Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-строительный институт СФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Teoreticheskaya_mehanika._Kinematikastatika._Uch._metod._posobie

.pdf

Скачиваний:

101

Добавлен:

28.02.2016

Размер:

4.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Часто применяется соединение дисков, когда два диска вращаются вокруг одной неподвижной оси. Если при этом они жестко соединены друг с другом, то их угловые скорости равны (на рис. 2.14, в – второй диск).

Содержание контрольных работ для студентов на тему «вычисление кинематических характеристик точек при поступательном и вращательном движениях твердого тела» дано в приложении (контрольная работа 1, задача

2).

Пример 2.3.

Механизм состоит из трех ступенчатых дисков (1–3), находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес. На ободах колес расположены точки А, В и С (рис. 2.15).

Исходные данные: R1		6	см; R 2 7 см; R 3 14 см; r1 4 см; r2 6
см. Уравнение движения S	4	3 t 2 t , см (за положительное принято движе-
	4
ние рейки вниз).
Для момента времени t1			2 с требуется вычислить характеристики
движения: VВ , VС , aА ; 2 ,		1 ,	3 .

Решение

1. Определяем направление движения рейки 4, т. е. всей системы.

V4 S 4					d	3t 2 t 6t 1 (см/с);
V4 S 4					dt	3t 2 t 6t 1 (см/с);
					dt
для t			1	2	с	V 6 2 1 11 см/с;
			1			4
a	4	a		V		6 см/с2.
	4			4	4
Движение рейки 4 (рис. 2.15):
а) поступательное, прямолинейное, т. е. a								4	a	, a n отсутствует;
								4	4	4
б) равноускоренное, т. к. знаки V и a							одинаковы, и a const ;
						4	4			4
в) направлено вверх, т. к. знаки V4 и							a4 отрицательны.

Движение остальных тел механизма определяется направлением движения рейки 4 (рис. 2.15).

2. Составляем уравнения связей для всех тел системы, используя точки зацепления между телами и условие, что ремень и нить считаются нерастяжимыми. При используемом в задаче соединении тел знаки параметров сохраняются.

3 t 2 t

;

3 R3

3 t 2 t ;

1 R1 2 R2

1 R1

3 t 2 t

;

r R

2 r2

S 4

R1 r2

3 t

2 t

R1 r2

r R

Для определения скоростей тел дифференцируем составленные законы движения по времени:

			V		S										R								R										V4		6t 1 ;
			V		S					4			3		R			3				3	R			3				3					6t 1 ;
					4					4			3					3				3				3				3			R3					R3
																																	R3					R3
		S 4				V4			;											S							R1		V						R1			6t 1					R1		;
									;											S						r R			V						R			6t 1					R		;
1	1	r				r								2					2					4		r R		2			4			r	R	2						r	R	2
		1			1																					1		2					1			2						1		2
																	R1 r2				V						R1 r2					6t 1							R1 r2		.
			V	5			S	5			S	4					R1 r2								4		R1 r2												R1 r2
			V				S				S
																	r R			2							r R		2										r R	2
																	r R										r R												r R
																1											1										1

3. Рассчитываем требуемые характеристики движения точек и тел.

Так как точка С и точка зацепления рейки и колеса 3 находятся на одном радиусе этого колеса, то

VC V4 11 см/с (рис. 2.15).

Угловое ускорение колеса 3 получаем, дифференцируя по времени выражение угловой скорости

					V4		a4	, т.е.
		3		3	R3		R3	, т.е.
		3		3

3	6		0, 43			с-2 (рис. 2.15);
3	14

Точка В находится на внешнем ободе колеса 1, тогда

VB 1 R1 2,75 6 16,5 см/с (рис. 2.15),

где 1 V4 11 2,75 с-1. r1 4

Угловое ускорение колеса 1 получаем, дифференцируя по времени выражение угловой скорости

		V4	a4	6 1,5 с−2 (рис. 2.15).
1
	1	r1	r1	4

Угловая скорость колеса 2:

