sfme2009_8

Працьовитий О.М.

Для даної кривої, як і для кривої S* , залишається нерозв’язаною задача про її аналітичне задання. Обчислення її фрактальної розмірності теж є непростою задачею і вимагає строгих математичних міркувань.

Література

1.Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. - М.: МЦНМО, 2005. - 150 с.

2.Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. - М.: Постмаркет, 2000. – 352 с.

3.Морозов А.Д. Введение в теорію фракталов. – Изд-во Нижегородского ун-та, 2004. – 160 с.

4.Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, функции,

распределения. — К.: Наук. думка, 1992. — 208 с.

5. Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 254 с.

Петриченко С.А.

розбивки, і досить прості, якщо відповіді - результати незалежних парних порівнянь. Звідси випливає рекомендація з організації експертного опитування: не намагайтеся відразу одержати від експерта ранжування або розбивку, йому важко це зробити, та й наявні математичні методи не дозволяють далеко просунутися в аналізі подібних даних. Наприклад, рекомендують перевіряти погодженість ранжувань за допомогою коефіцієнта рангової конкордації Кендалла-Сміта. Але доречно згадати, яка статистична модель при цьому використовується. Перевіряється нульова гіпотеза, відповідно до якої ранжировки незалежно й рівномірно розподілені на множині всіх ранжувань. Якщо ця гіпотеза приймається, то звичайно, ні про яку погодженість думок експертів говорити не можна. А якщо відхиляється? Теж не можна. Наприклад, може бути два (або більше) центри, біля яких групуються відповіді експертів. Нульова гіпотеза відхиляється. Але хіба можна говорити про погодженість?

Експертові набагато легше на кожному кроці порівнювати тільки два об'єкти. Нехай він займається парними порівняннями. Непараметрична теорія парних порівнянь (теорія люсіанів) дозволяє вирішувати більш складні задачі, чим статистика ранжувань або розбивок. Зокрема, замість гіпотези рівномірного розподілу можна розглядати гіпотезу однорідності, тобто замість збігу всіх розподілів з одним фіксованим (рівномірним) можна перевіряти лише збіг розподілів думок експертів між собою, що природно трактувати як погодженість їхніх думок. Таким чином, вдається позбутися від неприродного припущення рівномірності.

При відсутності погодженості експертів природно розбити їх на групи подібних за думкою. Це можна зробити різними методами статистики об'єктів нечислової природи, що ставляться до кластер-аналізу, попередньо ввівши метрику в простір думок експертів. Ідея американського математика Джона Кемені про аксіоматичне введення метрик (див. нижче) знайшла численних продовжувачів. Однак методи кластер-аналізу звичайно є евристичними. Зокрема, неможливо з позицій статистичної теорії обґрунтувати "законність" об'єднання двох кластерів в один. Є важливе виключення - для незалежних парних порівнянь (люсіанів) розроблені методи, що дозволяють перевіряти можливість об'єднання кластерів як статистичну гіпотезу. Це - ще один аргумент за те, щоб розглядати теорію люсіанів як ядро математичних методів експертних оцінок.

Знаходження підсумкової думки комісії експертів. Нехай думки комісії експертів або якоїсь її частини визнані погодженими. Яка ж підсумкова

МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ ЕКСПЕРТНИХ ОЦІНОК

(середнє, загальне) думка комісії? Відповідно до ідеї Джона Кемені варто знайти середню думку як розв’язок оптимізаційної задачі. А саме, треба мінімізувати сумарну відстань від кандидата в середні до думок експертів. Знайдене таким способом середню думку називають "медіаною Кемені".

Математична складність полягає в тому, що думки експертів лежать у деякому просторі об'єктів нечислової природи. Загальна теорія подібного усереднення розглянута вище. Зокрема, показано, що в силу узагальнення закону більших чисел середня думка при збільшенні числа експертів (чиї думки незалежні й однаково розподілені) наближається до деякої межі, що природно назвати математичним сподіванням (випадкового елемента, що має той же розподіл, що й відповіді експертів).

У конкретних просторах нечислових думок експертів обчислення медіани Кемені може бути досить складною справою. Крім властивостей простору, велика роль конкретних метрик. Так, у просторі ранжувань при використанні метрики, пов'язаної з коефіцієнтом рангової кореляції Кендалла, необхідно проводити досить складні розрахунки, у той час як застосування показника розходження на основі коефіцієнта рангової кореляції Спірмена приводить до впорядкування по середніх рангах.

