3. Формула Бернулли

Испытания называются независимыми, если при каждом из них событие А наступает с одной и той же вероятностью , не зависящей от того, наступило или не наступило это событие в других испытаниях. Вероятность противоположного события в этом случае равна .

Пример 11. Бросается игральный кубик n раз. Обозначим событие A={выпадение трёх очков}. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна и не зависит от того, наступило или не наступило это событие в других испытаниях. Поэтому эти испытания являются независимыми. Вероятность противоположного события {не выпадение трёх очков} равна .

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна p, событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), вычисляется по формуле , где . Эта формула называется формулой Бернулли и удобна она в том случае, если число испытаний n не слишком велико.

Пример 12. Доля плодов, заражённых болезнью в скрытой форме, составляет 25%. Случайным образом отбирается 6 плодов. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется: а) ровно 3 заражённых плода; б) не более двух заражённых плодов.

Решение. По условию примера .

а) По формуле Бернулли вероятность того, что среди шести отобранных плодов заражёнными окажутся ровно три, равна

0.132.

б) Обозначим событие A={заражённых будет не более двух плодов}. Тогда . По формуле Бернулли:

0.178;

0.356;

0.297.

Следовательно, 0.178+0.356+0.297=0.831.

4. Теоремы Лапласа

По формуле Бернулли находится вероятность того, что событие А наступит k раз в n независимых испытаниях и в каждом испытании вероятность события А постоянна. При больших значениях n вычисления по формуле Бернулли становятся трудоёмкими. В этом случае для вычисления вероятности события А целесообразнее использовать другую формулу.

Локальная теорема Лапласа. Пусть вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно k раз при достаточно большом числе n испытаний, вычисляется по формуле

, где , а значения функции приведены в таблице.

Основными свойствами функции являются:

Функция определена и непрерывна в интервале .

Функция положительна, т.е. >0.

Функция чётная, т.е. .

Так как функция чётная, то в таблице приведены её значения только для положительных значений х.

Пример 13. Всхожесть семян пшеницы составляет 80%. Для опыта отбирается 100 семян. Найти вероятность того, что из отобранных семян взойдут ровно 90.

Решение. По условию примера n=100, k=90, p=0.8, q=1-0.8=0.2. Тогда . По таблице найдём значение функции : . Вероятность того, что из отобранных семян взойдут ровно 90, равна 0.0044.

При решении практических задач возникает необходимость найти вероятность наступления события А при n независимых испытаниях не менее раз и не более раз. Такая задача решается с помощью интегральной теоремы Лапласа: Пусть вероятность p наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы. Тогда вероятность того, что событие наступит не менее раз и не более раз при достаточно большом числе испытаний, вычисляется по формуле

, где , .

Функция называется функцией Лапласа и не выражается через элементарные функции. Значения этой функции приведены в специальных таблицах.

Основными свойствами функции являются:

.

Функция возрастает в интервале .

при .

Функция нечётная, т.е. .

Пример 14. Предприятие выпускает продукцию, из которой 13% не высшего качества. Определить вероятность того, что в непроверенной партии из 150 единиц продукции высшего качества будет не менее 125 и не более 135.

Решение. Обозначим . Вычислим ,

. Тогда

.