Інтегральне числення функції однієї змінної Тема: Основні методи інтегрування

Функція називаєтьсяпервісною для функції на деякому проміжку, якщо для всіхз цього проміжку виконується рівність.

Невизначений інтеграл від функції це сукупність всіх первісних.

- первісна функції ,

- підінтегральна функція,

- підінтегральний вираз,

- змінна інтегрування.

Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільної сталої.

Сталий множник можна виносити за знак інтеграла.

Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від даних функцій.

Якщо

,

то

Безпосереднє інтегрування – обчислення інтегралів за допомогою основних властивостей невизначеного інтеграла і таблиці основних інтегралів.

Метод підстановки (заміни змінної). І – спосіб.

Нехай - первісна функціїна, тобто,і нехайвизначена і диференційовна на, причому множина значень цієї функції є, то справедлива формула.

ІІ – спосіб.

Вводиться нова змінна інтегрування , тоді.

Зауваження:

Підстановку треба виконувати так, щоб новий інтеграл був простіший від початкового.

Формула інтегрування частинами дає змогу звести обчислення інтеграла до обчислення інтеграла.

- многочлен, k – дійсне число. За слід взяти, а завираз, що залишився.

В цих інтегралах слід взяти за , а решту за.

- дійсні числа. Дворазове застосування інтегрування частинами приводить до лінійного рівняння відносно шуканого інтеграла. Розв’язуючи це рівняння, знаходять інтеграл.

Многочлен ( поліном або ціла раціональна функція)

натуральне число, називається степенем многочлена,

коефіцієнти многочлена, дійсні числа.

корінь многочлена числове значення при якому многочлен перетворюється в нуль.

Теорема Безу.

Остача від ділення многочлена на різницюдорівнює.

Якщо корінь, то за теоремою Безу. Многочленділиться без остачі натоді і тільки тоді , коли- є його корінь.

Основна теорема алгебри. Будь який многочлен степеня має хоча б один корінь: дійсний або комплексний.

Будь – який многочлен – го степеня можна подати у вигляді добутку, де– корені многочлена,коефіцієнт при.

Будь – який многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти на лінійні та квадратні множники з дійсними коефіцієнтами.

Раціональний дріб, , або раціональна функція. Якщо- правильний,-неправильний.

Неправильний раціональний дріб можна подати у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу

І. ; ІІІ.;

ІІ. ; ІV..

Елементарні раціональні дроби – правильні раціональні дроби чотирьох типів.

Якщо знаменник правильного раціонального дробу розкладено на множники, то дріб можна подати у вигляді суми елементарних дробів (розклад правильного дробу на елементарні дроби).

Якщо корені знаменника дійсні і різні, то дріб можна подати у вигляді суми.

Якщо корені знаменника дійсні, різні і деякі з них кратні.

Якщо корені знаменника дійсні, різні, деякі з них кратні і знаменник містить квадратний тричлен, який на множники не розкладається.