sfme2009_8
.pdf
Сокальська Л.В.
|
|
A |
|
B |
|
|
C |
|
D |
|
E |
|
|
F |
|
|
G |
|
H |
|
|
I |
|
|
J |
|
1 |
|
Оптимальний баланс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Початкові дані: норми, ціни, потужності |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
Цех |
|
|
Цех 2 |
|
Цех |
|
Цех |
|
|
Цех |
|
|
Цех |
|
Ціна |
|
Х |
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Цех 1 |
|
0,01 |
|
|
0,03 |
|
0,05 |
|
0,07 |
|
|
0,09 |
|
|
0,12 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
5 |
|
Цех 2 |
|
0,03 |
|
|
0,05 |
|
0,06 |
|
0,08 |
|
|
0,1 |
|
|
0,13 |
|
6 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
6 |
|
Цех 3 |
|
0,05 |
|
|
0,07 |
|
0,07 |
|
0,09 |
|
|
0,11 |
|
|
0,14 |
|
3 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
7 |
|
Цех 4 |
|
0,07 |
|
|
0,09 |
|
0,08 |
|
0,1 |
|
|
0,12 |
|
|
0,15 |
|
7 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
8 |
|
Цех 5 |
|
0,09 |
|
|
0,11 |
|
0,09 |
|
0,11 |
|
|
0,13 |
|
|
0,16 |
|
8 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
9 |
|
Цех 6 |
|
0,11 |
|
|
0,13 |
|
0,1 |
|
0,12 |
|
|
0,14 |
|
|
0,17 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
10 |
|
Потужність |
|
400 |
|
|
300 |
|
900 |
|
500 |
|
|
450 |
|
|
250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
План |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АХ |
|
|
AX+Y |
|
|||
12 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
13 |
|
Потоки |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||
15 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Формування |
цільової |
|
|
функції |
|
|
за |
|
|
формулою |
|
|||||||||||||
:=СУММПРОИЗВ(c1 : c6 ; y1 : y6 ).
Для зручності можна надати змістовні імена діапазонам клітинок відповідно до економіко-математичної моделі: прибуток (Р), план (Х),
внутрішні_експорт (AX+Y), потужність (Z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Запускаємо програму Поиск решения, у відповідних полях вказуємо: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Адресу клітинки цільової функції; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Критерій – |
|
максимум |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Адреси вектора Х (шуканий валовий випуск) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Натискаємо кнопку Добавить, щоб додати обмеження |
X ≤ Z , X=AX+Y, |
|
||||||||||||||||||||
X=AX+Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Натиснути кнопку Параметры і зафіксувати режим: Линейная модель та |
|
|||||||||||||||||||||
Неотрицательные значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Натиснути кнопку Выполнить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
|
|
C |
|
D |
|
E |
|
F |
|
|
G |
|
H |
|
|
I |
|
J |
|
1 |
Оптимальний баланс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Початкові дані: норми, ціни, потужності |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
Цех |
|
|
Цех |
|
Цех |
|
Цех |
|
Цех |
|
|
Цех |
|
Ціна |
|
|
Х |
|
Y |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Цех 1 |
|
0,01 |
|
|
0,03 |
|
0,05 |
|
0,07 |
|
0,09 |
|
|
0,12 |
|
2 |
|
|
131,3 |
|
0 |
|
5 |
Цех 2 |
|
0,03 |
|
|
0,05 |
|
0,06 |
|
0,08 |
|
0,1 |
|
|
0,13 |
|
6 |
|
|
300 |
|
144,9 |
|
90 |
Прикладна математика |
ЗАСТОСУВАННЯ БАЛАНСОВИХ МОДЕЛЕЙ ПРИ АНАЛІЗІ ЕКОНОМІЧНИХ ПОКАЗНИКІВ
6 |
Цех 3 |
0,05 |
0,07 |
0,07 |
0,09 |
0,11 |
0,14 |
3 |
|
310,5 |
131,7 |
7 |
Цех 4 |
0,07 |
0,09 |
0,08 |
0,1 |
0,12 |
0,15 |
7 |
|
500 |
297,5 |
8 |
Цех 5 |
0,09 |
0,11 |
0,09 |
0,11 |
0,13 |
0,16 |
8 |
|
450 |
223,7 |
9 |
Цех 6 |
0,11 |
0,13 |
0,1 |
0,12 |
0,14 |
0,17 |
1 |
|
250 |
0 |
10 |
Потужність |
400 |
300 |
900 |
500 |
450 |
250 |
|
|
|
|
11 |
План |
|
|
|
|
|
|
АХ |
|
AX+Y |
|
12 |
|
1,3 |
9 |
15,5 |
35 |
40,5 |
30 |
131,3 |
|
131,3 |
|
13 |
Потоки |
3,9 |
15 |
18,6 |
40 |
45 |
32 |
155,1 |
|
300 |
|
14 |
6,6 |
21 |
21,7 |
45 |
49 |
35 |
178,8 |
|
310,5 |
|
|
15 |
|
2,9 |
27 |
24,8 |
50 |
54 |
37,5 |
202,5 |
|
500 |
|
16 |
|
11,8 |
33 |
27,9 |
55 |
58 |
40 |
226,3 |
|
450 |
|
17 |
|
14,4 |
39 |
31,1 |
60 |
63 |
42,5 |
250 |
|
250 |
|
Отримавши результат, побудувати звіт Устойчивость і ввести в обчислювальну таблицю двоїсті оцінки.
