sfme2009_8
.pdf
Зуб І.В.
якщо вектори протилежно напрямлені. Визначимо тепер для трикутників і ′
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC¢ |
BA¢ CB¢ |
|||||||
величину R( , |
′) : R(D, D¢) = |
|
|
× |
|
|
× |
|
|
|
|
|
|||||||
|
C¢B¢ |
A¢C B¢A |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Чеви. Для того, щоб прямі AA′, BB′, CC ′ перетинались в одній
точці, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність: |
′ |
(1) |
або |
R( , ) =1 |
|||
′ |
|
|
|
еквівалентна їй рівність R * (w, w ) =1 (2). |
|
|
|
w – трійка векторів колінеарних векторам сторонам трикутника ABC ( a , |
b , c |
||
колінеарні BC , AC , AB ), w′ – трійка векторів a′, b′ , c′ колінеарних векторам AA¢ , BB¢ , CC ′. Визначимо для w і w′ величину R * (w, w′) :
R * (w, w¢) = sin Ð(b, c¢) × sin Ð(c, a¢) × sin Ð(a, b¢) . sin Ð(a, c¢) sin Ð(b, a¢) sin Ð(c, b¢)
Необхідність.
Нехай прямі AA′, BB′, CC′ перетинаються в одній точці. Доведемо, що виконуються умови (1) і (2).
Якщо прямі AA′, BB′, CC′ перетинаються в одній точці, то або всі три точки A′ , B′ , C′ лежать на сторонах трикутника ABC , або одна з точок лежить на стороні трикутника, а дві інші – на продовжених відповідних сторонах. В
першому випадку всі дроби, які входять в вираз R( |
|
, ) , додатні, а в другому |
||||||||||||||||||||||||||||||
випадку один з трьох дробів, які входять в R( |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
, ) , додатні, а два інші від’ємні, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
так що R( , ′) > 0 (відповідно R * (w, w′) > 0 ). Доведемо тепер, |
|
|
що |
|
R * (w, w¢) |
|
= 1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(так як R * (w, w ) > 0 → R * (w, w ) =1). Позначимо точку перетину прямих AA |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||||
BB′, CC′ через D . використовуючи теорему синусів, отримаємо: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin Ð(b, c¢) |
|
|
= |
DA |
, |
|
|
|
sin Ð(c, a¢) |
|
|
|
= |
DB |
, |
|
|
sin Ð(a, b¢) |
|
|
= |
DC |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
sin Ð(b, a¢) |
|
|
|
|
|
sin Ð(c, b¢) |
|
|
|
|
|
|
sin Ð(a, c¢) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
DC |
|
|
|
|
|
|
|
|
DA |
|
|
|
|
|
DB |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
Математика, методика математики |
ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ. РІЗНІ МЕТОДИ ЇХ ДОВЕДЕННЯ
Перемноживши ці рівності, отримаємо R * (w, w¢) = 1 .
Достатність.
Доведення достатності проведем методом від супротивного. Припустимо,
що R( , ) =1 ( R * (w, w ) =1), |
але прямі AA |
, BB |
, CC |
|
не проходять через одну |
||||||||||
′ |
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
|
′ |
|
||
точку. Позначимо точку перетину прямих AA′, |
BB′ |
через D′, а через C ′′ – точку |
|||||||||||||
перетину прямих |
AB і CD′. |
Оскільки прямі |
AA′, |
BB′, CC ′ перетинаються в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
AC¢ BA¢ CB¢ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
одній точці, то |
|
|
× |
|
× |
|
|
|
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
C¢B A¢C B¢A |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC¢¢ |
BA¢ |
CB¢ |
|
|
||||||
Але за умовою: |
|
|
× |
|
|
× |
|
|
= 1 , |
звідси |
|
|
|
||||||||
C¢¢B A¢C B¢A |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC¢¢ |
AC¢ |
|
||||
|
|
|
= |
|
. |
Так як |
|
|
|||||
C¢¢B |
C¢B |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
точки C′ і C′′ лежать на прямій AB , з цього випливає, що C′ і C′′ співпадають. Теорему доведено [4, С.57].
