sfme2009_8
.pdf
ПРАЦЬОВИТИЙ М.В.
Певним аналогом оператора зсуву цифр s -кового зображення є функція ϕm , залежна від натурального параметра m , яка визначається рівністю
ϕm ( |
( sn ) |
...a |
|
... ) = |
( sm +n ) |
...a |
|
... . |
||||
a a |
2 |
n |
a |
m +1 |
a |
m +2 |
m +n |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Пропонуємо читачеві самостійно переконатись в коректності визначення даної функції і в тому, що вона раціональні числа відображає в раціональні, а ірраціональні – в ірраціональні. А також вивчити питання про її монотонність та неперервність, «самоподібні властивості».
Хвостові множини. Кажуть, що C ( sn ) -зображення чисел х та у «мають однаковий хвіст», якщо існують такі k і m , що для C ( sn ) -цифр цих чисел виконуються рівності
ak +n (x) = am+n ( y) при довільному n N . Це символічно записується: x y .
Легко довести, що кожен елемент фактор-множини Z ( sn ) 
всіх С(sn ) - зображень чисел відрізка [0;1] за відношенням («мати однаковий хвіст») є зліченною множиною, тоді як сама фактор-множина – континуальна.
|
|
|
|
|
|
|
2. Геометрія зображення числа рядом Кантора |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Далі послідовність (sn ) натуральних чисел, |
більших 1, |
вважається |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
фіксованою. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Нехай (c1 , c2 ,..., cm ) |
|
- |
впорядкований набір натуральних чисел, |
сi Ai . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Означення. Циліндром рангу m з основою c1c2 ...cm називається множина |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( sn ) |
|
= {x : x = |
( sn ) |
...c |
a |
|
|
...a |
|
|
|
... |
, де a |
m+n |
A |
}. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c ...c |
m |
|
|
|
|
|
|
|
c c |
m +1 |
m +n |
|
|
|
|
|
|
m+n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Властивості циліндрів. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1. |
Циліндр |
(csn...)c |
m |
є відрізком з кінцями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( sn ) |
|
|
|
і |
|
|
|
( sn ) |
|
|
|
|
|
−1)( s |
|
|
−1)...(s |
|
−1)... . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c ...c |
m |
(0) |
|
|
|
c ...c |
m |
( s |
m +1 |
m +2 |
m +n |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
( sn ) |
|
|
|
|
|
( sn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
sup |
|
j = inf |
|
|
|
( j +1) , j |
= 0, sm |
− 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
c ...c |
m −1 |
|
c ...c |
m |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Довжина циліндра: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
( sn ) |
|
|
|= |
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c ...c |
m |
|
s1s2 ...sm |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
| |
( sn ) |
|
|
j |= |
1 |
|
| |
( sn ) |
|
|
| . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c ...c |
m |
sm+1 |
c ...c |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Для довільної послідовності (cn ) , |
cn An , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
10
СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ ЗІ ЗМІННОЮ ОСНОВОЮ ТА ЗМІННИМ АЛФАВІТОМ (АБО РОЗВИНЕННЯ ЧИСЕЛ В РЯДИ КАНТОРА)
|
∞ |
|
де |
x Î[0;1] |
і x = Dc1 ...cm ... . |
|
IDc1c2 ...cm = {x} , |
||||
|
( sn ) |
|
|
|
( sn ) |
|
m=1 |
|
|
|
|
6. |
Якщо a < b , то існує таке m , що cm (a) < cm (b) і a j (a) = a j (b) при j < m . |
||||
7. |
Якщо a ¹ b і |
|
|
|
|
|
cm (a) < cm (b), |
|
|||
|
|
(a) |
= c j |
(b), при |
j < m, |
|
c j |
||||
то існує n таке, що
D(csn()a)...c |
m |
(a)( s |
m +1 |
−1)...(s |
m +n |
−1) Ì (a, b) |
(3) |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(csn()a)...s |
m −1 |
(a) s |
m |
(b)00...0 Ì (a, b) , |
(4) |
|||||
1 |
|
|
|
123 |
|
|
||||
n
причому, якщо a і b числа C ( sn ) -ірраціональні, то мають місце обидва включення одночасно.