|
|
A |
|
B |
|
C |
|
D |
|
E |
|
F |
|
G |
|
H |
|
|
I |
|
J |
|
1 |
|
Оптимальний баланс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Початкові дані: норми, ціни, потужності |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
Цех 1 |
|
Цех |
|
Цех 3 |
|
Цех |
|
Цех |
|
Цех |
|
Ціна |
|
Х |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Цех 1 |
|
0,01 |
|
0,03 |
|
0,05 |
|
0,07 |
|
0,09 |
|
0,12 |
|
2 |
|
|
131,3 |
|
0 |
|
5 |
|
Цех 2 |
|
0,03 |
|
0,05 |
|
0,06 |
|
0,08 |
|
0,1 |
|
0,13 |
|
6 |
|
|
300 |
|
144,9 |
|
6 |
|
Цех 3 |
|
0,05 |
|
0,07 |
|
0,07 |
|
0,09 |
|
0,11 |
|
0,14 |
|
3 |
|
|
310,5 |
|
131,7 |
|
7 |
|
Цех 4 |
|
0,07 |
|
0,09 |
|
0,08 |
|
0,1 |
|
0,12 |
|
0,15 |
|
7 |
|
|
500 |
|
297,5 |
|
8 |
|
Цех 5 |
|
0,09 |
|
0,11 |
|
0,09 |
|
0,11 |
|
0,13 |
|
0,16 |
|
8 |
|
|
450 |
|
223,7 |
|
9 |
|
Цех 6 |
|
0,11 |
|
0,13 |
|
0,1 |
|
0,12 |
|
0,14 |
|
0,17 |
|
1 |
|
|
250 |
|
0 |
|
10 |
|
Потужність |
|
400 |
|
300 |
|
900 |
|
500 |
|
450 |
|
250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
План |
|
131,3 |
|
300 |
|
310,5 |
|
500 |
|
450 |
|
250 |
|
АХ |
|
|
AX+Y |
|
|
|
12 |
|
|
|
1,3 |
|
9 |
|
15,5 |
|
35 |
|
40,5 |
|
30 |
|
131,3 |
|
131,3 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
3,9 |
|
15 |
|
18,6 |
|
40 |
|
45 |
|
32 |
|
155,1 |
|
300 |
|
|
|
|
14 |
|
Потоки |
|
6,6 |
|
21 |
|
21,7 |
|
45 |
|
49 |
|
35 |
|
178,8 |
|
310,5 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
2,9 |
|
27 |
|
24,8 |
|
50 |
|
54 |
|
37,5 |
|
202,5 |
|
500 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
11,8 |
|
33 |
|
27,9 |
|
55 |
|
58 |
|
40 |
|
226,3 |
|
450 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
14,4 |
|
39 |
|
31,1 |
|
60 |
|
63 |
|
42,5 |
|
250 |
|
250 |
|
|
|
|
18 |
|
Н-вартість |
|
0,0 |
|
2,6 |
|
0,0 |
|
3,3 |
|
3,5 |
|
4,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
Т-ціна обм. |
|
-0,7 |
|
0,0 |
|
0,0 |
|
0,0 |
|
0,0 |
|
-9,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Потім проводиться аналіз отриманого оптимального плану з використанням нормованих вартостей величин плану та тіньових цін, приймається рішення щодо розвитку підприємства, згідно з яким вносяться зміни у початкові дані і відшукується наступний оптимальний план.
