Тема 2. Основные теоремы теории вероятностей

План темы

1. Теорема сложения и следствия из нее.

2. Зависимые и независимые случайные события.

3. Теорема умножения и следствия из нее.

4. Формула полной вероятности.

5. Формула Байеса

6. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Основные теоремы теории вероятностей, к которым относятся теорема сложения и теорема умножения, играют важную роль в теории вероятностей. Как будет показано ниже, с их помощью можно получить многие утверждения теории вероятностей, найти вероятности событий, которые вычислить трудно, а иногда невозможно.

1. Теорема сложения и следствия из нее

Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения

.

Доказательство.

m l о о о о о о о о о о о о о о о k n

Следствие 1. Если события инесовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей, т. е.

.

Доказательство.

С помощью метода математической индукции следствие 1 можно обобщить на любое конечное число несовместных событий .

Следствие 2. Если события несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей, т.е.

.

Следствие 3. Если события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице, т.е.

Доказательство.

Следствие 4. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле:

.

Доказательство.

Пример. В лотерее на каждые 100 билетов приходится 20 выигрышных. Студент купил один билет. Найти вероятность того. Что

а) студент выиграет в лотерее;

б) студент проиграет в лотерее.

Решение.

Пример. Пассажир ждет маршрутное такси №220 или №145 возле остановки, у которой останавливаются маршрутные такси четырех маршрутов: №220; №145; №234; №207. Считая, что маршрутные такси появляются одинаково часто, найти вероятность того, что первое подошедшее к остановке такси будет нужного пассажиру маршрута.

Решение.

2. Зависимые и независимые случайные события.

Вероятность события , вычисленная при условии, что реализуется комплекс условий , называетсяобычной вероятностью события или безусловной вероятностью этого события. Если к комплексу условий добавляется некоторое условие , то получаем условную вероятность события .

Определение. Вероятность события , вычисленная при условии, что событие произошло, называется условной вероятностью события и обозначается .

Определение. Событие называетсянезависимым от события , если условная вероятность события не изменяется в зависимости от того, произошло или не произошло событие , т.е.

.

Определение. Событие называетсязависимым от события , если условная вероятность события изменяется в зависимости от того, произошло или не произошло событие , т.е.

, .

Пример.