|
Півциліндри. Нехай (k1 , k 2 ,..., k n ) |
- зростаюча послідовність натуральних |
|||||||||||||||||||||||||
чисел, (ck , ck |
,..., ck |
) - впорядкований набір чисел ck |
i |
Î Ak |
. Множина |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
||
|
|
|
|
k1k2 ...kn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= {x : aki (x) = cki |
, i = 1, n} |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Dck |
ck |
...ck |
n |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
називається півциліндром. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Легко довести наступне твердження: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Якщо k1 |
= 1 , |
ki+1 - ki = 1, |
i = |
|
|
то півциліндр є циліндром. Якщо існує |
||||||||||||||||||||
|
1, n -1, |
||||||||||||||||||||||||||
j |
таке, що k j +1 - k j > 1, то півциліндр є об’єднанням циліндрів рангу kn +1. |
||||||||||||||||||||||||||
|
У першому випадку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
k1k2 ...kn |
|
|
|
12...n |
|
( sn ) |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Dc |
k |
c |
k |
|
...c |
k |
= Dc c |
...c |
= Dc c |
2 |
...c |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пропонуємо читачеві довести, що наступна множина, визнаена двома |
||||||||||||||||||||||||||
послідовностями (k n ) і (cn ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1k2 ...kn ... |
∞ |
k1k2 ...kn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Dck1 ck2 ...ckn ... = IDck1 ck2 ...ck n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
є: |
1) однією точкою, якщо |
k1 |
|
= 1 , |
|
ki+1 - ki |
= 1, |
i = 1,2,... ; |
|
||||||||||||||||||
2) скінченною послідовністю точок, якщо ki+1 - ki = 1 для всіх i , більших деякого m N ;
3) ніде не щільною множиною нульової міри Лебега, якщо ki+1 - ki ¹ 1 для нескінченної множини значень i .
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
11 |
ПРАЦЬОВИТИЙ М.В.
3. Самоподібні нуль-множини, пов’язані з C ( sn ) -зображенням
Нагадаємо [25], що фігура F називається самоподібною, якщо її |
можна |
|||
"розбити" на скінченну кількість частин F1 , F2 , ..., Fn (n > 1) , кожна |
з яких |
|||
подібна фігурі F , тобто |
|
|||
1. |
F = F1 F2 ... Fn , |
|
||
|
ki |
|
|
|
2. |
F ~ Fi , i = 1, n , |
|
||
3. |
Fi Ç Fj — незрівнянно малий в порівнянні з E , якщо i ¹ j . |
|
||
Самоподібною розмірністю самоподібної фігури називається додатне число α0 , яке є розв'язком рівняння
k1x + k2x + ... + knx = 1 .
Множину С[(sn ), (Vn )] означимо рівнітю
С[(s |
n |
), (V )] = {x : |
x = D(sn ) |
...a |
... |
, |
a |
n |
ÎV |
n |
Ì A }. |
|
n |
a a |
|
|
|
n |
|||||
|
|
|
1 2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
Нехай (sn ) і (Vn ) - чисто періодичні послідовності з довжиною періоду
(5) p .
|
Теорема |
2. |
Множина |
|
|
С[(sn ), (Vn )] |
|
є самоподібною множиною, само |
||||||||||||||||||||||||||||
подібна розмірність якої обчислюється за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
αs |
= log s s |
...s |
p |
(| V1 | × | V2 |
| ×...× | V p |
|) , |
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
яка є дробовим числом, коли існує Vi |
¹ Ai |
для деякого i ≤ p . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Доведення. Справді, множина C = С[(sn ), (Vn )] є самоподібною, оскільки |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
С = U... U[D(cs1n...)c p |
I C], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 V1 |
cp Vp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
I C , |
k = s s |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C ~ D( sn ) |
|
|
...s |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c ...c |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
причому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D( sn ) |
|
I C @ D( sn ) |
|
I C , де c , c |
2 |
,..., c |
p |
ÎV ´V |
2 |
´...´V |
p |
, d |
, d |
2 |
,..., d |
p |
ÎV ´V |
2 |
´...´V |
p |
. |
|||||||||||||||
c ...c |
p |
d ...d |
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тому рівняння для обчислення самоподібної розмірності має вигляд |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
| V | × | V |
|
| ×...× |
| V |
|
| × |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
...s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
s |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
звідки й отримується рівність (6).
Читачеві пропонуємо самостійно довести, що при виконанні умов теореми, коли Vm ¹ Am множина С[(sn ), (Vn )] має нульову міру Лебега.