Аналіз отриманого оптимального балансу і прийняття рішень
План |
Потужність |
Внутрішні |
Експорт |
Н-вартість |
Т-ціна |
Висновок |
131,3 |
400 |
131,3 |
0 |
0 |
-0,7 |
|
300 |
300 |
155,1 |
144,9 |
2,6 |
0 |
розширення |
310 |
900 |
178,8 |
131,7 |
0 |
0 |
|
500 |
500 |
202,5 |
297,5 |
3,3 |
0 |
розширення |
450 |
450 |
226,3 |
223,7 |
3,5 |
0 |
розширення |
250 |
250 |
250 |
0 |
4,6 |
-9,2 |
розширення |
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
91 |
Сокальська Л.В.
Дана таблиця дозволяє об’єктивно оцінити стан виробництва на підприємстві і визначити програму його подальшого розвитку.
Цех 1: «невигідний», потужності недовантажені, його продукція споживається лише на внутрішні потреби, рекомендується зберегти його профіль, але перейти на випуск більш вигідної для реалізації продукції. Величина -0,7 означає, що вимушений випуск додаткової одиниці «невигідної» продукції на експорт призведе до зниження загального прибутку на 0,7.
Цех 2: «вигідний», його потужність використовується повністю, продукція споживається на експорт і дає прибуток, рекомендується розширити його потужність, за рахунок чого випуск додаткової одиниці продукції збільшить загальний прибуток на 2,6.
Цех 3: «вигідний», але його потужність використовується не повністю і є резерв, продукція споживається на експорт і дає прибуток, тому залишаємо без змін.
Цех 4: «вигідний», його потужність використовується повністю, продукція споживається на експорт і дає прибуток, рекомендується розширити його потужність, за рахунок чого випуск додаткової одиниці продукції збільшить загальний прибуток на 3,3.
Цех 5: «вигідний», його потужність використовується повністю, продукція споживається на експорт і дає прибуток, рекомендується розширити його потужність, за рахунок чого випуск додаткової одиниці продукції збільшить загальний прибуток на 3,5.
Цех 6: «найбільш вигідний» його потужність використовується повністю, але лише для забезпечення внутрішніх витрат і тому на експорт, яки би дав прибуток, нічого не залишається. Рекомендується розширити його потужність в першу чергу, оскільки дефіцит його продукції затримує виробництво на інших цехах.
|
A |
|
B |
|
C |
|
D |
|
E |
|
F |
|
G |
|
H |
|
I |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Оптимальний баланс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Початкові дані: норми, ціни, потужності |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
Цех 1 |
|
Цех |
|
Цех 3 |
|
Цех |
|
Цех |
|
Цех |
|
Ціна |
|
Х |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Цех 1 |
|
0,01 |
|
0,03 |
|
0,05 |
|
0,07 |
|
0,09 |
|
0,12 |
|
2 |
|
131,9 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
Цех 2 |
|
0,03 |
|
0,05 |
|
0,06 |
|
0,08 |
|
0,1 |
|
0,13 |
|
6 |
|
300 |
|
144,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
Цех 3 |
|
0,05 |
|
0,07 |
|
0,07 |
|
0,09 |
|
0,11 |
|
0,14 |
|
3 |
|
318,3 |
|
138,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Цех 4 |
|
0,07 |
|
0,09 |
|
0,08 |
|
0,1 |
|
0,12 |
|
0,15 |
|
7 |
|
500 |
|
296,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
Цех 5 |
|
0,09 |
|
0,11 |
|
0,09 |
|
0,11 |
|
0,13 |
|
0,16 |
|
8 |
|
450 |
|
22,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
92 |
Прикладна математика |
ЗАСТОСУВАННЯ БАЛАНСОВИХ МОДЕЛЕЙ ПРИ АНАЛІЗІ ЕКОНОМІЧНИХ ПОКАЗНИКІВ
|
9 |
|
Цех 6 |
0,11 |
0,13 |
0,1 |
0,12 |
0,14 |
0,17 |
1 |
|
251 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
Потужність |
400 |
300 |
900 |
500 |
450 |
251 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
План |
131,3 |
300 |
310,5 |
500 |
450 |
250 |
АХ |
|
AX+Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
1,3 |
9 |
15,5 |
35 |
40,5 |
30 |
131,9 |
|
131,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
Потоки |
3,9 |
15 |
18,6 |
40 |
45 |
32 |
155,7 |
|
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
6,6 |
21 |
21,7 |
45 |
49 |
35 |
179,5 |
|
318,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
2,9 |
27 |
24,8 |
50 |
54 |
37,5 |
203,3 |
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
11,8 |
33 |
27,9 |
55 |
58 |
40 |
227,7 |
|
450 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
14,4 |
39 |
31,1 |
60 |
63 |
42,5 |
251 |
|
251 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
Н-вартість |
0,0 |
2,6 |
0,0 |
3,3 |
3,5 |
4,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
Т-ціна обм. |
-0,7 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
-9,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина -9,2 показує, що вимушений випуск додаткової одиниці цієї продукції на експорт без збільшення потужності цеху №6 призведе до зниження загального прибутку на 9,2 (за рахунок зменшення експортної програми). Отже, прибуток підприємства за рахунок експорту забезпечують цехи №№2-5. Тому актуальним є рішення збільшити потужність цеху 6 і знайти новий план.
