Інтеграли від елементарних дробів

І.

Інтегрується методом безпосереднього інтегрування.

ІІ.

Знаходиться за допомогою таблиці інтегралів та формули безпосереднього інтегрування.

ІІІ.

.

Інтеграл знаходиться підстановкою ;.

ІV.

Підстановкою зводиться до двох інтегралів, де. Перший інтеграл обчислюється безпосередньо, а другий рекурентною формулою.

Рекурентна формула використовується для обчислення інтеграла, де п – ціле додатне число.

Інтеграл від многочлена знаходиться безпосередньо, а інтеграл від правильного раціонального дробу зводиться до інтегралів від елементарних дробів.

, де

- дробові раціональні числа ;

- раціональна функція від аргументів .

Інтеграли такого типу зводиться до інтегралів від раціональних функцій підстановкою ,, де- найменше спільне кратне знаменників дробів. Інтеграл зводиться до інтеграла, зараз- цілі числа. Інтеграл звівся до інтеграла від раціональних функцій.

,

де - дробові раціональні числа.

Інтеграл зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою , де- найменше спільне кратне знаменників дробів.

, де - дробові раціональні числа.

Зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою ,– найменше спільне кратне знаменників дробів

Зводиться до табличних інтегралів. Якщо добуток тригонометричних функцій перетворити в суму за формулами:

Зводиться до інтегралів від раціональних функцій або до табличних .

1. Якщо - парне, а- непарне, то використовують підстановку.

2. Якщо - непарне, а- парне, то використовують підстановку.

3. Якщо іпарні, то використовують формули пониження степеня

4. Якщо і- непарні, але принаймні одне з них від’ємне то використовують підстановку.

, де

- раціональна функція.

Інтеграл даного виду зводиться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою універсальної тригонометричної підстановки , тоді,

, .

Фігура , обмежена лініяминазивається криволінійною трапецією.

Інтегральна сума для функції визначеної на відрізку, який розбитий на n відрізків точками, на кожному з яких вибрана довільна точка,.

Визначеним інтегралом функції на відрізкуназивають границю інтегральної суми, якщо ця границя існує і не залежить від способу розбиття відрізкана частини та вибору точок

Теорема про середнє значення визначеного інтеграла. Якщо функція неперервна на відрізку , то існує точкаєтака, що виконується рівність.

Геометричне тлумачення теореми про середнє: площа криволінійної трапеціїдорівнює площі прямокутника, основа якого збігається з основою трапеції, а висота дорівнює

Похідна інтеграла із змінною верхньою межею дорівнює значенню підінтегральної функції при цій межі.

Формула Ньютона – Лейбніца: визначений інтеграл від функціїна відрізкудорівнює приросту первісної функціїна цьому відрізку.

Властивості визначеного інтеграла

При переставленні меж інтеграла змінюється його знак.

Інтеграл від деякої функції в межах, що дорівнюють одному й тому ж числу, дорівнює нулю.

Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла.

Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від даних функцій.

Адитивна властивість визначеного інтеграла; площа трапеції дорівнює сумі площ двох трапецій, на які вона поділяється прямою.

Наслідок адитивної властивості в разі, якщо- парна функція.

Наслідок адитивної властивості в разі, якщо- непарна функція.

Нерівність справедлива, якщо неперервні функції наі для кожноговиконується нерівність.

Нерівність справедлива, якщонеперервна функція на.

Нерівність справедлива, якщо функція обмежена наі

Методи інтегрування

Формула інтегрування частинами, справедлива у випадку, де функції інеперервні наразом із своїми першими похідними.

Формула заміни змінної за умов, що функціянеперервна на, а функціянеперервна і має похідну наФункціюпотрібно вибрати так, щоб новий інтеграл був простішим від початкового.

Методи наближеного обчислення

Обчислення визначеного інтеграла за формулою прямокутників.

Відрізок інтегрування поділений нарівних частин довжиноюі позначено черезсередню точку відрізку.

Відрізок інтегрування поділений точками діленнянарівних частин довжиноюі позначимо значення функції в точках ділення, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою, яку називають формулою трапецій.

Формула обчислення визначеного інтеграла, яку називають формулою Сімпсона.

Відрізок інтегрування поділений на парну кількість рівних частин () і позначимоде- точки ділення,

Об’єм тіл обертання

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осікриволінійної трапеціїдедуга кривої

диференціал змінного об’єму.

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осікриволінійної трапеції, де- дуга кривої

диференціал змінного об’єму.

Довжина дуги плоскої кривої

Під довжиною дуги плоскої кривої розуміють границю, до якої прямує периметр вписаної в неї ламаної лінії, за умови, що кількість ланок ламаної необмежено зростає і довжина найбільшої з ланок прямує до нуля.

Довжина дуги кривої і диференціалдуги, заданої в прямокутній декартовій системі координат рівнянням.

Довжина дуги кривої, заданої параметрично;

Довжина дуги кривої, заданої в полярних координатах;

Площа поверхні обертання

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі дугикривої

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги, заданої параметричними рівняннями

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги, заданої в полярних координатах