12
СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ ЗІ ЗМІННОЮ ОСНОВОЮ ТА ЗМІННИМ АЛФАВІТОМ (АБО РОЗВИНЕННЯ ЧИСЕЛ В РЯДИ КАНТОРА)
4. Фрактальний аналіз і канторівські зображення
Розмірністю Хаусдорфа-Безиковича множини E [0;1] називається
число
α0 (E) = sup{α : H α (E) ¹ 0} = inf{α : H α (E) = 0},
де H α (E) - α -мірна міра Хаусдорфа множини E , яка визначається рівністю
|
α (E) = lim mαε |
|
|
|α : |
|
|
H |
(E) = lim inf ∑| ui |
E Ì Uui , |
||||
|
ε →0 |
ε →0 |ui |<ε |
i |
|
i |
|
при цьому покриття множини E здійснюється відрізками ui . Наведемо деякі властивості розмірності Хаусдорфа-Безиковича:
1)α0 (E) = 0 для довільної не більш ніж зчисленної множини E ;
2)α0 (E1 ) £ α0 (E2 ) , якщо E1 Ì E2 ;
3) α |
|
|
|
= supα0 (En ) ; |
0 UEn |
||||
|
|
n |
|
n |
4) якщо E1 і E2 - афінно еквівалентні, зокрема геометрично подібні, множини,
то α0 (E1 ) = α0 (E2 ) .
Таким чином, розмірність Хаусдорфа-Безиковича є показником «масивності» множини та «компактності» її точок.
Задача обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича конкретної множини, взагалі кажучи, є непростою. Існують сотні наукових робіт, присвячених розв’язанню цієї задачі для різних множин та їх класів.
Множина, яка має дробову розмірність Хаусдорфа-Безиковича,
називається фрактальною множиною або фракталом, Континуальна множина,
яка має нульову розмірність Хаусдорфа-Безиковича, називається аномально фрактальною. Множина E [0;1] , яка має розмірність Хаусдорфа-Безиковича рівну 1, але нульову міру Лебега, називається суперфрактальною або суперфрактолом.
Фрактальна геометрія з групової точки зору є теорією інваріантів групи G перетворень простору R n (бієктивних відображень простору на себе), які зберігають фрактальну розмірність (тобто таких перетворень g , при яких має місце рівність α0 (E) = α0 (g(E)) для довільної борелівської множини E ). Таким чином, фрактальна геометрія вивчає властивості фігур, які залишаються незмінними при будь-якому перетворенні з групи G .
Нажаль, клас вивчених (описаних) перетворень, які входять в групу G сьогодні є достатньо бідним. Якщо в якості простору розглядати [0;1] , то
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
13 |
ПРАЦЬОВИТИЙ М.В.
неперервні перетворення вичерпуються строго зростаючими функціями розподілу ймовірностей на [0;1] та функціями виду f = 1 − F , де F - функція розподілу, тобто така, що
1) F (−∞) = lim F (x) = 0 , |
F (+∞) = lim F (x) = 1; |
x→−∞ |
x→+∞ |
2)F є неперервною зліва;
3)F - неспадна.
Сьогодні відомо [21], що існують абсолютно неперервні функції розподілу, які не зберігають фрактальну розмірність (хоча володіють гарними диференціальними властивостями) і сингулярні функції розподілу (неперервні функції, похідна яких майже скрізь у розумінні міри Лебега дорівнює нулю), які її зберігають (дещо дивиний факт, оскільки диференціальні властивості сингулярної функції є «поганими» - вона має нескінченну похідну в континуальній множині точок). Отже, збереження фрактальної розмірності функцією і її диференціальні властивості не зовсім узгоджені.
Детальніше з теорією таких перетворень можна ознайомитись в [19-21].
Під фрактальною теорією дійсних чисел у С(sn ) -зображеннях розуміють розділ фрактального аналізу (теорії фракталів), який займається розв’язанням задачі обчислення або оцінки фрактальної розмірності (Хаусдорфа-Безиковича) множин чисел, визначених в термінах С(sn ) -зображення.
Лема. Якщо послідовність (sn ) є обмеженою, тобто sn = s = const , то при обчисленні розмірності Хаусдорфа-Безиковича множин з відрізка [0;1]
можна обмежитись ( sn ) -циліндрами.
Доведення. Нехай відрізок u [0;1] бере участь у покритті довільної борелівської множини E [0;1] . Покажемо, що існує не більше 2s циліндрів одного і того ж рангу, які покривають u і мають довжину, що не перевищує | u | .