Література
1.Аникин А.В. Василий Леонтьев, или экономика на шахматной доске // Природа.
-М.,2000, №7. - С.41-57.
2.Бункина М.К. Экономические модели Василия Леонтьева // Финансовый менеджмент.- М., 2002, №1. - С. 13-28.
3.Гранберг А. Г. Василий Леонтьев в мировой и отечественной экономической науке // Вопросы экономики.-М.,1999. № 3. - С. 24-32
4.Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов.- М., 2002.- 304 с.
5.Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика. - М.,1997. - 315 с.
6.Леонтьев В.В. Экономические эссе. - М., 1990. -280 с.
7.Леонтьев В.В.Исследование структуры американской экономики. – М. 1958. – 231 с.
8.Селигмен Б. Основные течения современной экономической мысли.- М., 1968. – 284с.
9.Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов /В.В.Федосеев, А.Н. Гармаш и др. -М., 2001. -264 с.
10.www.wassily.leontief.net.
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
93 |
Зуб І. В.,
студентка Фізико-математичного інституту НПУ імені М.П.Драгоманова Науковий керівник: кандидат фіз.-мат. наук, доцент Школьний О. В.
ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ. РІЗНІ МЕТОДИ ЇХ ДОВЕДЕННЯ
У статті наведено по 6 різних доведень теорем Чеви та Менелая, а також приклади застосувань цих теорем до розв’язування задач.
Вступ
Геометрія починається з трикутника. Взявши шкільний підручник з геометрії, ми побачимо, що перші теореми стосуються саме трикутника. Всі попередні твердження – аксіоми, визначення або найпростіші з них наслідки. Тому майбутньому вчителю математики необхідно знати, вміти використовувати і доводити ці теореми. Дуже часто доведення одних теорем базується на інших теоремах або спрощується за їх допомогою.
Якщо задати запитання “ що ми знаємо про медіани, висоти, бісектриси трикутника?” Напевно, кожен з нас, подумавши, зможе сказати, що, наприклад, бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, і висоти – теж, і медіани (теореми про бісектриси і медіани трикутника, звичайно ж, є в шкільних підручниках з геометрії)…
Однак доведення цих теорем не такі вже й прості. Але, виявляється, будь-яке з цих тверджень легко отримати, якщо знати теорему Чеви (теорему про співвідношення відрізків деяких прямих, які перетинають трикутник). Саме цю теорему та різні способи її доведення я розглядаю в даній статті. Крім неї я розглядаю теорему Менелая, оскільки вона з теоремою Чеви схоже формулюється і доводиться.
Ці теореми розширять знання вчителя математики з геометрії трикутника, а також спростять розв’язання окремих задач. Зокрема вони будуть корисні у гуртковій роботі та на заняттях факультативу з математики.
