Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный педагогический университет им. М.П. Драгоманова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

sfme2009_8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2016

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

				Савченко І.О., Філєр З.Ю.
	Суми членів гармонічного ряду та відповідний інтеграл і стала Ейлера
Y		1
1,1		y(x) =
		x
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	X
-0,1
					Рис. 1
			2. Існування «сталої Ейлера» для інших рядів

Позначимо Cn = Sn − In , де Sn = ∑an , де an = f (n) й f (x) > 0 . Якщо

k =1

f (x) монотонна і обмежена (тоді зростання членів ряду обмежене), то «стала

				∞	1
Ейлера» C f	= lim Cn	= lim	(Sn − In ) існує. Прикладами таких рядів є: ∑		1	, де
Ейлера» C f	= lim Cn	= lim	(Sn − In ) існує. Прикладами таких рядів є: ∑		α	, де
	n→∞	n→∞		n=1	n
∞		∞
α > 0 , ∑arctg(n) ,		∑th(x) . Ряди з членами		arctg(n) і th(n) розбіжні, бо
n=1		n=1

члени їх не прямують до нуля при n → ∞, але відповідні сталі для них існують. Незалежно від збіжності ряду та інтегралу, послідовність Cn може бути

збіжною, тобто для неї існує C

= lim C

навіть при зростанні a . Ця стала буде

n→∞

різною для різних функцій f (x) .

Приклад 1. Розглянемо збіжний узагальнений гармонічний ряд з

показником α = 2 >1: Sn =

+... +

+…; збіжний й інтеграл In ,

30	Математика

ВИКОРИСТАННЯ «СТАЛОЇ ЕЙЛЕРА» ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ СУМ

n+1 dx

2 > C

бо

In =

= −

−1

=1 −

→1.

Тут

– сталої Ейлера,

∫1 x

n +1

1/ x

2 = S -1 =

ζ (2) -1 =

π 2

-1 » 0,644934068 ¹ C , ζ (x) - дзета-функція Рімана.

1/ x

Суму S можна знайти за допомогою безпосереднього підсумовування, бо відповідний ряд збіжний. Виникає питання про арифметичну природу цього числа. Відомо, що сума ряду обернених квадратів дорівнює π 2 / 6 [3], тому тут C є числом ірраціональнім, трансцендентним через трансцендентність числа π , доведену ще в XIX ст.

3. Застосування «сталої Ейлера» для знаходження частинних сум

∞

Приклад 2. Розглянемо розбіжний ряд ∑

=1 +

+ ....

2n -1

n=1

Функція

f (x) =

спадає на проміжку

x ³1

і набуває додатних значень.

2x -1

легко обчислюється In =

n+1

ln(2x -1)

n+1

ln(2n +1) ® ¥ .

Інтеграл

∫1 2x -1

Знаючи «сталу Ейлера», ми зможемо із заданою точністю знаходити частинні суми. Візьмемо в Microsoft Excel взяти 5000 членів ряду:

Табл. 1

Обчислення «сталої Ейлера» для ряду з членами a = (2n -1)−1
							n

	n	a	S	n	I	n	C ≈ Sn − In
		n		n		n

	1	1		1	0,255413		0,744587

	2	0,333333	1,333333		0,423649		0,909684

	3	0,2	1,533333		0,549306		0,984027

	…	…		…		…	…

	4998	0,0001	5,240152		4,055814		1,184338

	4999	0,0001	5,240252		4,055914		1,184338

	5000	0,0001	5,240352		4,056014		1,184338

Аналіз повної таблиці показує, що для досягнення точності δ = 1 для

1000

Cn достатньо взяти n =1500 членів.

На рис. 2 ми бачимо, що зі зростанням n частинні суми ряду та інтеграл однаково себе поводять і «стала Ейлера» існує.

Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8

Савченко І.О., Філєр З.Ю.

Рис. 2

	∞		1
Приклад 3. Розглянемо ряд:	∑						. Оскільки відповідна

		(2n +1) ln		2	(2n +	1)
	n=1
функція невід’ ємна і спадає на	проміжку		n ³1, то			збіжність ряду можна

встановити за інтегральною ознакою, розглянувши послідовність

n+1	dx		1
In = ∫	dx	= −	1

	(2x +1) ln2 (2x +1)		2ln(2x +1)
1

n+1

=	1		1	−	1
						.