Доведення 6. |
|
BB |
, CC |
|
перетинаються в точці M . |
|||||||||
Припустимо спочатку, що прямі AA , |
|
|||||||||||||
|
|
|
′ |
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Любі три вектори площини лінійно залежні, тобто існують такі числа λ, μ,ν |
(не |
|||||||||||||
всі рівні нулю), що λ |
|
+ μBM +νCM = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Розглянемо проекцію на пряму BC |
паралельну прямій |
AM . При |
цій |
|||||||||||
проекції точки |
A і M переходять в A , а точки B і C переходять самі в себе. |
|||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μBA¢ +νCA¢ = 0 , |
тобто |
BA¢ : CA¢ = −ν : μ . |
Аналогічно |
CB¢ : AB¢ = -λ :ν |
і |
|||||||||
AC¢ : BC¢ = -μ : λ . Перемноживши ці рівності отримаємо |
BA¢ |
× |
CB¢ |
× |
AC¢ |
= 1 (1). У |
||||||||
CA¢ |
AB¢ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BC¢ |
|
|||
випадку, коли |
прямі |
паралельні, для доведення |
|
достатньо |
замінити, |
що |
||||||||
BA¢ : CA¢ = BA : C¢A і CB¢ : AB¢ = C¢B : AB .
Припустимо, що виконується співвідношення (1), доведемо, що тоді прямі AA′, BB′, CC′ перетинаються в одній точці. Нехай C′′ – точка перетину прямої AB з прямою, яка проходить через точку C і точку перетину прямих AA′, BB′. Для точки С'' виконується таке ж співвідношення, як і для точки C′. Тому C¢¢A : C¢¢B = C¢A : C¢B → С''=С', тобто прямі AA′, BB′, CC′ перетинаються в одній точці.
Можна також перевірити, що якщо виконується дане співвідношення і дві з прямих AA′, BB′, CC′ паралельні, то третя пряма їм паралельна [7, С.133].
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
101 |
Зуб І.В.
Теорема Менелая. Різні способи її доведення.
Менелай Александрійський (приблизно 100 р. н. е. (I – II ст.)) написав трактат “Sphaerica” ( Сфера), в якому дав систематичний виклад сферичної геометрії – першої геометричної системи, відмінної від Евклідової. Теорема Менелая – це теорема про співвідношення між довжиною відрізків на сторонах трикутника, якого пересікли прямою.
Теорема Менелая. Якщо пряма перетинає сторони |
AB і BC |
ABC у |
||||||
точках C ′ і A′ відповідно, а продовження сторони AC |
– у точці |
B′ , то |
||||||
справджується відношення: |
AC′ |
× |
BA′ |
× |
CB′ |
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
C¢B A¢C B¢A |
|
|
|||||
Доведення 1. |
|
|
||||||
Звершини ABC проведемо до заданої прямої перпендикуляри AA′′ , BB′′ , CC′′ і позначимо їх a, b, c відповідно.
Маємо три пари подібних прямокутних трикутників (ознака подібності за гострим кутом):
′′ |
|
′ |
~ |
′′ |
′ |
|
a |
= |
|
AC ′ |
; |
||||
|
→ b |
|
C¢B |
||||||||||||
AA |
C |
BB C |
|
|
|
||||||||||
′′ |
|
′ |
~ |
′′ |
′ |
|
|
b |
= |
|
BA′ |
|
; |
||
|
|
→ c |
|
A¢C |
|||||||||||
B BA |
CC A |
|
|
|
|||||||||||
′′ |
′ |
|
′′ |
|
′ |
|
c |
= |
CB′ |
|
|
||||
~ |
|
→ a |
|
B¢A . |
|||||||||||
AA |
|
B |
|
CC B |
|
|
|||||||||
Тоді |
AC′ |
× |
BA′ |
× |
CB′ |
= |
a |
× |
b |
× |
c |
= 1 [2, С.214]. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
C¢B A¢C B¢A b |
|
c a |
|||||||||
102 |
Математика, методика математики |
ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ. РІЗНІ МЕТОДИ ЇХ ДОВЕДЕННЯ
Доведення 2.
