Формула Байеса

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что вероятности гипотез известны до опыта. Формула Байеса позволяет производить переоценку первоначальных гипотез в свете новой информации, состоящей в том, что событие произошло. Поэтому формулу Байеса называют формулой уточнения гипотез.

Теорема (Формула Байеса). Если событие может происходить только с одной из гипотез , которые образуют полную группу событий, то вероятность гипотез при условии, что событие произошло, вычисляется по формуле

, .

Доказательство.

Формула Байеса или байесовский подход к оценке гипотез играет важную роль в экономике, т.к. дает возможность корректировать управленческие решения, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и.т.п.

Пример. Электролампы изготовляются на двух заводах. Первый завод производит 60% общего количества электроламп, второй – 40%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго – 80%. В магазин поступает продукция обоих заводов. Лампочка купленная в магазине оказалась стандартной. Найти вероятность того, что лампа изготовлена на первом заводе.

Запишем условие задачи, вводя соответствующие обозначения.

Дано: событие состоит в том, что лампа стандартная.

Гипотеза состоит в том, что лампа изготовлена на первом заводе

.

Гипотеза состоит в том, что лампа изготовлена на втором заводе

.

Найти .

Решение.

5. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Рассмотрим схему независимых испытаний или схему Бернулли, которая имеет важное научное значение и разнообразные практические применения.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие.

Определение. Испытания называются независимыми, если в каждом из них событие наступает с одной и той же вероятностью, не зависящей от того появилось или не появилось событиев других испытаниях.

Пример. На испытательный стенд поставлены 20 ламп накаливания, которые испытываются под нагрузкой в течении 1000 часов. Вероятность того, что лампа выдержит испытание, равна 0,8 и не зависит от того, что случилось с другими лампами.

В этом примере под испытанием понимается проверка лампы на ее способность выдержать нагрузку в течении 1000 часов. Поэтому число испытаний равно . В каждом отдельном испытании возможны только два исхода:

1. событие , состоящее в том, что лампа выдержала испытание, произошло. Вероятность этого события и не зависит от исходов остальных испытаний.

2. событие не произошло, т.е. наступило событие , состоящее в том, что лампа не выдержала испытания. Вероятность этого события.

Определение. Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых событие наступает с одной и той же вероятностью, не зависящей от номере испытания, называетсясхемой Бернулли.

Вероятность противоположного события обозначают , причем, как было доказано выше,

.

Теорема. В условиях схемы Бернулли вероятность того, что при независимых испытаниях событиепоявитсяраз, определяется по формуле

, (1)

где число проведенных независимых испытаний;

число появлений события ;

вероятность наступления события в отдельном испытании;

вероятность не наступления события в отдельном испытании;

вероятность того, что в независимых испытаниях событияпроизойдет

раз.

Формула (1) называется формулой Бернулли или биномиальной формулой, т.к. ее правая часть является членом бинома Ньютона

.

Теорему примем без доказательства.

Пример. Производится 6 выстрелов по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,7. найти вероятность того, что произойдет 2 попадания.

Запишем, прежде всего, условие задачи, вводя соответствующие обозначения.

Дано: событие попадание при отдельном выстреле;

.

Найти

Решение.

34