		R1		6	66		-1
2 V4			11			2,36 с		(рис. 2.15).
2 V4		R2	11	7		2,36 с		(рис. 2.15).
	r1		4		28

Рис. 2.15

Для расчета ускорения точки А, расположенной на внутреннем ободе колеса 2, необходимо рассчитать две составляющие этого ускорения при криволинейном движении этой точки:

a n

откуда

2 a n 2

где

a A

r1 R2

216

7,7 (см/с2);

a Аn 2А rА 2,36 2 6 33,42 см/с2;

a А 2

a Аn 2

7,7 2

33,42 2

a А

1176,1864 34,3 см/с2 (рис. 2.15).

Ответ:

VB 16,5 см/с;

a A 34,3 см/с2;

11 см/с;

1,5 с−2;

2,36 с−1;

0,43 с−2.

2.3.Сложное движение точки

Движение точки по отношению к двум или нескольким системам отсчета называется сложным. Движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным (рис. 2.16). Используются понятия:

относительная траектория, относительная скорость (Vr ) и относительное ускорение ( ar ).

Движение подвижной системы отсчета по отношению к неподвижной является для точки Рис. 2.16 переносным. Скорость и ускорение точки под-

вижной системы отсчета, в которой в данный момент времени находится движущаяся точка М, называются переносной скоростью (Ve ) и переносным

ускорением ( ae ).

Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называется сложным или абсолютным. Используются понятия: абсолютная траектория, абсолютная скорость (VM ) и абсолютное ускорение ( aM ).

Теорема. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей:

V Vr Vo e r Vr Ve ,

здесь: Vr скорость относительного движения;

Ve – скорость переносного движения.

Теорема. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трѐх ускорений – относительного, переносного и ускорения Кориолиса (или поворотного):

a ar ae ak ,

здесь: ar – ускорение относительного движения;

ae – переносное ускорение; ak – ускорение Кориолиса.

Ускорение Кориолиса ( ak ) равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения ( e ) на относительную скорость точки ( Vr ):

ak 2 e Vr

Модуль ускорения Кориолиса равен

ak e Vr sin .

Здесь: угол , угол между вектором относительной скорости Vr и вектором угловой скорости переносного вращения e .

Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу Жуковско-

го.

Правило Жуковского (рис. 2.17):

1.Следует провести плоскость перпендикулярно оси переносного вращения ( П e ).

2.Спроецировать вектор относительной скорости на эту плоскость: Vr Vr Vr sin .

3.Повернуть эту проекцию Vr

в этой плоскости на 900 по на-
правлению дуговой стрелки
переносного вращения e .	Рис. 2.17

Содержание контрольных работ для студентов на тему «сложное движение точки» дано в приложении (контрольная работа 1, задача 3).

Пример 2.4. Стержень вращается в плоскости Oxy вокруг неподвижного центра O в плоскости рисунка с постоянной угловой скоростью

0,5c 1. Точка М скользит вдоль

				стержня со скоростью 2			см	. Вычис-
				стержня со скоростью 2				. Вычис-
							с
				лить абсолютное ускорение					точки
				M для момента времени 4					с (рис.
				2.18).
						Решение. Стержень	вращается
				в плоскости Oxy вокруг неподвиж-
Рис. 2.18				ного центра O с угловой скоростью
Рис. 2.18						0,5 с–1. Точка М скользит вдоль
					e	0,5 с–1. Точка М скользит вдоль
					e
стержня со скоростью V		2	см	(рис. 2.18). Абсолютное ускорение точки яв-
стержня со скоростью V	r	2	с	(рис. 2.18). Абсолютное ускорение точки яв-
	r

ляется векторной суммой трех ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса.

a ar ae ak ,

здесь: вектор относительного ускорения ar Vr 0 , т. к. Vr const.

Вектор переносного ускорения

a n ,

где a n

2h (0,5) 2

8 2

см

h 0 ,

с 2

здесь h OM Vr t 2 4 8 см.