′ ′ |
) |
перетинає сторони |
′ |
′ |
, |
′ |
, то справджується |
||||||||||||||||||||||
Якщо ( C A |
ABC у точках B |
, C |
A |
||||||||||||||||||||||||||
відношення: |
|
|
BA¢ |
|
|
|
× |
|
|
|
CB¢ |
|
|
× |
|
|
|
AC¢ |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
A¢C |
|
|
|
|
|
|
B¢A |
|
|
|
|
|
|
C¢B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Побудувавши |
[CG] || [ AB] |
|
|
|
дістанемо дві |
пари |
подібних |
|
|
трикутників: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
AB C |
~ CGB |
|
і |
BA |
C |
|
~ CA |
G . З подібності першої |
|
|
|
пари |
випливає: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
AB¢ |
|
|
|
= |
|
|
|
AC¢ |
|
|
, з другої пари: |
|
|
|
|
|
BA¢ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
C¢B |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
B¢C |
|
|
|
|
|
CG |
|
|
|
|
|
|
|
|
A¢C |
|
|
|
|
|
|
CG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Поділивши другу пропорцію на першу, матимемо: |
|
BA¢ |
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
B¢C |
|
|
= |
|
|
|
C¢B |
|
|
|
|
(1). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A¢C |
|
|
|
|
|
|
|
|
AB¢ |
|
|
|
|
|
|
AC¢ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Помноживши обидві частини рівності (1) на |
|
|
AC ¢ |
|
|
, дістанемо відношення, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C ¢B |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
яке потрібно довести [6, С.59].
Доведення 3.
Якщо точки X , Y , Z , які лежать на сторонах BC , CA , AB (відповідно
продовжених) колінеарні, то BX × CY × AZ = 1.
CX AY BZ
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
103 |
Зуб І.В.
Нехай задані колінеарні точки X , Y , Z . Позначимо через a, b, c довжини перпендикулярів, опущених з точок A , B , C на пряму XY , рахуючи ті з них додатними, які знаходяться по одну сторону від цієї прямої, і від'ємними ті, які
лежать по іншу сторону. Перемножимо наступні три рівності: |
BX |
= |
b |
, |
CY |
= |
c |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
AY |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CX c |
|
a |
|||||
|
AZ |
= |
a |
ми отримаємо потрібний результат (підкреслимо, |
що для того, |
щоб |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
BZ |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
розмістити на сторонах |
ABC три різні колінеарні точки |
X , Y , Z , завжди |
|||||||||||||||||||||||||||||
необхідно продовжити або всі три, або тільки одну з сторін трикутника). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
В іншому випадку, якщо точки |
X , Y , Z розміщені на трьох сторонах |
|||||||||||||||||||||||||||
таким |
чином, що |
BX |
× |
CY |
× |
|
AZ |
= 1, |
то |
позначивши |
|
через |
Z ′ точку перетину |
||||||||||||||||||
|
|
|
BZ |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
CX |
AY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
прямих AB і XY отримаємо |
BX |
× |
CY |
× |
AZ ′ |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CX |
|
|
AY |
|
BZ ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Звідси випливає, що |
AZ ′ |
|
|
|
AZ |
, тобто точка Z |
|
співпадає з точкоюZ , ми |
||||||||||||||||||||
|
|
|
BZ ¢ |
|
|
= BZ |
′ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
довели, що точки X , Y , |
Z – |
|
|
колінеарні [5, С.82]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Доведення 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Нехай сторони ABC перетнуті січною C′A′B′. Проведемо в площині ABC довільну пряму PQ і з вершини трикутника проведемо прямі, паралельні січній C′A′B′ до перетину з прямою PQ . На основі теореми про прямі, які
перетинають паралельні прямі, маємо: AC′ = ao , BA′ = bo , CB′ = co .
C¢B ob A¢C oc B¢A oa
Перемноживши отримані рівності, отримаємо:
AC′ × BA′ × CB′ = ao × bo × co =
1 [3, С.37].
C¢B A¢C B¢A ob oc oa
104 |
Математика, методика математики |
ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ. РІЗНІ МЕТОДИ ЇХ ДОВЕДЕННЯ
Доведення 5.
