sfme2009_8

Зуб І.В.

як теорема Чеви дає критерій конкурентності. Щоб підкреслити їх

Пирожкова. – 1907 – 375 с., ст. 22 – 23.

2.Апостолова Г. В. Геометрія: Підручник для 8-го класу загальноосвіт. навч. закл.

– К.: Ґенеза, 2005 – 256 с., ст. 214 – 215, ст. 217.

3.Смогоржевський О. С. Элементы геометрии треугольника. – К.: Рад. школа. – 1939, ст. 9 – 12, 37 - 38

4.Шарыгин И. Ф. Избранные статьи. – М.: Бюро Квантум. – 2004, ст. 57 - 61

5.Костенко Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука. – 1978, ст. 82 – 84

6.Конфорович А. Г. Визначні математичні задачі. – К.: Рад. школа. – 1981, ст. 59 - 60, 137 – 138

7. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. – М.: МУНМО. – 2001, ст. 131 – 132, 133

– 134.

Люліна М.Ю.

означає, що хтось один або Андрій, або Богдан говорять правду. А раз перший запевняє, що інший обманює, то Богдан правий.

Метод обчислювання висловлень

Розв¢яжемо цю задачу методом обчислювання висловлень. Висловлення – твердження чи речення, про яке можна сказати істинне воно чи хибне. Будемо позначати висловлення великими літерами латинського алфавіту, істинні твердження – 1, хибні – 0. Висловлення бувають – прості і складні. Прості це ті, що не містять у собі інших висловлень. Над висловленнями можна виконувати логічні операції, які задаються такими словами: не; і; або; якщо…, то; тоді і

ДЕЯКІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЛОГІЧНИХ ЗАДАЧ

Зауважимо, що не слід плутати операції множення і додавання чисел та логічні операції. Як бачимо, дистрибутивний закон відносно диз’юнкції не виконується для множення і додавання чисел.

Люліна М.Ю.

Використаємо ці знання для розв'язання даної задачі. Позначимо висловлення Андрія, Богдана, Володі відповідними літерами А, Б, В. За умовою задачі можна зробити висновки:

1) або Андрій сказав правду і тоді Богдан сказав неправду, або навпаки:

(А× Б)+ (А× Б)= 1

2)або Богдан сказав правду і тоді Володя сказав неправду, або навпаки:

(Б× В)+ (Б× В)= 1

3)або Володя сказав правду і тоді Андрій і Богдан обидва говорять неправду, або Володя сказав неправду і тоді хоч би один з двох – Андрій або Богдан сказав правду:

(В×(А× Б))+ (В×(А+Б))=1

Умова задачі буде виконана, якщо істинні одночасно ці три висловлення, тобто істинна їх кон’юнкція:

((А× Б)+ (А× Б))×((Б× В)+ (Б× В))×((В×(А× Б))+ (В×(А+Б)))= 1

Виконаємо можливі дії над цими дужками:

((А × Б× Б× В)+ (А × Б× Б× В)+ (А × Б× Б× В)+ (А × Б× Б× В))× ((В× А × Б)+ (В× А)+ (В× Б))= 1

Вилучимо підкреслені вирази, бо вони будуть хибними, виходячи з закону «не суперечливості»; і спростимо скориставшись тим, що А×А=А.

Запишемо, що залишилось:

((А × Б× В)+ (А × Б× В))× ((В× А × Б)+ (В× А)+ (В× Б))= 1

Ще раз виконуємо дії:

(А × Б× В× В× А × Б)+ (А × Б× В× В× А)+ (А × Б× В× В× Б)+ (А × Б× В× В× А × Б)+

+(А × Б× В× В× А)+ (А × Б× В× В× Б)= 1

Вилучаємо хибні вирази. Залишилося:

(А × Б× В)= 1

Це можливо тоді і лише тоді, коли кожне з цих висловлень істинне, тобто: А=1, Б=1, В=1, це значить – А=0, Б=1, В=1. Отже, правду сказав Богдан.

Таблиці істинності Розв’ язання за допомогою таблиці істиності. Будуємо таблицю, в яку б

входили всі можливі варіанти розв’язання задачі.

ДЕЯКІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЛОГІЧНИХ ЗАДАЧ

В пустих колонках (А, Б, В) проставляємо можливість цих випадків відповідно до тверджень кожного з хлопців, враховуючи, що вони можуть говорити як правду, так і неправду. Так, наприклад, в колонці А ставимо «+» у 3, 4, 5 та 6 рядках, оскільки 5 та 6 рядки відповідають можливості, коли А говорить правду, а 3 та 4 можливості, коли А говорить неправду. І ставимо «−» у 1, 2, 7 та 8 рядках, оскільки висловлення А «не зачіпає» ні одного з цих випадків. Розмірковуючи таким чином і розглядаючи кожен випадок, побудуємо таблицю.

Виписуємо рядочок, де стоять всі три плюси: А=0, Б=1, В=0. Отже, як бачимо, правду сказав Богдан.

Метод графів

Методи, що описуються вище взаємопов'язані і доповняють один одного. Існує ще один спосіб – розв'язання задачі за допомогою графів.

