Умножение матриц
|
|
* |
* ... |
* ← A1 |
|||
|
|
|
* |
* ... |
* |
|
← A2 |
A |
= |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
m×k |
|
|
... ... |
... |
|
||
|
|
... |
... ... |
||||
|
|
|
* |
* ... |
* |
|
← A |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
B1 |
B2 |
... |
Bn |
||
|
|
|
↓ |
↓ |
... |
↓ |
|
|
|
* |
* |
... |
* |
||
|
|
|
* |
* |
... |
* |
|
B |
= |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
k×n |
|
|
... |
... |
... |
||
|
|
... |
|
||||
|
|
|
* |
* |
... |
* |
|
|
|
|
|
||||
Am×k Bk×n =Cm×n = (cij = Ai Bj )
число столбцов матрицы A = число строк матрицы В
Пример. Найти произведения АВ и ВА матриц А и В (если возможно).
|
3 |
1 |
|
|
6 |
|
A = |
|
|
|
B = |
|
|
|
2 |
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
Решение
|
|
|
|
|
|
|
A2×2 B2×1 =C2×1 |
|
||||
3 |
1 |
6 |
c |
|
|
25 |
c11 =3 6 +1 7 = 25 |
|||||
С = |
|
|
|
|
|
= |
11 |
|
= |
|
|
|
|
2 |
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
47 |
|
c21 = 2 6 +5 7 = 47 |
|
|
|
c21 |
|
|
|
||||||
B2×1A2×2 -не существует
Свойства
1.A (B C) = ( A B) C
2.A (B +C) = AB + AC
3.( A + B) C = AC + BC
4.α( AB) = (αA)B
Пример. Проверить, что равенство A(BC)=(AB)C
выполняется для матриц:
|
−5 |
0 |
3 |
|
|
3 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
−2 |
|||
A= |
B= |
−2 1 |
||||||||||
|
|
|
|
C = |
|
|
||||||
|
|
2 |
−3 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
5 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
A |
|
|
|
B |
|
= D |
|
= |
|
||
4× |
3 |
3×2 |
4×2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−5 3 +0 (−2) +3 4 |
|||||||||
|
|
|
4 3 +1 (−2) +(−1) 4 |
||||||||
= |
|
||||||||||
|
2 3 +(−3) (−2) +2 4 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 3 +5 (−2) +3 4 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
0 |
3 |
|
3 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
−1 |
−2 |
1 |
|
= |
||
−3 |
2 |
|
|
|||
|
4 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
−5 0 +0 1+3 3 |
|
||
4 0 +1 1+(−1) 3 |
|
|
|
|
= |
||
2 0 +(−3) 1+2 3 |
|
||
|
|||
|
|
||
1 0 +5 1+3 3 |
|
|
|
|
|
||
−3620
5
−2
14
|
|
|
|
|
|
−3 9 |
|
|
|
|
−3 (−2) +9 3 |
|
|
33 |
|||||
( AB)C = D |
C |
|
= K |
|
= |
|
6 |
−2 |
|
−2 |
= |
|
6 (−2) +(−2) 3 |
|
= |
|
−18 |
|
|
2×1 |
4×1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4×2 |
|
|
|
|
20 |
3 |
|
3 |
|
|
|
20 (−2) +3 3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−31 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
14 |
|
|
|
|
|
5 (−2) +14 3 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
− 2 |
|
|
|
− 6 |
|
B × |
C |
|
= L × |
= |
|
− 2 1 |
|
= |
|
7 |
|
|||
× |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 2 |
|
2 1 |
3 1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
A(BC ) = A |
L |
|
= M |
|
= |
|
|
3×1 |
4×1 |
|
|
||||
4×3 |
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
− 6 |
|
|
33 |
|
1 |
|
|
|
−18 |
|
||
−1 |
7 |
|
|
|
|||
−3 |
2 |
|
|
= |
−31 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
5 |
3 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
33 |
|
|
33 |
|
|
−18 |
|
|
−18 |
|
|
|
|
|
||
A(BC ) = M = |
−31 |
|
( AB)C = K = |
|
|
|
|
|
−31 |
||
|
32 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
||
( AB)C = A(BC)
Аналогично решить задание№1 КР№3