Тема: Похідна складеної функції Теоретичні питання

y(x) = f (φ(x))

y′(x₀) = f′(u₀)∙φ′_x(x₀).

Похідна складеної функції дорівнює добутку похідної внутрішньої функції на похідну зовнішньої функції

Похідна від логарифма заданої функції називається логарифмічною похідною. Функцію спочатку логарифмують, а потім знаходять похідну.

Функція задана параметрично:х=φ(t), y=ψ(t), αtβ.

Формула знаходження похідної параметрично заданої функції

Неявна функція задана рівняннямF(x,y)=0

Щоб продиференціювати неявно задану функцію, потрібно взяти похідну по х від обох частин записаної рівності, вважаючи у функцією х, і отримане рівняння розв’язати відносно у'. Похідна неявно заданої функції виражається через залежну змінну х і саму функцію у.

∆f(x₀) = А(x₀)∆х+(x₀,∆x) ∆x, А(x₀) – число, що не залежить від ∆x і (x₀, ∆x) = 0.

Функція y = f(x) називається диференційовною в точці х₀, якщо її приріст у цій точці множна записати у вигляді ∆f(x₀) = А(x₀)∆х+(x₀,∆x) ∆x, де А(x₀) – число, що не залежить від ∆x і (x₀, ∆x) = 0.

Функція y = f(x) називається диференційовною на множині Х, якщо вона диференційовна у кожній точці цієї множини.

d f(х₀)= А(x₀)∆х

Диференціалом функції y=f(x) в точці х₀ називається лінійна відносно ∆х частина приросту диференційовної в точці х₀ функції.

df(x₀) = f ′(x₀)dx, де ∆х = dx

Диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної

Таблиця диференціалів основних елементарних функцій

Властивості диференціала

Диференціал сталої дорівнює нулю

Диференціал суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) диференціалів

Диференціал добутку дорівнює сумі добутків першої функції на диференціал другої і другій на диференціал першої

Диференціал частки записується дробом, знаменник якого дорівнює квадрату знаменника, чисельник – різниця добутків диференціала чисельника на знаменник і знаменника на диференціал чисельника

d(cu)=cdu.

Сталий множник можна виносити за знак диференціала

Диференціал функції використовують для обчислення наближеного значення функції.

Похідну першого порядку (якщо вона існує) від похідної n-1-го порядку функції y=f(x)називають похідною n-ого порядку або n-ою похідною цієї функції.

a=S''(t)

Прискорення – це є друга похідна по часу від переміщення.

Формула Лейбніца. Похідна n-го порядку від добутку у = f₁ (х)f₂ (х)

Функція y=f(x) задана неявно рівністю F(x,y)=0

Диференціюючи рівність F(x,y)=0 по х і розв’язуючи отримане рівняння відносно похідної у', знайдемо першу похідну. Щоб знайти другу похідну, потрібно продиференціювати першу похідну і в отримане співвідношення підставити її значення. Продовжуючи диференціювання, можна знайти похідні будь-якого порядку (якщо вони існують). Всі вони будуть виражатися через незалежну змінну х і саму функцію у.

Формула для знаходження похідної 2-го порядку, якщо функція y=f(x) задана параметрично рівняннями х= х(t), у = у(t), t( t_о,t₁ ), які в інтервалі ( t_о,t₁ ), мають похідні до другого порядку включно і х′(t)0.

d^пу=d(d^n-1y)

Диференціалом п-го порядку, або п-м диференціалом функції у=f(х), називають диференціал першого порядку диференціала (п-1)-го порядку.

dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ

Формула для обчислення диференціала п-го порядку