Теорема Чеви. Різні способи її доведення
Відрізок, який з'єднує вершину трикутника з деякою точкою на
протилежній стороні називається чевіаною. Таким чином, якщо в ABC A′ , |
B′ , |
|
C ′ – точки, що лежать на сторонах BC , CA , AB відповідно, то відрізки |
AA′ , |
|
|
|
|
|
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
|
ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ. РІЗНІ МЕТОДИ ЇХ ДОВЕДЕННЯ
BB′, CC ′ є чевіанами. Цей термін походить від імені італійського математика Джовані Чеви (1648 – 13.XII. 1734), який в 1678 році опублікував наступну теорему – теорему про співвідношення відрізків деяких прямих, які перетинають трикутник.
Теорема Чеви. Нехай A′ , B′ , C ′ – три точки, що лежать відповідно на сторонах BC , CA , AB ABC . Для того, щоб прямі AA′, BB′, CC ′ перетиналися в одні точці або були всі паралельні необхідно і достатньо, щоб мало місце співвідношення:
AC′ × BA′ × CB′ = C¢B A¢C B¢A 1 .
Доведення 1.
Необхідність.
Якщо чевіани AA′, BB′, CC′ перетинаються в одній точці, то виконується:
|
|
|
|
|
|
|
|
AC′ |
× |
BA′ |
× |
CB′ |
= 1 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C¢B |
A¢C |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B¢A |
|
||||||||
У |
′ ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABC : BA : A C = S ABA′ : S AA′C = S PBA′ : S PA′C = (S ABA′ : S PBA′ ): (S AA′C : S PA′C ). |
|||||||||||||||||||||
|
′ ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді BA : A C = S ABP : S BCP . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
′ |
′ |
: S ABP |
|
і AC |
′ |
|
′ |
: S BCP . |
||||||||||||
Аналогічно: CB |
: B A = S BCP |
|
|
: C B = SCAP |
|||||||||||||||||
Перемноживши почленно три здобуті нерівності, дістанемо: |
|||||||||||||||||||||
|
|
BA¢ |
× |
CB¢ |
× |
AC¢ |
= |
|
S ABP |
× |
S BCP |
× |
SCAP |
|
= 1. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
A¢C B¢A |
C ¢B |
|
SCAP |
|
S ABP S BCP |
|
|||||||||||||
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
95 |
Зуб І.В.
Достатність. Якщо для чевіан AA′, BB′, CC ′ виконується співвідношення
|
AC′ |
× |
BA′ |
× |
CB′ |
= 1 , то вони перетинаються в одній точці P . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
C¢B A¢C B¢A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Нехай AA′Ç BB′ = P Ï CC′. Проведемо через точку P чевіану CC / , |
C / ¹ C¢ . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
Тоді за |
доведеним: |
BA¢ |
× |
CB¢ |
× |
AC / |
= 1 = |
BA¢ |
× |
CB¢ |
× |
AC¢ |
і |
AC / |
= |
AC¢ |
, тобто |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C / |
C¢B |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A¢C B¢A C / B |
|
A¢C B¢A C¢B |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
C1/ = C¢ , що суперечить припущенню [2, С.217].
Доведення 2.
Доведення теореми ґрунтується на теоремі Птоломея:
Перетнувши сторони ABC довільною прямою DF на кожній стороні вийде по два відрізки, які лежать на одній прямій, а саме: на стороні AB відрізки AD і BD , на BC відрізки BE і EC , а на AC відрізки AF і CF ; відношення між
відрізками однієї сторони AD , помножене на відношення відрізків другої
BD
сторони |
BE |
, дорівнює відношенню відрізків третьої сторони |
AF |
, тобто |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
CE |
CF |
||||
|
AD |
× |
BE |
= |
AF |
[1, С.22]. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
BD CE |
|
CF |
|
|
|||||
96 |
Математика, методика математики |
ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ. РІЗНІ МЕТОДИ ЇХ ДОВЕДЕННЯ
AE × BD × CF = BE × CD × AF .
В DABC перетнувши прямою EC , отримаємо: AE × BC × DG = BE × CD × AG , а
вDADC , перетнувши прямою BF , отримаємо: AG × BD × CF = DG × BC × AF . Перемноживши ці рівності і скоротивши на спільні множники в обох
частинах, отримаємо: AE × BD × CF = BE × CD × AF , що потрібно було довести [1,
С.23].
Доведення 3.
(Візьмемо, що два відрізка розташовані на одній прямій або на паралельних прямих, мають однакові знаки, якщо їх напрямки співпадають і мають різні знаки, якщо їх напрямки протилежні).
