Тема: Теореми про середнє. Правила Лопіталя Основні означення та теореми

Теорема Ферма. Нехай функція y=f(x) неперервна на інтервалі (a; b) і набуває свого найбільшого або найменшого значення у деякій точці с цього інтервалу. Якщо в цій точці с існує похідна f'(c), то f'(c)=0.

Теорема Ролля. Нехай виконуються умови:

1. функція у=f(x) визначена і неперервна на відрізку [a;b]

2. функція у=f(x) диференційовна на інтервалі (a;b)

3. на кінцях відрізка функція приймає рівні значення: f(a)=f(b).

Тоді на інтервалі (a;b) існує точка с така, що (значення похідної функції в цій точці дорівнює нулю).

Формула скінчених приростів

Теорема Лагранжа. Нехай виконуються умови:

1. функція у=f(x) визначена і неперервна на відрізку [a;b];

2) функція у=f(x) диференційовна на інтервалі (a;b),

Тоді на (a;b) існує точка с така, що виконується рівність .

Функція y=f(x) визначена, неперервна на відрізку [a;b], диференційовна на інтервалі (a;b), на інтервалі (a;b), то y=f(x) – стала.

Наслідок 1. Якщо функція y=f(x) задовольняє умови теореми Лагранжа і похідна цієї функції дорівнює нулю на всьому інтервалі (a;b), то функція є сталою на (a;b).

Функції y=f(x) і y=g(x) визначені і неперервні на відрізку [a;b], диференційовні на інтервалі (a;b), f'(x)=g'(x)f(x) –g(x)=const.

Наслідок 2. Якщо функції y=f(x) і y=g(x) задовольняють умови теореми Лагранжа і похідні цих функцій рівні між собою на (a;b), то функції відрізняються між собою на константу.

Теорема Коші. Нехай виконуються умови:

1. функції у=f(x), у=g(x) визначені і неперервні на відрізку [a;b]

2. функції у=f(x), у=g(x) диференційовні на інтервалі (a;b)

3. , х є (a;b),

Тоді існує с є (a;b) така, що ( формула Коші).

Невизначеність виду ().

Теорема (перше правило Лопіталя). Нехай виконуються умови:

1. функції у=f(x) і у=g(x) визначені і неперервні на (a;b] і ;

2. функції у=f(x) і у=g(x) диференційовні на (a;b), ,х є (a;b);

3. існує (скінчена або нескінчена) границя .

Тоді .

Невизначеність виду ().

Теорема (друге правило Лопіталя). Нехай виконуються умови:

1) функції у=f(x) і у=g(x) визначені і неперервні на (a;b] та

2) функції у=f(x) і у=g(x) диференційовні на (а; b) і

3) існує скінченна або нескінченна границя .

Тоді .

Невизначеність зводиться до: 1) ()

2) ()

1)

2)

Невизначеність () зводиться до ()

Невизначеності (0⁰), (1^), (⁰) за допомогою основної логарифмічної тотожності зводяться до раніше розглянутих невизначеностей.

(f(x))^g(x)=e^{g(x)ln f(x)}