Відомо, |
що точки A′ , B′ , |
C ′лежать на одній прямій. Потрібно довести |
|||||||||||
′ |
) = −1, |
|
′ |
|
′ |
|
′ |
, |
B |
′ |
, C |
′ |
лежать |
рівність R( , |
R (w, w ) = −1 |
. Замітимо, що якщо точки A |
|
|
|||||||||
на одній прямій, то або вони всі знаходяться на продовженнях |
BC , CA , AB |
||||||||||||
сторін трикутника ABC , |
або дві з точок A′ , B′ , C′ |
знаходяться на відповідних |
|||||||||||
їм сторонах, а третя – |
на продовженні сторони. В обох випадках вираз |
|
′ |
||||||||||
|
R( , ) |
||||||||||||
буде від’ ємним. Доведемо тепер, що якщо точки A′ , |
B′ , C′ – на одній прямій, то |
||||||||||||
′ |
|
|
′ |
=< 0 , то з цього буде слідувати, що R( , |
|
′ |
= −1). |
||||||
R( , ) =1 (якщо R( , |
|
) |
|
) |
|||||||||
Проведемо через точку B пряму, паралельну CA , і позначимо точку її |
|||||||||||||
|
′ |
′ |
B |
′ |
через D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
перетину з прямою C A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Використовуючи подібність, легко отримати:
|
|
|
|
CA¢ |
= |
||
|
|
|
|
|
|||
A¢B |
|
||
|
|
|
|
B¢C ,
BD
|
|
|
|
BC¢ |
= |
||
|
|
|
|
|
|||
C¢A |
|
||
|
|
|
|
BD
AB¢ .
|
|
|
Додавши |
|
очевидну |
|
|
рівність |
|
|
|
AB¢ |
|
|
= |
AB¢ |
|
і |
перемноживши |
рівності, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
B¢C |
|
|
B¢C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
R(D, D¢) |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
отримаємо, що |
|
|
|
[4, С.61]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
Доведення 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Нехай при проекції на пряму, |
|
перпендикулярну A′′B′′ , точки A , B , C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переходять в A′ , B′ , |
C′, точка C′′ – в Q , а дві точки |
A′′ і B′′ – |
в одну точку P . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так як A |
B : A |
C = PB |
: PC |
|
, |
B C : B A = PC |
|
: PA |
|
|
і C A : C B = QA |
: QB |
, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
′′ |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
′′ ′′ |
′ |
′ |
|
|||||
|
A¢¢B |
× |
B¢¢C |
× |
C¢¢A |
= |
PB¢ |
× |
PC¢ |
|
× |
QA¢ |
= |
PB¢ |
|
× |
QA¢ |
|
= |
b¢ |
× |
a¢ + x |
, де |
|
x |
|
= PQ . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A¢¢C B¢¢A C¢¢B PC¢ |
|
|
|
PA¢ |
|
QB¢ |
|
PA¢ |
|
QB¢ |
|
|
|
a¢ |
|
|
b¢ + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
105 |
|
|
|
|
Зуб І.В. |
|
|
|
|
|
Рівність |
b′ |
× |
a′+ x |
=1 еквівалентна тому, що x = 0 (потрібно врахувати, що |
a¢ |
|
|||
|
|
b¢ + x |
||
a′ ¹ b′ , так як A′ ¹ B′ ). А рівність x = 0 означає, що P = Q тобто точка C′′ лежить на прямій A′′B′′ [7, С.113].
Приклади задач Задача 1 Довести, що бісектриси внутрішніх кутів трикутника
перетинаються в одній точці.
Доведення. Нехай AA′, BB′, |
CC′ |
– бісектриси внутрішніх кутів |
||||||||||||||||||||||
трикутника. Маємо: |
AB' |
= |
|
c |
, |
|
CA' |
= |
b |
, |
BC' |
= |
a |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
B'C a A'B c |
C'A |
b |
||||||||||||||||
Звідси: |
AB' |
× |
CA' |
× |
BC′ |
= |
c |
× |
b |
× |
a |
= 1. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
B'C A'B C¢A |
|
a c b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача 2 Довести, що висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника.
106 |
Математика, методика математики |
ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ. РІЗНІ МЕТОДИ ЇХ ДОВЕДЕННЯ
Доведення. Нехай AA′, |
BB′, |
CC ′ – |
висоти трикутника. Маємо: |
||||||
AC ′ = b cos A , BA'= ccosB , CB'= acosC , C'B = acosB , |
A'C = bcosC , B'A = ccosA . |
||||||||
Звідси: |
AB' |
× |
CA' |
× |
BC′ |
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
B'C A'B C¢A |
|
|
|
|||||
Задача 3 На сторонах BC , |
CA , |
AB DABC взяли точки A′ , B′ , C′так, що |
|||||||
AA′, BB′, CC′ перетинаються в одній точці. Прямі A′B′ і A′C′ перетинають пряму, яка проходить через вершину A паралельно стороні BC в точках C′′ і B′′ відповідно. Довести, що AB′′ = AC′′.