1. Якщо u цілком містить деякий ( sn ) -циліндр першого рангу, то його
можна покрити не більш ніж s1 циліндрами першого рангу, |
кожен з яких має |
||
довжину не більшу за | u | . |
|
|
|
2. Нехай u не містить жодного цілого |
( sn ) -циліндра першого рангу. Тоді |
||
існує натуральне число m таке, |
що u не містить циліндрів рангу m , але містить |
||
цілий циліндр рангу m +1 . В |
цьому випадку u належить |
об’єднанню двох |
|
суміжних циліндрів рангу m , кожен з яких є об’єднанням sm+1 |
циліндрів ( m +1)- |
||
го рангу, об’ єднання яких утворює покриття u |
(його елементи мають довжину |
||
14
СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ ЗІ ЗМІННОЮ ОСНОВОЮ ТА ЗМІННИМ АЛФАВІТОМ (АБО РОЗВИНЕННЯ ЧИСЕЛ В РЯДИ КАНТОРА)
рівну довжині |
циліндра |
(m +1) -го рангу, |
а |
тому є |
меншими | u | ). |
Отже, u |
||
покривається не більш ніж 2s (оскільки sm+1 |
£ s ) циліндрами. |
|
||||||
Нехай для фіксованого α > 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
і |
HαC (E) = lim lεα (E) . |
|
lεα (E) = inf ∑| vk |α , vk W , |
E Uvk |
|
||||||
|
|vk |≤ε k |
|
|
k |
|
|
ε →0 |
|
Легко бачити, |
що функція множини |
H Cα (×) |
є коректно визначеною |
(завдяки |
||||
монотонності l |
α (E) ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
В силу доведеного в п.1 і 2, для довільного ε > 0 мають місце нерівності |
||||||||
|
|
mεα (E) £ lεα (E) £ 2smεα (E) . |
|
|
||||
Тому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H α (E) £ H Cα (E) £ 2sH α (E) , |
|
|
||||
тобто H Cα (E) |
і H α (E) |
одночасно (по α ) |
набувають значень 0 і |
∞. Отже, |
||||
α0 (E) = inf{α : H Cα
(E) = 0}, що й вимагалось довести.
5. Задачі для самостійного розв’ язаня
Нижче ми пропонуємо ряд задач, які стосуються метричної, ймовірнісної і фрактальної теорій дійсних чисел у C ( sn ) -зображеннях.
Задача 1. Знайти фрактальну розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини
|
|
1 |
n |
|
|
E = x : x = Dsa1a2 ...an ... |
, |
lim |
|
∑ai |
= d . |
|
|||||
|
|
n→∞ n |
i=1 |
|
|
Задача 2. Знайти критерій раціональності числа x [0;1] у факторіальній системі числення [12, 22].
Задача 3. Вказати кілька нормальних властивостей чисел відрізка [0;1] у термінах їх зображення у факторіальній системі числення: x = D!ϕ1ϕ2 ...ϕn ... [17].
Задача 4. Знайти критерії абсолютної неперервності та сингулярності розподілу випадкової величини
(s ) |
, |
(7) |
ξ = Dη1nη2 ...ηk ... |
у якої С(sn ) - цифри є випадковими, незалежними і мають розподіли
P{ηk = i} = pik ³ 0 , p0k + p1k + ... + p( sk −1)k = 1 , k = 1,2,... .
Задача 5. Дослідити поведінку модуля характеристичної функції fξ (t)
випадкової величини ξ (тобто Meitξ ) на нескінченності [11], а саме: величину
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
15 |
ПРАЦЬОВИТИЙ М.В.
Lξ = lim sup | fξ (t) | .
|t|→∞
Задача 6. Описати властивості розподілу випадкової величини ξ з розподілами цифр
P{ηk |
= 0} = p0k ³ 0 , P{ηk |
= a ¹ 0} = |
1 - p0k |
. |
|
||||
|
|
|
sk -1 |
|
Зокрема, знайти розмірність Хаусдорфа-Безиковича ій відповідної ймовірнісної міри [17].
Задача 7. С(sn ) - цифри випадкової величини
|
( s ) |
|
ζ = Dτ1nτ2 ...τn ... |
є залежними і утворюють ланцюг Маркова з початковими ймовірностями |
|
p0 , p1 , …, |
ps1 −1 і матрицею перехідних ймовірностей || pik || . Вивчити лебегівську |
структуру |
(вміст чисто дискретної, чисто абсолютно неперервної та чисто |
сингулярної компонент) і структуру сингулярного розподілу ζ (вміст канторівської, салемівської та квазіканторівської компонент) для різних послідовностей (sn ) , а також фрактальні властивості спектра розподілу ζ .
