-
Метод потенциалов
Допустимый план задачи, полученный методом «северо-западного угла» или методом «минимального элемента», будем называть первоначальным планом.
Одним из методов, позволяющих на основании первоначального плана получить оптимальный план, является метод потенциалов. Суть его в следующем.
После
того, как найден первоначальный план
перевозок, каждому поставщику
(каждой
строке) ставится в соответствие некоторое
число
,
а каждому потребителю
(каждому столбцу) - некоторое число
.
Числа
и
называются потенциалами
поставщика и потребителя и выбираются
так, чтобы в любой занятой (загруженной)
клетке их сумма равнялась тарифу этой
клетки, т.е.
.
(3)
Для определения числовых значений потенциалов, одному из них нужно придать произвольное числовое значение, а остальные вычислить по равенству (3).
Для проверки оптимальности плана просматриваются свободные клетки и для каждой из них вычисляется сумма потенциалов
.
Эти суммы называются косвенными тарифами. Затем для каждой свободной клетки вычисляются разности
,
которые
называются оценками
(характеристиками)
свободных клеток. План будет оптимальным,
если для каждой свободной клетки оценка
есть величина неотрицательная, т.е.
.
Отрицательные оценки указывают на
перспективность клеток, загрузка которых
приведёт к улучшению плана.
Таким образом, для решения транспортной задачи методом потенциалов необходимо:
построить
какой-нибудь допустимый план перевозок
(первоначальный план);
вычислить
потенциалы
и
;
вычислить
суммы потенциалов для свободных клеток
(косвенные тарифы)
;
проверить
оценки
.
Если
все
для свободных клеток, то полученный
план будет оптимальным. Если хотя бы
одна оценка
,
то в число занятых клеток вводят клетку,
для которой оценка минимальна, и получают
новый план перевозок. Процесс продолжается
до тех пор, пока не будет получен план,
для которого все
.
Пример
3.
Проверить на оптимальность первоначальный
план, полученный в предыдущем примере,
при котором затраты на перевозку
составили
.
Решение. Вначале для каждой заполненной клетки построим систему потенциалов, удовлетворяющих (3).
|
Потенциалы |
|
|
|
|
Наличие |
|
|
2 15 |
3
|
5 15 |
4 |
30 |
|
|
3 5 |
2 25 |
4
|
1 10 |
40 |
|
|
4
|
3 |
2 20 |
6
|
20 |
|
Потребности |
20 |
25 |
35 |
10 |
90 |
Затем
для каждой незаполненной клетки найдём
косвенные тарифы
и оценки
:
Так
как
,
то клетка (2,3) является перспективной
для перевозок и её необходимо загрузить.
|
Потенциалы |
|
|
|
|
Наличие |
|
|
2 15 + |
3
|
5 15 - |
4 |
30 |
|
|
3 5 - |
2 25 |
4 + |
1 10 |
40 |
|
|
4
|
3 |
2 20 |
6
|
20 |
|
Потребности |
20 |
25 |
35 |
10 |
90 |
Загрузив клетку (2,3) и перераспределив перевозки, получим новый план.
|
Потенциалы |
|
|
|
|
Наличие |
|
|
2 20 |
3
|
5 10 |
4 |
30 |
|
|
3
|
2 25 |
4 5 |
1 10 |
40 |
|
|
4
|
3 |
2 20 |
6
|
20 |
|
Потребности |
20 |
25 |
35 |
10 |
90 |
Затраты
на перевозки равны
.
Полученный план снова проверим на оптимальность, для чего для незаполненных клеток построим новую систему потенциалов и найдём оценки.
|
Потенциалы |
|
|
|
|
Наличие |
|
|
2 20 |
3
|
5 10 |
4 |
30 |
|
|
3
|
2 25 |
4 5 |
1 10 |
40 |
|
|
4
|
3 |
2 20 |
6
|
20 |
|
Потребности |
20 |
25 |
35 |
10 |
90 |
Так как все оценки неотрицательны, то полученный план перевозок является оптимальным.
Многие задачи, которые по экономическому смыслу не являются транспортными, в математическом смысле подобны транспортным, так как описываются аналогичной моделью. Таким образом, для решения таких задач можно использовать рассмотренные ранее методы.