вектор aen направлен по оси Mn .

Ускорение Кориолиса ak

2 e Vr sin 2 e Vr sin 90 2 e Vr ,

при t 4c

2 0,5 2 2

см

с 2

Определим направление вектора

ak , используя правило Жуковского.

и e равен 90 (вектор

Угол между вектором относительной скорости

e Oxy ), тогда вектор

Vr разворачиваем на 90 по направлению дуговой

стрелки e (рис. 2.18).

Вычислим абсолютное ускорение точки M :

(a n ) 2

a 2

( 2h) 2 (2 V

) 2 .

e r

Тангенс угла ( 1) между aM и осью Mn равен:

tg(

)

2 eVr

2 Vr

a n

e Vr t

e t

В момент времени

t 4c ,

2,83

см

(a n ) 2 a 2

(2) 2 (2) 2

с 2

arctg(

) arctg(

) arctg(1) 45 .

e t

0,5 4

Ответ: аМ = 2,83 см/с2.

Пример 2.5.

Пластина В вращается вокруг неподвижной оси AC со-

гласно уравнению

4t 5t3 (рис.

2.19). На пластине по желобу движется

точка согласно уравнению

OM Sr R 2 sin( t ) см. 4 4

Вычислить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1 с, если радиус

желоба R 30cм .

Решение. Будем считать, что в
момент времени t = 1 с угол поворота
e имеет такое значение, при котором

тело В располагается в плоскости O yz
(рис. 2.20).
Точка М совершает сложное дви-
жение, состоящее из		относительного
(движение точки по желобу) и перенос-			Рис. 2.19
ного (вращение точки вместе с пласти-
ной вокруг оси АС) движений.
Вычислим абсолютную ско-
рость точки M :

V	M Vr Ve .

Относительная скорость Vr .
Найдем положение точки М на пла-
стине В через 1с. Для этого вычис-
лим значение дуговой		координаты	Рис. 2.20
S r OM при t 1c:

	R			t)		R			R
OM	R	2	sin(			R	2	2	R	см.
OM			sin(			4	2	2	4	см.
	4			4	1c	4		2	4
					1c

Если обозначить угол, на который опирается дуга ОМ, через (рис.

2.20), то Sr R .

R 4R 4

Относительное движение точки задано естественным способом. Приведем оси M n к точке М на траектории. Относительная скорость Vr точки М при t 1c :

2 R

R 2

см

Vr S r

cos

18,5

Вектор относительной скорости Vr лежит в соприкасающейся плоско-

сти относительного движения – плоскость O yz и направлена по касательной

к траектории относительного движения – по оси M (рис. 2.21, а).

Рис. 2.21

Переносная скорость Ve . В переносном движении точка движется в соприкасающейся плоскости переносного движения, параллельной плоско-

сти O / xz , по окружности радиусом MK (рис. 2.21, б).

Задано уравнение вращения пластины В: e 4t 5t 3 , тогда

3 )

15t 2 )

11c 1,

( 4t 5t

( 4

4 15t

30t

1c 30c 2.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.02.201655.14 Кб3Plato_769_n.docx
#
17.04.20192.05 Mб17SM.docx
#
02.12.2018300.03 Кб9spurs 27-55.doc
#
21.04.2019300.03 Кб6spurs_27-55.doc
#
28.02.20161.59 Mб28sto-4.2-07-2010.doc
#
28.02.20164.87 Mб101Teoreticheskaya_mehanika._Kinematikastatika._Uch._metod._posobie.pdf
#
21.09.20191.27 Mб26tkm.docx
#
28.02.20164.85 Mб125Uchebnik_pravlennyy.doc
#
28.02.2016422.45 Кб79Voprosy_i_otvety.pdf
#
27.04.2019254.59 Кб94voprosy_po_materialovedeniyu.docx
#
20.07.201965.91 Кб24vopros_6.docx