Задача 8. Побудувати аналог функції Серпінського [23] з використанням
С(sn ) -зображння |
для аргумента |
при |
sn = 3n . |
Описати |
тополого-метричні і |
||||
фрактальні властивості таких функцій. |
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 9. |
Нехай |
s n = 2n . |
Описати клас |
сингулярних немонотонних |
|||||
функцій, визначених своїми незалежними приростами на D(sn ) -циліндрах. |
|||||||||
Задача 10. |
При s n |
> 2 . Знайти |
необхідні і |
достатні умови аномальної |
|||||
фрактальності множини |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C[(sn ), (Vn )] = {x : x = D(asna) |
...a |
... , |
an ÎVn = {0;2}}. |
|||||
|
|
|
|
1 2 |
n |
|
|
|
|
Задача 11. Метризувати множину всіх чисел відрізка [0;1] , що мають |
|||||||||
однаковий хвіст в С(sn ) -зображеннях. |
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 12. Метризувати фактор-множину |
Z ( sn ) ~ |
всіх С(sn ) -зображень |
|||||||
чисел відрізка [0;1] за відношенням («мати однаковий хвіст»).
Література
1.Barrionuevo J., Burton R., Dajani K., Kraaikamp C. Ergodic properties of generalized Lüroth series // Acta Arithmetica (1996) - № 4. - P. 311-327.
2.Cantor G. Uber die einfachen Zahlensysteme // Z.Math.Phys. - 1979. - Bd. 14. - S.121-128.
16
СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ ЗІ ЗМІННОЮ ОСНОВОЮ ТА ЗМІННИМ АЛФАВІТОМ (АБО РОЗВИНЕННЯ ЧИСЕЛ В РЯДИ КАНТОРА)
3.Dajani K., Kraaikamp C. On approximation by Luroth series // J.Theor. Nomberes Bordeaux - 1996. - 8. - P. 331-346.
4.Galambos J. Some remarks on the Lüroth expansion // Czechoslo vak Mathematical Journal, Vol. 22 (1972). - № 2. - P. 266-271.
5.Galambos J. On some Properties of the Lüroth-tipe alternating series representations fer real numbers. // Int. J. Math. Math. - 2001. - Sci. 28, No.6. - P. 367-373.
6.Kalpazidou S., Knopfmacher A., Knopfmacher J. Lüroth-type alternating series representations for real numbers // Acta Arith. - 1990. - Vol. 55. - P.311-322.
7.Lüroth J. Ueber eine eindeutige Entwickelung von Zahlen in eine unendliche Reihe // Math. Ann. - 1883. - Vol. 21. - P. 411-423.
8. Sierpinski W. O kilku algorytmach dla rozwijania liczb rzeczywistych na szeregi //
C.R.Soc.Sci.Varsivie.- (4) 1911. - P.56-77.
9.Sylvester J.J. On a point in the theory of vulgar fractions // Amer. Journal of Math. -
(3)1880. - P. 332-335.
10.Барановський О.М., Працьовитий М.В., Торбін Г.М. Тополого-метричні властивості множин дійсних чисел з умовами на їх розклади в ряди Остроградського // Укр. Мат. журн. - 2007. - 59, № 9. - С. 1155-1168.
11.Гончаренко Я.В. Асимптотичні властивості характеристичної функції випадкової величини незалежними двійковими цифрами та згортки сингулряних розподілів ймовірностей // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова.
|
Фізико-математичні науки. –– 2002. –– № 3. –– |
С. 376-390. |
12. |
Касаткин В.Н. Новое о системах счисления. — |
К.: Вища школа, 1982. — 96 с. |
13. |
Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. – М.: Постмаркет, |
|
|
2000. – 352 с. |
|
14. |
Постников А.Г. Вероятностная теория чисел. – |
М.: Знание, 1974. – 62 с. |
15. |
Працьовита І.М. Про розклади чисел в знакозмінні s-адичні ряди і ряди |
|
|
Остроградського 1-го та 2-го виду // Укр. Мат. журн., 2009. - 61, № 7. - С.958- |
|
|
968. |
|
16. |
Працьовита І.М. Ряди Остроградського 2-го виду і розподіли їх випадкових |
|
|
неповних сум // Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. |
|
|
Фізико-математичні науки. - К.: НПУ імені М.П.Драгоманова. - 2006. - № 7. – |
|
|
С. 174-189. |
|
17.Працьовитий М. В. Фрактальний підхід у дослідженнях сингулярних розподілів. - Київ: Вид-во НПУ імені М.П.Драгоманова, 1998. – 296 с.