Проведемо із вершини A пряму MN паралельну BC .
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
97 |
Зуб І.В.
Із подібності трикутників AMC′ |
і BCC ′ |
маємо: |
MA |
= |
AC′ |
|
(1) |
|
||||||||||||||||||||
AN |
C¢B |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
BC |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Із подібності трикутників ANB |
|
і CBB |
: |
|
|
= |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
AN |
AB¢ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Далі маємо: |
AN |
= |
AK |
= |
MA |
, |
BA′ |
= |
AN |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
BA¢ |
KA¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
A¢C A¢C MA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Перемноживши рівності (1), (2), (3), отримаємо: |
AC′ |
× |
BA′ |
× |
CB′ |
= 1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C¢B A¢C |
|
B¢A |
||||||||
|
|
|
Нехай AA |
|| BB |
|
|| CC |
|
. Тоді: |
AB′ |
= |
|
A′B |
(1), |
|
BC′ |
BC |
|
|
CA′ |
CA′ |
(3) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
B¢C |
|
BC |
|
C¢A = |
CA¢ (2), A¢B = |
A¢B |
|||||||||||||||||||||||||||
|
AB′ |
|
BC′ |
|
CA′ |
′ |
|
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
× |
= 1. [3, С.9]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
B¢C C¢A A¢B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Доведення 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Теорема. |
Якщо через вершини |
|
A , B , |
C |
|
ABC і через точку O , що |
|||||||||||||||||||||||||||||
лежить у його |
площині, проведені |
прямі |
AO , |
BO , |
|
CO , |
які |
перетинають |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
AB′ |
|
BC′ |
|
CA′ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
, то |
|
B¢C |
× C¢A × |
A¢B = 1. |
(1). |
||||||||||||||
сторони BC , CA , AB відповідно в точках A |
B |
C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
98 |
Математика, методика математики |
ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ. РІЗНІ МЕТОДИ ЇХ ДОВЕДЕННЯ
Припустимо спочатку, що прямі AA′ і BB′ перетинаються в точці O , яка не є нескінченно далекою. Нехай пряма CO перетинає сторону AB даного трикутника в точці C ′′ . Тоді за попередньою теоремою маємо:
AB′ × BC′′ × CA′ =
B¢C C¢¢A A¢B 1 (2).
З рівностей (1) і (2) виводимо: BC′ = BC′′ .
C¢A C¢¢A
Отже, точка C′′ збігається з точкою C′. Теорема доведена.
Якщо AA′ || BB′, то CC′ || AA′ || BB′, бо інакше всі ці прямі перетиналися б у точці, яка не є нескінченно далекою, а це не можливо через паралельність
прямих AA′, BB′. |
Отже, в даному випадку вважатимемо, що прямі AA′, BB′, |
||
CC′ перетинаються в нескінченно далекій точці [6, С.137]. |
|
|
|
Доведення 5. |
|
|
|
Нам будуть потрібні вектори: їх ми будемо позначати a , |
b , … |
або AB , … |
|
Під кутом між двома векторами a і b ми будемо розуміти кут, |
на який потрібно |
||
повернути вектор |
a в даному напрямку (проти годинникової |
стрілки) до |
|
співпадання з напрямленим вектором b .
Покладемо для визначеності, що 0 £ Ð(a, b) < 2 Õ . З цього визначення і
властивостей функції y = sin x слідує, що sin Ð(a, b) = -sin Ð(b, a) . |
) і A B C |
, |
|||||||||||
Розглянемо |
два трикутника: ABC (позначимо |
його через |
|||||||||||
вершини A , B |
|
, C |
|
якого лежать на прямих BC , CA , |
|
|
′ ′ ′ |
|
|||||
|
|
AB відповідно; позначимо |
|||||||||||
′ |
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трикутник A′B′C′ |
через |
′. Легко побачити, що вектори AC¢ |
і C'B колінеарні, |
||||||||||
також колінеарні |
і вектори |
BA', |
A'C і CB', B'A . Введемо |
для |
колінеарних |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторів AB і CD величину |
|
AB |
, рівну відношенню довжини векторів AB |
і |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CD |
|
|
|
|
||
CD , взяту зі знаком “+”, |
якщо вектори AB і CD співнапрямлені, і зі знаком “-”, |
|
|||||||||||
Студентські фізико-математичні етюди, 2009, № 8 |
99 |