Моменты случайных величин.

Для характеристики различных свойств случайных величин используются начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой величины:

α_К = М [X^К].

Для дискретной случайной величины

α_К =

Для непрерывной случайной величины

Ц

₀

Х = Х – М[Х]

ентрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:

Условимся отличать центрированную с.в. значком ⁰ наверху.

Центральным моментом S-го порядка называется математическое ожидание S-й степени центрированной случайной величины

_S = M [(X – m_x)^S].

Для дискретной случайной величины

_S = (x_i – m_x)^S p_i.

Для непрерывной случайной величины

.

Свойства моментов случайных величин

1. начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию (по определению):

α₁ = М [X¹] = m_x.

2. центральный момент первого порядка всегда равен нулю (докажем на примере дискретной с. в.):

₁ = M [(X – m_x)¹] =(x_i – m_x) p_i =x_i p_i –m_x p_i = m_x–m_xp_i =m_x–m_x= 0.

3. центральный момент второго порядка характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Центральный момент второго порядка называется дисперсией с. в. и обозначается D[X] или D_x

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.

4. Среднее квадратическое отклонение σ_х = √D_x.

σ_х – также как и D_x характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания но имеет размерность случайной величины.

5. второй начальный момент α₂ характеризует степень разброса случайной величины вокруг ее математического ожидания, а также смещение случайной величины на числовой оси

Связь первого и второго начальных моментов с дисперсией (на примере непрерывной с. в.):

6. третий центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень асимметрии распределения случайной величины.

f(x_ср) > f(-x_ср)

Для симметричных законов распределения m₃ = 0.

Для характеристики только степени асимметрии используется так называемый коэффициент асимметрии

Sk = m₃ /σ³

Для симметричного закона распределения Sk = 0

7. четвертый центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень островершинности закона распределения.

Для характеристики только степени островершинности распределения используется эксцесс (обозначается ε_х):

ε_х = m₄ /σ⁴ – 3

ε_х2 = 0;(нормальный закон распределения) ε_х1  0; ε_х3  0.

Задача. Случайна величина Х задана плотностью распределения вероятности

f(x) =

Найти: F(x), m_x, α₂, D_x, σ_x и построить графики функций f(x) и F(x).

Математическое ожидание:

Второй начальный момент:

Дисперсия: D_x = α₂ – m_x² = 1/2 – 4/9 = 1/18

Средне квадратичное отклонение: σ_х = √D_x = √(1/18) = √2/6.