18.Працьовитий М.В., Гетьман Б.І. Ряди Енгеля та їх застосування // Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. - К.: НПУ імені М.П.Драгоманова. - 2006. - № 7. – С. 105-116.
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
17 |
ПРАЦЬОВИТИЙ М.В.
19.Працьовитий М.В., Торбін Г.М. Аналітичне (символьне) представлення неперервних перетворень R1 , що зберігають розмірність ХаусдорфаБезиковича // Наукові записки НПУ імені М.П. Драгоманова. Фізико-
математичні наук. –– 2003, № 4. –– С.207-215.
20.Працьовитий М.В., Торбін Г.М. Трансформації простору, що зберігають
фрактальну розмірність |
// Восьма Всеукраїнська наукова |
конференція |
“ Фундаментальна та професійна підготовка фахівців з фізики”: |
Тез. допов. –– |
|
Миколаїв: МДУ, 2003. –– |
С.12-13. |
|
21. Працьовитий М.В., Торбін Г.М. Фрактальна геометрія та перетворення, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича // Динамічні системи: Праці Українського математичного конгресу – 2001. –– Київ: Ін-т математики НАН України, 2003. –– С.94-102.
22. Самкіна Н.М., Школьний О.В. Факторіальна система числення та пов’язані з нею розподіли ймовірностей // Фрактальий аналіз та суміжні питання. – 1998. – № 2.
– С.157-165.
23.Серпинскій В. Элементарный примеръ возрастающей функціи имъеющей пости всюду производную равную нулю // Математическій сборникъ, т.ХХХ, вып.3, 1916.
24.Стахов A.П. Алгоритмическая теория измерения. — М.: Знание, 1979. — 64 с.
25.Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, функции,
распределения. — К.: Наук. думка, 1992. — 208 с.
26.Фомин С.В. Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с.
27.Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных от ображений. – Киев: Наук. думка, 1989. – 216 с.
18
Маркітан В.П.,
магістрантка Фізико-математичного інституту НПУ імені М.П.Драгоманова
МИКОЛА МИКОЛАЙОВИЧ БОГОЛЮБОВ
(21 серпня 1909 р. – 13 лютого 1992 р.)
В цьому році відзначається 100 років від дня народження Миколи Миколайовича Боголюбова – великого Майстра науки – фізикатеоретика, математика, механіка, академіка АН України та АН СРСР. Він належить до плеяди тих вчених, праці яких забезпечили бурхливий розвиток науки в СРСР в ХХ ст. Його основні роботи з математики і механіки належать до варіаційного числення, наближених методів математичного аналізу, диференціальних рівнянь, рівнянь математичної фізики, асимптотичних методів нелінійної механіки,
теорії стійкості, теорії динамічних систем та багатьох інших розділів. Він вивів кінетичні рівняння в теорії надтекучості; побудував нову теорію матриць розсіяння; сформулював поняття мікроскопічної причинності; отримав важливі результати у квантовій електродинаміці; вивів дисперсійні співвідношення, що мають важливе значення в теорії елементарних часток; створив послідовну математичну теорію надпровідності; встановив аналогію між явищами надпровідності та надтекучості; запропонував новий синтез теорії Бора квазіперіодичних функцій; розвинув засоби асимптотичного інтегрування нелінійних рівнянь, що описують коливні процеси. Микола Миколайович є засновником шкіл нелінійної механіки та теоретичної фізики і тому сьогодні досить доречно згадати про цього генія науки, його високий інтелект, відмічений печаткою історії.
Народився М. М. Боголюбов 21 серпня 1909 р. в Нижньому Новгороді. У 1912 р. родина Боголюбових переїхала до Києва у зв'язку з обранням Боголюбова — батька професором Київського державного університету. З дитячих років Микола виявляв великий інтерес до вивчення і пізнання всього нового. Він швидко навчився читати й писати, з 5 років почав вивчати з батьком іноземні мови: спочатку німецьку, потім французьку і англійську. Батько був людиною високоосвіченою, знав майже всі європейські мови, а також грецьку і латинську мови, орієнтувався навіть у деяких староєгипетських написах і так званому клинопису. Він уважно керував навчанням і вихованням сина. У 1915 р.
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8