Зразки розв’язування задач

1. З’ясувати, чи буде степеневий ряд збігатися у точці.

.

Це знакододатний числовий ряд, який буде збіжним ().

Знайти інтервал збіжності ряду:

2.

Для даного ряду ;.

.

Інтервал збіжності ряду .

3.

Для даного ряду ,,.

.

Інтервал збіжності ряду , або.

4.

Для даного ряду ,,.

.

Таким чином, ряд буде збіжним, якщо .

5.

Для даного ряду ,,.

Таким чином, ряд буде збіжним, якщо .

6.

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:

, ;

.

Нерівність справджується, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності ряду буде .

7.

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Коші:

;

.

Нерівність справджується для будь-якого значення, отже, ряд буде збіжним для.

8.

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:

,;

.

Нерівність справджується, лише якщо, отже, ряд буде збіжним тільки для.

Знайти область збіжності степеневого ряду.

9.

Для заданого ряду ,.

.

Інтервал збіжності ряду задається умовою . Дослідимо поведінку ряду на границях цього інтервалу.

:.

Узагальнений гармонічний ряд є розбіжним, отже, степеневий ряд прирозбігається.

:.

Це ряд Лейбніца . Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.

1) ;

2) ,,, …

,.

За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при степеневий ряд збігається.

Таким чином, областю збіжності досліджуваного ряду є .

10.

Якщо необхідно дослідити поведінку ряду за степенями на границях інтервалу збіжності, доцільно ввести допоміжну зміннута розшукувати область збіжності отриманого ряду за новою змінною.

;.

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:

, ;

.

Нерівність справджується, якщо

.

Дослідимо поведінку ряду на границях інтервалу збіжності.

,.

Гармонічний ряд є розбіжним, отже , степеневий рядрозбігається при.

,.

Гармонічний ряд є розбіжним, отже , степеневий рядрозбігається при.

Таким чином, область збіжності ряду задається умовою

, або,.

11.

Введемо нову змінну та знайдемо область збіжності отриманого ряду.

Для цього ряду ,.

.

Інтервалом збіжності допоміжного ряду буде . Дослідимо поведінку ряду на границях інтервалу.

,.

Це ряд Лейбніца . Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.

1) ;

2) ,,, …

,.

За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при степеневий ряд збігається.

,.

Узагальнений гармонічний ряд є розбіжним, отже, степеневий ряд прирозбігається.

Таким чином, область збіжності допоміжного ряду відповідає умові .

Тоді область збіжності основного ряду задається нерівністю

;.

Отже, область збіжності заданого ряду – це проміжок .

Завдання для самостійної роботи

1. З’ясувати, чи буде степеневий ряд збігатися у точці.

Знайти інтервал збіжності ряду:

2. ; 3. ; 4. ;

5 ; 6. .

Знайти область збіжності ряду:

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19 ; 20. .

Відповіді.

1. Ряд збігається за ознакою Лейбніца.

2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. .

ЗАСТОСУВАННЯ РЯДІВ

3.1. Наближене обчислення значень функцій та

визначених інтегралів

Для наближеного обчислення значень функцій необхідно побудувати розвинення шуканої функції у степеневий ряд, який є збіжним для відповідного значення аргументу. Далі отриманий числовий ряд наближено замінюється його частинною сумою так, щоб залишковий член ряду не перевищував за абсолютним значенням заданої точності.

Для обчислення визначеного інтегралу будуємо розвинення підінтегральної функції у степеневий ряд та почленно інтегруємо його. Далі отриманий числовий ряд наближено замінюється його частинною сумою так, щоб залишковий член ряду не перевищував за абсолютним значенням заданої точності.