Бінарні відносини й відстань Кемені. Як відомо, бінарне відношення А на скынченній множині Q = {q1 , q2 ,..., qk } - це підмножина декартового квадрата Q2 = { (qm , qn ), m, n = 1,2,…,k} . При цьому пари (qm , qn ) входить в А тоді й тільки тоді, коли між qm і qn є розглянуте відношення.

Кожну кластеризоване ранжування, як і будь-яке бінарне відношення, можна задати матрицею || x(a, b) || з 0 і 1 порядку k x k. При цьому x(a, b) = 1 тоді й тільки тоді, коли a < b або a = b. У першому випадку x(b, a) = 0, а в другому x(b, a) = 1. При цьому хоча б одне із чисел x(a, b) і x(b, a) дорівнює 1.

Як використовувати зв'язок між ранжуваннями й матрицями? Наприклад, з визначення суперечливості пари (a, b) випливає, що для знаходження всіх таких пар можна скористатися матрицями, що відповідають ранжуванням. Досить поелементно перемножити дві матриці ||x(a, b)|| і ||y(a, b)||, що відповідають двом кластеризованим ранжуванням, і відібрати ті й тільки ті пари, для яких x(a, b)y(a, b)=x(b, a)y(b, a)=0.

В експертних методах використовують, зокрема, такі бінарні відношення, як ранжування (упорядкування, або розбивки на групи, між якими є строгий порядок), відношення еквівалентності, толерантності (відношення подібності).

Петриченко С.А.

Означення. Відстанню Кемені між бінарними відношеннями А і В, заданими матрицями || a(i, j) || і || b(i, j) || відповідно, називається число

k

D (A, B) = ∑| a(i, j) − b(i, j) | ,

i, j=1

де підсумовування виробляється по всім i, j від 1 до k, тобто відстань Кемені між бінарними відношеннями дорівнює сумі модулів різниць елементів, що стоять на тих самих місцях у відповідним їм матрицях.

Легко бачити, що відстань Кемені - це число нерівних елементів у матрицях || a(i, j) || і || b(i, j) || .

Відстань Кемені заснована на деякій системі аксіом. Ця система аксіом і висновок з її формули для відстані Кемені між упорядкуваннями міститься в книзі [2], що зіграла велику роль у розвитку в нашій країні такого наукового напрямку, як аналіз нечислової інформації. Надалі під впливом Дж. Кемені були запропоновані різні системи аксіом для одержання відстаней у тих або інших використовуваних в соціально-економічних дослідженнях простора, наприклад, у просторах множин [1].

Медіана Кемені й закони великих чисел. За допомогою відстані Кемені знаходять підсумкову думку комісії експертів. Нехай А1 , А2 , А3 ,…, Ар - відповіді р експертів, представлені у вигляді бінарних відносин. Для їхнього усереднення використовують так звану медіану Кемені

p

Arg min ∑D (Ai ,A) ,

i=1

де Arg min - ті або те значення А, при яких досягає мінімуму зазначена сума відстаней Кемені від відповідей експертів до поточної змінної А, по якій і проводиться мінімізація. Таким чином,

p

∑D (Ai ,A) = D (A1 ,A) + D (A2 ,A) + D (A3 ,A) +…+D(A р ,A) .

i=1

Крім медіани Кемені, використовують середнє по Кемені, у якому замість D (Ai ,A) стоїть D2 (Ai ,A) .

Медіана Кемені - окремий випадок визначення емпіричного середньої в просторах нечислової природи. Для неї справедливий закон великих чисел, тобто емпіричне середнє наближається при збільшені числа складових (тобто р - числа доданків у сумі), до теоретичного середнього:

p

Arg min ∑D (Ai ,A) Arg min М D (A1 , A) .

i=1

МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ ЕКСПЕРТНИХ ОЦІНОК

Тут М - символ математичного сподівання. Передбачається, що відповіді р експертів А1 , А2 , А3 ,…, А р є підстави розглядати як незалежні однаково розподілені випадкові елементи (тобто як випадкову вибірку) у відповідному просторі довільної природи, наприклад, у просторі впорядкувань або відносин еквівалентності. Систематично емпіричні й теоретичні середні й відповідні закони великих чисел розглянуті у відповідній главі справжньої книги.

