Диференціальне числення функції однієї змінної. Тема: Похідна функції

v=

Задача про миттєву швидкість. Миттєвою швидкістю руху точки називають границю середньої швидкості за умови, що ∆t 0.

k_дот=

Задача про дотичну до плоскої кривої. Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює границі відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що останній прямує до нуля.

γ=

Задача про густину неоднорідного стержня. Границю середньої густини γ_с при ∆х 0 називаютьлінійною густиною стержня.

Якщо існує скінчена границя при х, що прямує до 0, відношення приросту функції до приросту аргументу, то її називають похідною функції f(x) в точці х₀

Правило знаходження похідної за означенням

1. Розглядаємо точку х₀ і надаємо їй довільного приросту .

2. Шукаємо приріст функції в т. х₀: _.

3. Шукаємо відношення приросту функції до приросту аргументу:

4. Обчислюємо границю і якщо вона існує, то вона є похідною функції в даній точці:

v=

Величина миттєвої швидкості – це похідна від пройденого шляху за часомt.

k=tgα=

Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точціМ₀(х₀;y₀) – це похідна в цій точці

y-y₀=(x-x₀)

Рівняння дотичної до плоскої кривої в точціМ₀(х₀;y₀)

у-у₀=(х-х₀)

Рівняння нормалі до кривої в точці М₀(х₀;y₀)

1

(с)' =0

Похідна сталої дорівнює нулю

2

, nR

Похідна степеневої функції

Похідні степеневих функцій

3

()'=

Похідна степеневої функції для n= -1

4

()'=

Похідна степеневої функції для n=

5

()'=

6

()'=

Похідна показникової функції

7

(е^х) '= е^х

Похідна показникової функції, якщо а=е

8

()'=

Похідна логарифма натурального

9

()'=

Похідна логарифмічної функції

10

()'=

Похідна функції косинус

Похідні тригонометричних функцій

11

()'=

Похідна функції синус

12

()'=

Похідна функції тангенс

13

()'=

Похідна функції котангенс

14

()'=

Похідна функції арксинус

Похідні обернених тригонометричних функцій

15

()'=-

Похідна функції арккосинус

16

()'=

Похідна функції арктангенс

17

()'=

Похідна функції арккотангенс

18

(shx)'=chx

Похідна гіперболічного синуса

Похідні гіперболічних функцій

19

(chx)'=shx

Похідна гіперболічного косинуса

20

(thx)'=

Похідна гіперболічного тангенса

21

(cthx)'= -

Похідна гіперболічного котангенса

22

(u+v)' = u'+v'

Похідна суми двох диференційовних функцій дорівнює сумі похідних цих функцій.

Правила диференціювання

23

(u-v)' = u'-v'

Похідна різниці двох диференційовних функцій дорівнює різниці похідних цих функцій.

24

(uv)' = u'v+uv'

Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює сумі добутків похідної першої функції на другу і першої на похідну другої.

25

Похідна частки двох диференційовних функцій дорівнює дробу, знаменник якого дорівнює квадрату знаменника, а чисельник є різницею добутків похідної чисельника на знаменник і чисельника на похідну знаменника.

26

(с·u)'=с·u'

Сталий множник можна виносити за знак похідної.

Наслідки з правил

диференціювання

27

Похідна частки диференційовної функції і сталої дорівнює частці похідної функції на сталу.

28

29

(u₁+u₂+…+u_n)'=u₁^'+ +u₂^'+…+ u_n^'

Похідна суми скінченої кількості диференційовних функцій дорівнює сумі похідних цих функцій.

30

(u₁ - u₂ -…-u_n)'=u₁^'- u₂^'-…- u_n^'

Похідна різниці скінченої кількості диференційовних функцій дорівнює різниці похідних цих функцій.