Обратная матрица
Обратная матрица
An×n |
An−×1n |
A A−1 = A−1 A = E
Определение: Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля (Δ≠0) и вырожденной – в противном случае ( =0).
5 |
3 |
|
=5 |
1 −3 2 = −1 |
|
5 |
3 |
|
|||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−невырожденная матрица |
|||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
6 |
3 |
|
=6 |
2 |
− 4 3 =0 |
|
6 |
3 |
|
−вырожденная матрица |
|||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.
A |
|
≠ 0 |
A−1 −существует |
|
1.Найти определитель матрицы. Если он отличен от
нуля, то перейти к следующим пунктам.
A
2. Найти алгебраические дополнения всех элементов
исходной матрицы и составить из них матрицу:
( Aij )
3. Транспонировать полученную матрицу, т.е. найти
присоединенную матрицу для исходной матрицы
~ |
T |
A = ( Aij ) |
|
4. Вычислить обратную матрицу по формуле
−1 = 1 ~
A A A
5. Выполняем проверочные действия:
A A−1 = E или A−1 A = E
Пример. Найти обратную матрицу для матрицы
|
3 |
−4 |
6 |
|
|
2 |
−3 |
1 |
|
|
|
|||
|
−3 |
5 |
1 |
|
|
|
Решение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
−5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
A |
|
= 2 |
|
|
|
|
|
2. |
(А )= |
34 21 |
−3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
14 |
9 |
−1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
~ |
|
|
|
−8 |
34 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
T |
|
−5 21 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A = (Аij ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
−8 |
34 14 |
|
−4 |
17 |
7 |
|
||
|
A−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
= |
|
|
−5 |
21 9 |
|
= |
−5 / 2 |
21/ 2 |
9 / 2 |
|
||
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
−3/ 2 |
−1/ 2 |
|
||
|
|
|
|
|
1 −3 −1 |
|
|
||||||
Проверочные действия
|
−4 |
17 |
7 |
|
3 |
−4 |
6 |
1 |
0 |
0 |
|||
|
−5 / 2 21/ 2 9 / 2 |
|
2 |
−3 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
||
A−1 A = |
|
|
= |
|
|||||||||
|
1/ 2 |
−3 / 2 −1/ 2 |
|
−3 5 1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
||||||||||