ДПА 2 частина

2.5.Знайдіть первісну функції f (x) = cos62 6x , графік якої проходить через точку A (18π ; 3 3).

2.6.Перший тракторист може зорати поле на 3 год швидше, ніж другий. Якщо перший тракторист пропрацює 4 год, а потім його змінить другий, то останній закінчить оранку цього поля за 3 год. За скільки годин може зорати все поле перший тракторист?

2.7. Продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетинаються в точці K. Менша основа BC трапеції дорівнює 4 см, BK=5 см, AB=15 см. Знайдіть більшу основу трапеції.

2.8.У нижній основі циліндра проведено хорду, яка знаходиться на відстані d від центра верхньої основи і яку видно із цього центра під кутом ϕ. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною нижньої основи кут β. Знайдіть об’єм циліндра.

Частина третя

Розв’язання задач 3.1 – 3.3 повинно мати обґрунтування. У ньому потрібно записати послідовні логічні дії та пояснення, зробити посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання схемами, графіками, таблицями.

3.1. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функ-

ції f (x) = xx2 +−62x .

3.2. Розв’яжіть нерівність log1 log2 2x−−1x > −1.

3

3.3.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18 см і 24 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини його меншого гострого кута.

21

Варіант 11

Частина друга

Розв’яжіть завдання 2.1 – 2.8. Запишіть відповідь у бланк відповідей.

2.2. Розв’яжіть рівняння 27 9x2 = (13)3x−2 .

2.3. Спростіть вираз:

cos(π2 +α)cos(π−α)+sin(32π +α)sin(π+α) .

2.4.Обчисліть значення виразу (log212−log2 3+9log9 8)lg3 .

2.5.Дано функцію f (x) = e−2x cosx . Знайдіть f '(0) .

2.6.Катер пройшов 48 км за течією річки і повернувся назад, витративши на шлях проти течії на 3 год більше, ніж на шлях за течією річки. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії становить 4 км/год.

2.7.З точки до прямої проведено дві похилі завдовжки 25 см і 17 см. Знайдіть довжини проекцій цих похилих на дану пряму, якщо вони відносяться як 5:2.

2.8.Діагональ грані куба дорівнює a. Чому дорівнює діагональ куба?

Частина третя

Розв’язання задач 3.1 – 3.3 повинно мати обґрунтування. У ньому потрібно записати послідовні логічні дії та пояснення, зробити посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання схемами, графіками, таблицями.

3.1. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функ-

ції f (x) = xx2++25 .

3.2. Побудуйте графік функції f (x) = log2(x − 2) logx−2 2.

3.3. Основа піраміди — прямокутник, одна із сторін якого дорівнює a і утворює з діагоналлю прямокутника кут α. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом β. Знайдіть бічну поверхню конуса, описаного навколо даної піраміди.

23

Варіант 12

Частина друга

Розв’яжіть завдання 2.1 – 2.8. Запишіть відповідь у бланк відповідей.

2.2. Розв’яжіть рівняння:

sin2 x + 3sin x cosx = 0.

2.3. Розв’яжіть систему рівнянь:

xy + x = 56,

x − y = 2.

2.4.Обчисліть суму десяти перших членів арифметичної прогресії (an) , якщо a10 = 32, а різниця прогресії d = 4.

2.7.Площа ромба дорівнює 120 см2, а його діагоналі відносяться як 5:12. Знайдіть периметр ромба.

2.8.Хорду нижньої основи циліндра видно із центра цієї основи під кутом α. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи і середину даної хорди,

нахилений до площини основи під кутом β. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо твірна циліндра дорівнює l.

Частина третя

Розв’язання задач 3.1 – 3.3 повинно мати обґрунтування. У ньому потрібно записати послідовні логічні дії та пояснення, зробити посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання схемами, графіками, таблицями.

3.1. Розв’яжіть нерівність:

log3(2x −1)+log3(x −9) < 2.

3.2. Обчисліть площу фігури, обмеженої параболою y = x2 −4x +5 та прямою y = 5− x .

3.3.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть відстань від вершини меншого гострого кута трикутника до центра вписаного кола.

25

Варіант 13

Частина друга

Розв’яжіть завдання 2.1 – 2.8. Запишіть відповідь у бланк відповідей.

2.1.Чому дорівнює значення виразу (50,6)−0,6 (0,2)−2,36 ?

2.2.Розв’яжіть нерівність:

3x+2 −3x ≤ 24 .

2.3.Знайдіть значення cosα , якщо tgα = −3 і 32π < α < 2π .

2.4.Розв’яжіть рівняння:

4log2 3 x +log2 1x = −1.

2.5. Геометрична прогресія (bn) задана формулою загального члена bn = 7 2n−1. Знайдіть суму шести перших членів прогресії.

2.6.Змішавши 3-відсотковий і 8-відсотковий розчини солі, отримали 260 г 5-відсоткового розчину. Скільки взяли грамів 3-відсоткового розчину?

2.7. Продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетинаються

в точці M. Знайдіть відрізок AM, якщо AB=6 см і BC:AD=3:4.

2.8.В основі конуса проведено хорду, яку видно із центра основи під кутом

α, а з вершини конуса — під кутом β. Знайдіть площу бічної поверхні конуса, якщо радіус його основи дорівнює R.

Частина третя

Розв’язання задач 3.1 – 3.3 повинно мати обґрунтування. У ньому потрібно записати послідовні логічні дії та пояснення, зробити посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання схемами, графіками, таблицями.

3.1. Обчисліть площу фігури, обмеженої параболою y = x2 − 6x + 9 і прямою

y= 5− x .

3.2.Спростіть вираз:

( a +2)2 −8 a + ( a −2)2 +8 a .

3.3.Основа піраміди — квадрат зі стороною 12 см, а дві сусідні бічні грані перпендикулярні до площини основи. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди, якщо її висота дорівнює 5 см.

27

Варіант 14

Частина друга

Розв’яжіть завдання 2.1 – 2.8. Запишіть відповідь у бланк відповідей.

2.1.Обчисліть значення виразу 810,25 −90,5 −(0,2)−2 .

2.2.Знайдіть корінь рівняння 9x+1 −9x = 24.

Частина третя

Розв’язання задач 3.1 – 3.3 повинно мати обґрунтування. У ньому потрібно записати послідовні логічні дії та пояснення, зробити посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання схемами, графіками, таблицями.

3.1. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функ-

ції f (x) = x2x +−79x .

3.2.Побудуйте графік функції f (x) = tgx cosx .

3.3.Знайдіть радіус кола, описаного навколо рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 11 см і 21 см, а бічна сторона — 13 см.

29