Розв’ язання. Із подібності трикутників AC′B′′ і BC′A′ маємо:
AB′′× C′B = AC′× BA′
Із подібності трикутників AB′C′′ і CB′A′ маємо:
AC′′× CB′ = A′C × B′A
Тому: AB′′ = AC′ × BA′ × CB′ = 1 AC¢¢ C¢B A¢C B¢A
Отже, AB′′ = AC′′.
Задача 4 З вершини C прямого кута трикутника ABC проведена висота CK , і в трикутнику ACK проведена бісектриса CE . Пряма, яка проходить через точку B паралельно CE перетинає CK в точці F . Довести, що пряма EF ділить відрізок AC навпіл.
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
107 |
Зуб І.В.
Так як ÐBCE = 90° - ÐB , то ÐBCE = ÐBEC , а отже BE = BC .
2
Тому CF : KF = BE : BK = BC : BK і AE : KE = CA : CK = BC : BK .
Нехай пряма EF перетинає AC в точці D .
За теоремою Менелая AD × CF × KE = 1.
CD KF AE
Враховуючи, що CF : KF = AE : KE , отримаємо AD = DC .
Задача 5 Всередині трикутника ABC взята точка X . Пряма AX перетинає описане коло в точці A′ . В сегмент, який відтинається прямою BC вписане коло, яке дотикається дуги BC в точці A′ , а сторони BC – в точці A′′. Точки B′′ і C′′ визначаються аналогічно. Довести, що прямі AA′′ , BB′′ , CC′′ перетинаються в одній точці.
108 |
Математика, методика математики |
ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ. РІЗНІ МЕТОДИ ЇХ ДОВЕДЕННЯ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BA |
′′ |
|
′ |
|
sin BAA |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
BA |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
A |
є бісектрисою трикутника |
BC . Тому CA¢¢ |
= CA¢ |
= sin CAA¢ . |
|||||||||||||||
|
Відрізок A |
|
A |
||||||||||||||||||||||
Із того, що прямі AA′, BB′, CC′ перетинаються в одній точці слідує, що |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
sin BAA′ |
× sin CBB′ |
× sin ACC′ |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
sin CAA¢ |
|
sin ABB¢ |
|
|
|
sin BCC¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Тому |
BA′′ |
× |
CB′′ |
× |
AC′′ |
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
AB¢¢ |
BC¢¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
CA¢¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отже, прямі AA′′ , BB′′ , CC′′ перетинаються в одній точці.
Висновок
Теореми Чеви і Менелая є особливо корисними в тих випадках, коли потрібно з’ясувати відношення між точками і прямими, - наприклад, довести, що якісь три прямі перетинаються в одній точці; три точки лежать на одній прямій.
Теореми Чеви і Менелая можна використати у випадку многокутника. Нехай на площині многокутника з непарним числом вершин A1 , A2 , A3 ,..., A2n−1 дано точку O і нехай прямі OA1 , OA2 , OA3 ,..., OA2n−1 перетинають протилежні
вершини |
A1 , A2 , A3 ,..., A2n−1 , |
сторони |
|
многокутника відповідно |
в |
точках |
||||||||||
a , a |
2 |
, a |
,..., a |
2n−1 |
. В такому випадку: |
A1a1 |
× |
A2 a2 |
×... × |
A2n−2 a2n−2 |
× |
A2n−1a2n−1 |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
3 |
|
|
|
a1 A2 |
|
a2 A3 |
a2n−2 A2n−1 |
|
a2n−1 A1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
У випадку теореми |
Менелая: |
нехай |
пряма |
l |
перетинає |
сторони |
||||||||
A1 A2 , A2 A3 ,..., An−1 An , An A1 многокутника |
|
A1 , A2 , A3 ,..., An−1 , An |
відповідно |
в точках |
||||||||||||
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
109 |