2		ln 3			ln(2n + 3)

«Сталу Ейлера» з точністю до семи вірних знаків досить швидко можна знайти за допомогою комп’ютера, взявши 5000 членів ряду: C ≈ S5000 − I5000 = 0,1758703294 . Повторивши таку ж процедуру для 10 млн. членів, отримаємо результат, який відрізняється від попереднього, починаючи з восьмого знаку після коми:

C ≈ S10000000 − I10000000 = 0,6012479800 − 0,4253776127 = 0,1758703673.

Тепер, знаючи цю сталу, можна досить швидко знаходити частинні суми ряду, не витрачаючи на це багато часу. Наприклад, для знаходження суми 10 млн. членів Maple 12 витрачає 3 години, а цю суму можна знайти і на калькуляторі:

S107	= I107	+ C =	1		1	-	1	+ 0,1758703294	» 0,6012479... .


		2		ln 3			ln(2 ×10000001 + 3)

Отримали результат з точністю до семи вірних знаків.

32	Математика

ВИКОРИСТАННЯ «СТАЛОЇ ЕЙЛЕРА» ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ СУМ

Можна запропонувати більш економний спосіб знаходження «сталої Ейлера»: спершу знаходиться сума невеликого числа k членів і відповідний

інтеграл Ik;

це дає наближення Ck. Після цього знаходиться сума

∑ (an − in ) , в

n=k +1

N +1

якій in = ∫

f (x)dx , де N є число значно більше від k. В розглянутому прикладі 2

k +1

in =

−

ми

взяли

k=100, а N=5000.

Тут

Сума

2 ln(2n +1)

ln(2n +

5000

= C100 = 0,1757829215 . Тепер

знайдемо ∑ (an −in ) = 0,00008685718339 .

n=101

Очевидно, що це уточнення до C5000 починається з п’ятого знаку після коми.

Тоді C5000 = 0,1758697787 . На його підрахунок процесор затратив 5,6 секунди.

Знання сталої C дозволяє в разі аналітичного представлення інтегралу In

оцінювати частинну суму Sn даного ряду: Sn ≈ In + C . Ця стала відіграє роль систематичної похибки при експериментах, яка пов’язана не з точністю вимірювання, а зі зміщенням точки відліку інструменту. Знаючи її, можна завжди зробити поправку на це зміщення. Використовуючи інтеграл In , можна знайти суму Sn , додавши цю поправку.

∞

Приклад 4. Розглянемо розбіжний ряд [4, c. 24]: ∑

n=2

n ln n

Функція

f (x) =

спадає на проміжку x ³ 2 і набуває додатних значень.

x ln x

Інтеграл

= n+1

= ln (ln(x))

n+1 = ln (ln(n +1))− ln(ln 2) → ∞ .

«Сталу

∫

x ln x

Ейлера» з точністю до 6 вірних знаків можна отримати за допомогою Microsoft Excel, взявши 40000 членів ряду в табл. 2:

Табл. 2

Обчислення «сталої Ейлера» для ряду з членами a = (n ln(n))−1
						n

	n	a	S	n	I	n	C ≈ Sn − In
		n		n		n

	2	0,721348	0,721348		0,460561		0,260787

	3	0,303413	1,024761		0,693147		0,331613

Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8

Савченко І.О., Філєр З.Ю.