Закони великих чисел показують, по-перше, що медіана Кемені має стійкість стосовно незначної зміни складу експертної комісії; по-друге, при збільшенні числа експертів вона збігається до деякої границі. Її природно розглядати як істину думку експертів, від якого кожний з них трохи відхилявся по випадкових причинах.

Розглянутий тут закон великих чисел є узагальненням відомого в статистиці "класичного" закону великих чисел. Він заснований на іншій математичній базі - теорії оптимізації, у той час як "класичний" закон великих чисел використовує підсумовування. Упорядкування й інші бінарні відносини не можна складати, тому доводиться застосовувати іншу математику. Розглянемо приклад обчислення медіани Кемені.

Приклад. Нехай дана квадратна матриця (порядку 9) попарних відстаней для множини бінарних відносин з 9 елементів А1 , А2 , А3 ,..., А9 (див. табл.3). Необхідно знайти в цій множині медіану для множини з 5 елементів {А2 , А4 , А5,

А8 , А9}.

Табл. 1. Матриця попарних відстаней

Відповідно до визначення медіани Кемені варто ввести в розгляд функцію

С(А) = ∑ D(Ai ,A) = D(A2 ,A)+D(A4 ,A)+D(A5 ,A)+D(A8 ,A)+D(A9 ,A),

Петриченко С.А.

розрахувати її значення для всіх А1 , А2 , А3 ,..., А9 і вибрати найменше. Проведемо розрахунки:

С(А1) = D (A2 ,A1) + D (A4 ,A1) + D (A5 ,A1) +D (A8 ,A1) + D (A9 ,A1) = = 2 + 1 +7 +3 +11 = 24,

С(А2) = D (A2 ,A2) + D (A4 ,A2) + D (A5 ,A2) +D (A8 ,A2) + D (A9 ,A2) = = 0 + 6 + 1 + 5 + 1 = 13,

С(А3) = D (A2 ,A3) + D (A4 ,A3) + D (A5 ,A3) +D (A8 ,A3) + D (A9 ,A3) = = 5 + 2 + 2 + 5 +7 = 21,

С(А4) = D (A2 ,A4) + D (A4 ,A4) + D (A5 ,A4) +D (A8 ,A4) + D (A9 ,A4) = = 6 + 0 + 5 + 8 + 8 = 27,

С(А5) = D (A2 ,A5) + D (A4 ,A5) + D (A5 ,A5) +D (A8 ,A5) + D (A9 ,A5) = = 1 + 5 + 0 +3 + 7 = 16,

С(А6) = D (A2 ,A6) + D (A4 ,A6) + D (A5 ,A6) +D (A8 ,A6) + D (A9 ,A6) = = 3 + 4 + 10 + 1 + 5 = 23,

С(А7) = D (A2 ,A7) + D (A4 ,A7) + D (A5 ,A7) +D (A8 ,A7) + D (A9 ,A7) = = 2 + 3 +1 + 6 + 3 = 15,

С(А8) = D (A2 ,A8) + D (A4 ,A8) + D (A5 ,A8) +D (A8 ,A8) + D (A9 ,A8) = = 5 + 8 + 3 + 0 +9 = 25,

С(А9) = D (A2 ,A9) + D (A4 ,A9) + D (A5 ,A9) +D (A8 ,A9) + D (A9 ,A9) = = 1 + 8 + 7 + 9 + 0 = 25.

Із всіх обчислених сум найменша дорівнює 13, і досягається вона при А = А2, отже, медіана Кемені - це А2 .

Звернемо увагу на те, що мінімум може досягатися не в одній точці, а в декількох. Тому медіана Кемені - це, загалом кажучи, не елемент відповідного простору, а його підмножина. Тому більш правильно сказати, що даних табл.3 медіана Кемені - це множина {А2}, що складається з одного елемента А2 , тобто в умовах приклада

p

Arg min ∑D (Ai ,A) = {А2}.

i=1

Узагальному випадку обчислення медіани Кемені - задача цілочислового програмування. Зокрема, для її знаходження використовуються різні алгоритми дискретної оптимізації, зокрема, засновані на методі галузей і границь. Застосовують також алгоритми, засновані на ідеї випадкового пошуку, оскільки для кожного бінарного відношення неважко знайти множину його сусідів.

МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ ЕКСПЕРТНИХ ОЦІНОК

Рангова кореляція.

Вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Спірмена.

Нехай вибірка об'єму п містить незалежні об'єкти, які володіють двома якісними показниками: А і В. Під якісним мають на увазі показника, який неможливо виміряти точно, але він дозволяє порівнювати об'єкти між собою й послідовно розташувати їх у порядку спадання або зростання якості. Для визначеності домовимося розташовувати об'єкт у порядку погіршення якості.

Розташуємо спочатку об'єкти в порядку погіршення якості за показником А. Припишемо об'єкту, який знаходиться на 1-му місці, число — ранг хі , що дорівнює порядковому номеру об'єкта: хі = і . Потім розташуємо об'єкти в порядку спадання якості за показником В і припишемо кожному з них ранг (порядковий номер) уі , причому (для зручності порівняння рангів) індекс і при у як і раніше дорівнює порядковому номеру об'єкта за показником А.

У підсумку одержимо дві послідовності рангів:

де di = xi - yi , п — об'єм вибірки.

Абсолютна величина коефіцієнта рангової кореляції Спірмена не перевищує одиниці: ρB £ 1.

Для обґрунтованого судження про наявність зв'язку між якісними показниками варто перевірити, чи значущий вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Спірмена . Тому, нехай генеральна сукупність складається з об'єктів, які володіють двома якісними показниками: А і В. Із цієї сукупності витягнута вибірка об'єму n: і по ній знайдений вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Спірмена ρВ ¹ 0 . Потрібно перевірити нульову гіпотезу H 0 : ρB = 0 про рівності нулю генерального коефіцієнта рангової кореляції Спірмена.

Петриченко С.А.

Якщо нульова гіпотеза приймається, то це означає, що між ознаками А і В не має значущого рангового кореляційного зв'язку (вибірковий коефіцієнт ρВ не значущий); у противному випадку між показниками є значущий ранговий кореляційний зв'язок (вибірковий коефіцієнт ρВ значущий).

tкр (α, κ )— критична точка двохсторонньої критичної області, що знаходять за таблицями критичних точок розподілу Стьюдента, за рівнем значимості α і

нульову гіпотезу відкидають. Між якісними показниками існує значущий ранговий кореляційний зв'язок.

Вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Кендалла.

Можна оцінювати зв'язок між двома якісними показниками, використовуючи коефіцієнт рангової кореляції Кендалла. Нехай ранги об'єктів вибірки об'єму n (тут збережені всі позначення пункту a):

Вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Кендалла знаходять за формулою

τ B = (4R )-1, n n -1

де n - об'єм вибірки, R - сума рангів Ri (i = 1, 2,K, n -1).

МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ ЕКСПЕРТНИХ ОЦІНОК

Абсолютна величина коефіцієнта рангової кореляції Кендалла не перевищує одиниці: τ B £ 1.

Для обґрунтованого судження про наявність зв'язку між якісними показниками варто перевірити чи значущий вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Кендалла. Тому, нехай генеральна сукупність складається з об'єктів, які володіють двома якісними показниками: А і В. Із цієї сукупності витягнута вибірка об'єму п і по ній знайдений вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Кендалла τ В ¹ 0 . Потрібно перевірити нульову гіпотезу H 0 :τ B = 0 про рівність нулю генерального коефіцієнта рангової кореляції Кендалла.

Якщо нульова гіпотеза приймається, то це означає, що між показниками А і В немає значущого рангового кореляційного зв'язку (вибірковий коефіцієнт τB незначущий); в протилежному випадку між ознаками є значущий ранговий кореляційний зв'язок (вибірковий коефіцієнт τB значущий).

Правило. Для того щоб при рівні значущості α перевірити нульову

гіпотезу про рівність нулю генерального коефіцієнта рангової кореляції Кендалла при конкуруючій гіпотезі H1 :τ B ¹ 0 , треба обчислити критичну точку

кореляційний зв'язок між якісними показниками незначущий. Якщо τ В > Tкр —

нульову гіпотезу відкидають. Між якісними ознаками існує значущий ранговий кореляційний зв'язок.

Приклад. Два викладачі А і В перевірили 15 студентів на швидкість реакції та розмістили їх в порядку погіршення реакції (у дужки взяті порядкові номери студентів із однаковою реакцією):

Розв’язання. Обчислимо коефіцієнт рангової кореляції Спірмена: