Зразки розв’язування задач

1. Записати у вигляді збіжного числового ряду .

Можна вважати, що шукана величина є значенням функції при:

.

Запишемо розвинення в ряд Маклорена логарифмічної функції

,.

Значення аргументу належить області збіжності наведеного ряду, отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстановкою вказаного значення у степеневий ряд:

.

2. Записати у вигляді збіжного числового ряду .

Спроба представити шукане значення у вигляді є

недоцільною, оскільки не належить області збіжності відповідного ряду, отже, використання цього розвинення неможливе.

Запишемо аргумент функції у вигляді дробу

;;;.

Таким чином, можна вважати, що

.

Представимо логарифм дробу у вигляді степеневого ряду:

,

Тоді .

3. Записати у вигляді збіжного числового ряду .

Можна вважати, що шукана величина є значенням функції при:

.

Запишемо розвинення в ряд Маклорена цієї функції.

,.

Значення аргументу належить області збіжності наведеного ряду, отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстановкою вказаного значення у степеневий ряд:

.

Ряд можна записати також у такій формі:

.

4. Записати у вигляді збіжного числового ряду .

Спроба представити шукане значення у вигляді є недоцільною, оскількине належить області збіжності біноміального ряду, отже, використання цього розвинення неможливе.

Порівняємо значення аргумента кореня третього степеня з відповідними (третіми) степенями натуральних чисел:

,,;.

Тоді можна представити аргумент кореня у вигляді

,

який надає можливість скористатися табличним розвиненням:

.

Запишемо відповідне табличне розвинення

,.

Значення аргументу належить області збіжності наведеного ряду, отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстановкою вказаного значення у отримане розвинення:

.

Ряд можна також записати у такій формі:

.

5. Записати у вигляді збіжного числового ряду .

Порівняємо значення аргументу кореня третього степеня з відповідними (третіми) степенями натуральних чисел:

,,;.

Тоді можна представити аргумент кореня у вигляді

,

який надає можливість скористатися табличним розвиненням:

.

Запишемо відповідне табличне розвинення

,.

Значення аргументу належить області збіжності наведеного ряду, отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстановкою вказаного значення у отримане розвинення:

.

Зауваження. Спроба записати число 20 у вигляді є недоцільною, оскільки отримане таким чином значення аргументу степеневої функціїлежить за межами області збіжності відповідного ряду.

6. Обчислити з точністю.

Представимо шукане значення у вигляді збіжного числового ряду.

;

.

Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,

.

7. Обчислити з точністю.

Представимо шукане значення у вигляді збіжного числового ряду.

;

Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,

.

Зауваження. При обчисленні значень тригонометричних функцій використовується радіанна міра аргументів.

8. Обчислити з точністю.

Представимо шукане значення у вигляді збіжного числового ряду.

.

Цей ряд на відміну від попередніх є знакосталим, тому необхідно застосувати іншу методику оцінки залишкового члена ряду.

Припустимо, що для забезпечення заданої точності треба залишити членів ряду. Тоді залишковий член ряду відповідає умові

.

Оберемо . Тоді. Очевидно, що обраної кількості членів ряду недостатньо для досягнення заданої точності.

Візьмемо . В цьому випадку, тобто.

Тоді

.

8. Обчислити з точністю.

Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції .

; .

Цей ряд збігається на всій множині дійсних чисел.

Тоді

=

.

.

Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,

.

9. Обчислити з точністю.

Підінтегральна функція не визначена при, але, отже, функція є інтегровною на проміжку. Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції .

.

Отриманий ряд збігається, якщо , отже його можна почленно інтегрувати на проміжку.

Тоді

;

.

Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,

.