4	0,180337	1,205097	0,842398	0,3627

…	…	…	…	…

39999	2,36E-06	3,155214	2,727049	0,428165

40000	2,36E-06	3,155216	2,727052	0,428165

40000	2,36E-06	3,155216	2,727052	0,428165

Тепер ми можемо знаходити частинні суми ряду з точністю до 6 знаків,

наприклад, S106 ≈ I106 + C ≈ 2,992305 + 0, 428165 ≈ 3,420470 . Maple 12	видав
такий результат, витративши 10 хвилин:
> evalf(Sum(1/(n*ln(n)),n=2..1000000)); S106 = 3.420470596 .
Аналогічно попередньому прикладу, знайдемо C100 = 0, 427090903 .	Тепер


		5000		1
знаходимо	суму	S '= ∑		1	− ln 1+
знаходимо	суму	S '= ∑			− ln 1+
		n=101	n ln(n)

	+	1
ln 1

		n
			.	Використавши

ln(n)

наближення ln(1 + x) ≈ x −

, покажемо, що ця сума близька до частинної

5000

суми членів

∑

збіжного ряду. Знаходимо S ' в Maple 12:

ln(n)

2 n=101 n

S '= 0,001063079203.

Тому C5000 ≈ C100 + S '= 0, 427090903+ 0,001063079203= 0, 4281539822.

При

використанні C5000

отримуємо для суми S106 ≈ I106 + C5000 = 3,420458982

за

5,1 секунди, тобто в 118 разів швидше. Економія в часі

суттєва.

Рис. 1 наштовхує на думку розглянути ряд, члени якого зростають, але обмежені.

	+∞
Приклад	5. Розглянемо розбіжний ряд ∑arctg(n) .				Функція
	n=1
y = arctg(x) має асимптоту π . З рис. 3 очевидно, що різниця I		n	− S	n	зростає й
	2	n		n
	2
обмежена зверху,	бо сума заштрихованих областей менша, ніж π / 2 −π / 4 .

Отже, за теоремою Вейєрштрасса вона має границю Carctg . Інтеграл можна знайти аналітично, інтегруючи частинами:

34	Математика

ВИКОРИСТАННЯ «СТАЛОЇ ЕЙЛЕРА» ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ СУМ

n+1	1			n+1	1		2					π

In = ∫ arctgxdx = (x × arctgx -			+ x2 ))	= (n +1)arctg (n +1) +							-
		ln(1				ln
							(n +1)	2	+1
1	2			1	2					4

				.
За допомогою комп’ ютера знаходимо сталу Ейлера, взявши 5 тис. членів										ряду

Carctg ≈ S5000 − I5000 ≈ −0, 433512091 – « стала Ейлера» має від’ ємне значення, це означає, що In > Sn . Це значення отримано менше, ніж за секунду.

Сума членів та інтеграл для функції y = arctg(x) і «стала Ейлера»

Рис. 3
Тепер можна знаходити наближено частинні	суми ряду при n >> 5000 за
формулою Sn ≈ In − 0, 433512091. Наприклад,	S105 ≈ I105	+ Carctg ≈157067,8182 ,
а за допомогою Maple 12 при певних затратах часу: S105		=157067,8181. Як ми

бачимо, відмінність результатів незначна.

		+∞		sh(x)		ex − e−x
Приклад 6. Розбіжний ряд ∑th(x) . Тут функція th(x) =					=
Приклад 6. Розбіжний ряд ∑th(x) . Тут функція th(x) =				ch(x)	=	ex + e−x
		n=1		ch(x)		ex + e−x
обмежена,	має горизонтальну асимптоту y =1 для x ³1. Як і в прикладі 5,
різниця In	− Sn має границю Cth . Інтеграл
n+1		1n+1 = ln (ex + e−x )	n+1 = ln (en+1 + e−n−1 )− ln (e2 +1)+1.
In = ∫	thx = ln(2chx)
In = ∫	thx = ln(2chx)
1			1
1

Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8

Савченко І.О., Філєр З.Ю.

Табл. 3.

Обчислення «сталої Ейлера» для ряду з членами an = th(n)

n	a	S	n	I	n	C ≈ Sn − In
	n		n		n

1	0,761594156	0,761594156		0,891221917		-0,1296277609

2	0,96402758	1,725621736		1,875547674		-0,1499259381

…	…		…		…	…

10	0,999999996	9,719900783		9,873071989		-0,1531712066

11	0,999999999	10,71990078		10,87307199		-0,1531712069

12	1	11,71990078		11,87307199		-0,1531712069

13	1	12,71990078		12,87307199		-0,1531712069

14	1	13,71990078		13,87307199		-0,1531712069

В цьому прикладі значення функції досить швидко наближаються до числа 1, тому достатньо виконати 11 кроків, щоб отримати значення «сталої Ейлера» з високою точністю.

