции в степенной ряд:
eρt = 1 + ρt + (ρt)2/2! + (ρt)3/3! + … |
показывает, что при ρt << 1 можно пренебречь слагаемыми, в которые ρt входит во второй и более высоких степенях:
eρt » 1+ ρt. |
При этом, во-первых, функции роста для простых и для сложных процентов принимают близкие значения; во-вторых, показатели r и r также близки друг к другу. Например, е0.05 ≈ 1.0512. Если ρ = 5 % в год и t = 1 году, то действительная процентная ставка равна 5.12 % годовых. Если, наоборот, ρ = 5 % годовых, то r = ln 1.05 ≈ 0.0488. Разница, как видим, невелика.
Поэтому в Сбербанке принято следующее правило начисления дохода по вкладам до востребования, допускающим операции не чаще одного раза в день: в пределах календарного года действует правило простых процентов, а в конце года остаток вклада увеличивается на величину образовавшегося за год дохода, что равносильно операции переоформления вклада в нашем примере; при хранении вклада на протяжении ряда лет в целом действует формула (5).
Приведенные здесь соотношения позволяют соизмерять доходы и затраты, относящиеся к различным моментам времени.
Пусть потребитель рассчитывает получить доход W через Т лет. Какому сегодняшнему доходу равноценна для него эта величина? Иными словами, какие ради этого затраты он согласен понести сегодня? Ответ на оба эти вопроса дает величина, получившая название сегодняшней (или текущей) ценности дохода, ожидаемого в будущем.
Получить через Т лет сумму W потребитель мог бы, положив сегодня в банк сумму PV, удовлетворяющую соотношению:
PV (1+r)T = W. |
Это и есть та сумма, которую потребитель согласен не расходовать на сегодняшнее потребление ради будущего дохода, т. е. сегодняшняя ценность этого дохода.
Итак, сегодняшняя ценность дохода W, ожидаемого через Т лет, равна:
PV = W/(1+r)T. (6) |
Так, если r = 20 % годовых, Т = 20 лет, то сегодняшняя ценность дохода в 1000 руб. составляет всего:
PV = 1000/1.220 ≈ 26.08 руб. |
Если же потребитель рассчитывает получать доход в течение ряда лет и его величина, падающая на Т-й год, равна WТ(Т = 1, 2, ..., N), то сегодняшняя ценность распределенного по времени дохода:
(7) |