-
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение
(14)
называется
линейным
дифференциальным уравнением первого
порядка.
Неизвестная функция
и её производная входят в это уравнение
линейно, а функции
и
непрерывны.
Если
,
то уравнение
(15)
называется
линейным
однородным.
Если
,
то уравнение (14) называется линейным
неоднородным.
Для нахождения решения уравнения (14) обычно используют метод подстановки (Бернулли), суть которого в следующем.
Решение уравнения (14) будем искать в виде произведения двух функций
,
(16)
где
и
-
некоторые непрерывные функции. Подставим
и производную
в уравнение (14):
или
Функцию
v
будем подбирать таким образом, чтобы
выполнялось условие
.
Тогда
.
Таким образом, для нахождения решения
уравнения (14) нужно решить систему
дифференциальных уравнений
Первое
уравнение системы является линейным
однородным уравнением и решить его
можно методом разделения переменных:
,
,
,
,
.
В качестве функции
можно
взять одно из частных решений однородного
уравнения, т.е. при С=1:
.
Подставим во второе уравнение системы:
или
.Тогда
.
Таким образом, общее решение линейного
дифференциального уравнения первого
порядка имеет вид
.
Пример
6.
Решить уравнение
.
Решение.
Решение уравнения будем искать в виде
.
Тогда
.
Подставим в уравнение:
или
.
Функцию v
выберем таким образом, чтобы выполнялось
равенство
.
Тогда
.
Решим первое из этих уравнений методом
разделения переменных:
,
,
,
,
.
Функцию v
подставим во второе уравнение:
,
,
,
.
Общим решением данного уравнения
является
.
Вопросы для самоконтроля знаний
-
Что называется дифференциальным уравнением?
-
Что называется порядком дифференциального уравнения?
-
Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?
-
Как записывается дифференциальное уравнение первого порядка в дифференциальной форме?
-
Что называется решением дифференциального уравнения?
-
Что называется интегральной кривой?
-
Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?
-
Что называется частным решением дифференциального уравнения?
-
Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?
-
Какова геометрическая интерпретация задачи Коши?
-
Как записывается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме?
-
Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?
-
Каким методом можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка и в чём суть этого метода?
Задания для самостоятельной работы
-
Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.