Поставимо задачу по іншому: знайти суму 100000 членів даного ряду. На це Maple 12 витрачає 25 секунд і видає такий результат: S106 =99999,71990 .

Такий же результат можна отримати за допомогою калькулятора, обчисливши значення In + Cth .

∞

Приклад 7. Розглянемо ще один розбіжний ряд

∑

ln n

частинні суми

k =2

∫

якого

досить

близькі до

n+1

ln x

dx .

При n = 80 С

= S

− I

≈ −0,01, при

n+1

ln x

n =105 С105 ≈ −0,07287341.

Інтеграл

∫

dx легко можна знайти шляхом

заміни

змінної:

n+1 ln x

n+1

ln2 x

n+1

(ln2 (n +1) − ln2 1)=

∫

dx = ∫

ln xd ln x =

ln2 (n +1) .

Аналогічним способом ми отримали просту формулу для наближеного обчислення сум ряду:

∑n ln n ≈ ln2 (n +1) − 0,07287341.

k =1 n

36	Математика

f (x)

ВИКОРИСТАННЯ «СТАЛОЇ ЕЙЛЕРА» ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ СУМ

Всі розглянуті приклади можна вважати частинними випадками використання теореми:

Різниця між n-ою частинною сумою Sn = ∑ f (k )

ряду з членами f (k ) й

k =1

n+1

відповідним інтегралом In = ∫ f (x)dx є

збіжною

до

відповідного числа C f

послідовністю, якщо ряд із загальним членом b =

f ′(k )

f ′′(k )

f ′′′(k )

+ ...

n+1

збіжний. Тут C f = lim

∑ f (k ) - ∫ f (x)dx .

n→∞ k =1

k +1

Доведення. Нехай

f (x) аналітична,

ck := f (k )- ∫

f (x)dx .

Сума таких

k +1

членів є Cn . Очевидно,

ck = ∫ ( f (k )- f (x))dx .

Використаємо

розвинення

f (x) в ряд Тейлора в околі точки x = k :

f (x) = f (k ) + f ¢(k ) × (x - k ) + f ¢¢(k ) / 2 × (x - k )2 + ... + f (m) (k ) / m!× (x - k )m + ...

Підінтегральний вираз є

-( f ¢(k ) × (x - k ) + f ¢¢(k ) / 2 × (x - k )2 + ... + f (m) (k ) / m!× (x - k )m + ...) .

′	′′	′′′	Очевидно,
Проінтегруємо його: ck = −( f (k ) / 2!+ f	(k ) / 3!+ f	(k ) / 4!+...) .	Очевидно,

bk = −ck . Сума ряду з таких членів і визначає існування «сталої Ейлера» для

. Покажемо застосування теореми на раніше розглянутих прикладах.

Для	гармонічного ряду	f (k ) =1 / k , а f ¢(k ) = -1 / k 2 .	Ряд з таким
загальним	членом збігається	до −ζ (2) . Збігаються й ряди	з наступними

доданками загального члену. Тому число С повинно існувати. Мінус означає, що

Sn > In . Ряди із зальним членом				f (k ) = k β	при β > 0 не мають аналога сталої
′		β −1	й ряд з таким загальним членом «швидко» розбіжний
Ейлера, бо f (k ) = βk			й ряд з таким загальним членом «швидко» розбіжний
					∞
(показник степеня більший за –1). Розбіжний ряд ∑ln k також не має аналога
					k =1
сталої Ейлера.	Графік		функції	y = ln x	не має горизонтальної асимптоти.

Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8

Савченко І.О., Філєр З.Ю.

	1	∞	1
Похідна цієї функції y′ =		породжує розбіжний гармонічний ряд ∑		, хоча
	x
		k =1	k

його члени й зменшуються, прямуючи до нуля.

Можна використати більш просту ознаку існування цієї границі, яка не використовує диференційованість функції f (x) , f (n) = an :

Якщо ряд з членом dn = an – збіжний, то число С існує; якщо цей ряд – розбіжний, то такого числа не існує.