Граф – це схема (сітка, карта) створена з декількох точок (вершин графа) і деяких відрізків (чи дуг), що з'єднують ці точки (ребра графа).

Люліна М.Ю.

Застосовуючи граф до розв'язання логічних задач, зазвичай вершинам і ребрам графа надають певного змісту. Дуже часто розв'язання задачі за допомогою графів являється наочним і ефективним.

Застосуємо цей метод до даної задачі. Вершини будем позначати іменами хлопчиків, істинність тверджень яких розглядається на даному етапі розв’язку задачі. Ребра означають одну з можливостей розподілу істинності тверджень хлопчиків, які позначають вершину, з якої виходить ребро.

Починати побудову графа можна з будь-якого хлопчика. Виберемо Андрія. Тут можливі два варіанта, а, отже, і два ребра графа. Розглянемо першу вітку – А=1. З неї слідує, що Б=0, В=1. Тоді отримуємо А=0, Б=0. Повертаємось до першої вершини. Прийшли до суперечності.

Прослідкуємо за віткою А=0. З неї слідує, що Б=1, В=0. Тоді маємо розгалудження на два ребра – А=1, Б=0 і А=0, Б=1. В першому випадку приходимо до суперечності, а другий є відповіддю до задачі.

А=0 Б=1 В=0

Розглянуті вище методи дозволяють розвязати багато інших логічних задач. Їх використовують як окремо, так і в поєднанні. Пропонуємо вам декілька задач для самостійного розв’язання.

1. Задача Р. Смалліана. В Середземному морі є острів населений "лицарями", що завжди говорять правду, і "брехунами", що прорікають тільки брехню. Передбачається, що кожен мешканець острова або лицар, або брехун. Зустрілись на цьому острові два мешканці А і В.

ДЕЯКІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЛОГІЧНИХ ЗАДАЧ

а) Персонаж А висловлює наступне твердження: " Принаймні один з нас брехун". Хто з двох персонажів А і В лицар, а хто брехун, якщо відомо, що кожен з них або лицар, або брехун ?

б) Припустимо, що А говорить: "Або я брехун, або В – лицар". Хто з двох персонажів А і В лицар, а хто брехун?

в) Припустимо, що А висловлює твердження : "Я брехун, а В не брехун." Хто з персонажів лицар, а хто брехун?

2.Зустрілись три друга. Їх прізвища були Білов, Чернов, Рижов. Один з них був білявий, інший – брюнет, третій – рудий. Брюнет сказав Білову: «Ні у одного з нас колір волосся не відповідає прізвищу». Який колір волосся у кожного з них, якщо брюнети завжди говорить правду.

3.Четверо друзів – Андрій, Володя, Міша і Юра – зібралися в будинку у Міши. Хлопчики жваво розмовляли про те, як вони провели літо.

Ну, Балашов, ти, нарешті, навчився плавати? – запитав Володя.

О, ще як, - відповів Балашов – можу тепер потягатися в плаванні з тобою

іАндрієм.

Подивимося, який я гербарій зібрав – сказав Петров, перериваючи розмову друзів, і дістав з шафи велику теку.

Всім, особливо Луніну і Андрію, гербарій дуже сподобався. А Сидоров обіцяв показати товаришам зібрану ним колекцію мінералів. Назвіть ім'я і прізвище кожного хлопчика.

4. У робочому селищі живуть і працюють дівчата: Валя, Галя, Свєта і Женя. Дві з них – Валя і Галя – живуть разом і на роботу вранці теж ходять разом, оскільки місця їх роботи розташовані поблизу один від одного? Спеціальності у дівчат різні – ткаля, лікар, секретар, шофер. Женя і Валя беруть участь в хорі при Палаці культури. Лікар вирішила познайомити Галю зі своєю подругою, чудовою дівчиною – шофером, з якою Галя раніше не зустрічалася. Дівчина, яка працює секретаркою, на роботу ходить одна. Вона взагалі любить самоту і книги, зате не любить музику. Як виявилося Женя значно старша за ткалю і лікаря. Визначить спеціальності кожної дівчини?

5. Андрію, Саші і Єгору пред'явлено звинувачення в співучасті в пограбуванні банку. Викрадачі втекли на автомобілі, що очікував їх. На слідстві Андрій показав, що злочинці втекли на синьому Мерседесі, Саша сказав, що це був чорний Джип, а Єгор стверджував, що це був форд Мустанг і у жодному випадку не синій. Стало відомо, що бажаючи заплутати слідство, кожен з них

Люліна М.Ю.

вказав правильно або марку машини, або тільки її колір. Якого кольору і якої марки була машина?

Література

1.Бизам Д., Герцег Я. Игра и логика ( 85 логических задач), пер. с венгерского Данилова Ю. А.. – М.: Мир, 1975. – 83 с.

2.Смоллиан Р. Как же называется эта книга? – М.: Мир, 1981. – 238 с.

3.Стойлова Л. П., Пышкало А.Н. Основы начального курса математики: учеб. пособие для учащихся пед. уч-ща. – М.: Просвещение, 1988. – 320 с.

4.Шевченко В. Е. Некоторые способы решения логических задач. – К.: Вища школа. 1979. – 80 с.