Доведення.	Розкладаючи f (n +1)	в ряд	Тейлора в	околі	точки n ,
отримуємо an =	′	′′	′′′
отримуємо an =	f (n +1) − f (n) = f (n) + f (n) / 2!+ f (n) / 3!+...
Якщо похідні всіх порядків обмежені числом M , то bn				і an	одночасно

збігаються, бо мажоруються рядом M (1 +1 / 2!+ ... +1 / k !+ ...) = M × e .

Наслідок 1. Узагальнена стала Ейлера для збіжних рядів завжди існує як

границя різниці двох збіжних величин. Враховуючи, що ∑Dak = an+1 - a1 , то

k =1

збіжність ряду з членом b	еквівалентна існуванню границі lim a . Частинна
n	n→∞ n

сума такого ряду дає оцінку відхилення частинної суми даного ряду та відповідного інтегралу. Для додатних, але обмежених зверху членів границя названої частинної суми існує, що й гарантує існування відповідної сталої.

Всі розглядувані вище приклади можна було б дослідити за цією ознакою.

Наслідок 2 (Узагальнення поняття сталої Ейлера на інші класи функцій).

Користуючись наведеною теоремою, можна стверджувати існування сталої

∞	arctg	(n)				∞	ln(n	)
для рядів з арктангенсом: ∑	arctg	(n)	при j ³ 0 , рядів з логарифмами ∑				ln(n	)
для рядів з арктангенсом: ∑	j		при j ³ 0 , рядів з логарифмами ∑				j
k =1	n					k =1	n
				∞	cos(n)
при j > 0 , для рядів з тригонометричними функціями типу				∑	cos(n)	при	j > 0 .
при j > 0 , для рядів з тригонометричними функціями типу				∑	j	при	j > 0 .
				k =1	n

В останньому ряді знаки членів змінюються через 3-4 члени ( cos 2 , cos 3 , cos 4 мають знак «мінус», а cos 5 , cos 6 , cos 7 - знак «плюс»). Тому можна очікувати справедливість ознаки збіжності типу ознаки Лейбніца, бо знаменники зростають, а члени, хоч і не рівномірно, спадають (Рис 4).

38	Математика

ВИКОРИСТАННЯ «СТАЛОЇ ЕЙЛЕРА» ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ СУМ

Геометричне тлумачення різниці Sn − In для функції cos(x) / x

Рис. 4 Висновки

1.Розглянуто класичне поняття сталої Ейлера для гармонічного ряду.

2.Показано існування «сталої Ейлера» для узагальненого гармонічного ряду та інших рядів.

3.Встановлено, що «стала Ейлера» існує для рядів з обмеженими членами, навіть для тих, для яких не виконується необхідна умова збіжності.

4.Розглянуто приклади, на яких показана поведінка різниць між частинними сумами та відповідними інтегралами.

5.Розроблено методику відшукання частинних сум великої кількості членів за допомогою цієї сталої (знаходження наближення при невеликій кількості доданків і уточнення за допомогою знаходження суми різниць членів ряду і

значень інтегралу ik на одному кроці ∑(ak − ik ), що дає оцінку похибки

k =1

знаходження значення «сталої»).

6. На розглянутих прикладах пояснена ця методика.

Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202575.92 Кб0Seminar_3.docx
#
01.05.202585.3 Кб0Seminar_4-5.docx
#
24.11.201983.18 Кб2seminar_DID_11_vstup_do_fakhu.docx
#
28.02.201636.62 Кб93Seminar__9.docx
#
21.08.2019712.19 Кб4Senin.doc
#
28.02.20161.92 Mб20sfme2009_8.pdf
#
01.07.2025343.54 Кб0Shkurko.docx
#
28.02.2016134.97 Кб285ShPORA.docx
#
01.03.2025484.2 Кб0Shpori_ekzamen_TOM.docx
#
28.02.2016277.74 Кб22shpori_ist_ukr_kult (1)норм.docx
#
01.07.2025411.65 Кб0shpori_ist_ukr_kult.doc