![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Рис. 20. Структурная схема измерительного устройства
- •Рис. 21. Функциональные схемы ЧЭ давления
- •Рис. 25. Функциональные схемы датчиков температуры
- •Рис. 26. Функциональные схемы датчиков уровня жидкости
- •Рис. 27. Схема установки реле уровня ПРУ-5М на емкости
- •Рис. 30. Схемы датчиков перемещений:
- •Рис. 33. Функциональные схемы струйных усилителей
- •Раскроем уравнение баланса энергии
- •В операторной форме записи
- •Передаточная функция звена
- •Передаточная функция имеет вид
- •Рис. 50. Характерный переходный процесс САР
- •Определим корни характеристического уравнения
- •Рис. 53. Анализ сомножителей характеристического вектора
- •Таблица 6.1
- •Рис. 56. Структурная схема САР и ее АФЧХ
- •Рис. 59. Переходный процесс САР
- •Рис. 60. Релейное регулирование
- •Рис. 61. Временная характеристика П-регулятора
- •Рис. 66. Характеристики И-регулятора
- •Рис. 71. Переходной процесс ПД-регулятора:
- •Для обнаружения и предотвращения ложного срабатывания системы при выходе какого-либо сигнала за пределы уставки из-за случайных помех производится текущее сглаживание текущих значений параметров:
- •1-выбор режима работы; 2-проверка управляющей вычислительной машины; 3-опрос задатчика g;
- •Рис. 76. Алгоритм формирования управляющего воздействия:
- •Рис. 79. Состав МПСУ Селма-Марине
- •Рис. 84. Схема цифровых и аналоговых входов
- •Рис. 85. Схема цифровых и аналоговых выходов
- •МПСУ типа ASA-S предназначена для автоматизации судовой электростанции, состоит из двух микроЭВМ (GMR-обеспечивает работу генераторов, DMR - дизелей).
- •МПСУ типа Геапас фирмы ДМТ (Германия) представляет собой комплексную систему контроля и управления судовым оборудованием, они выпускаются в различной конфигурации согласно требованиям заказчика.
- •Рис. 88. Структурная схема системы Геапас
- •Глава 10. Эксплуатация систем судовой автоматики
- •Список литературы
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение ……………………………………………………3
- •Глава 1. Основные понятия, терминология
- •Глава 4. Усилительные и регулирующие органы …...….…58
- •Глава 7. Виды регулирующих воздействий
- •Глава 8. Микропроцессорные системы управления
- •Глава 10. Эксплуатация систем судовой автоматики…....185
- •Заключение…………………………………………...….198
75
δa – коэффициент самовыравнивания или коэффици-
ент неравномерности звена.
Таким образом, апериодическое звено (одноемкостное) описывается дифференциальным уравнением первого порядка, поэтому к определению звена вводится дополнение –
«апериодическое звено 1-го порядка». |
|
|
|
|
||||||||
В операторной форме записи |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ta py +δa y = x |
|
|
|
|
|
|
(13) |
||||
или |
y(Ta p +δa ) = x , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
где выражение в скобках называется |
с о б с т в е н н ы м |
|||||||||||
о п е р а т о р о м з в е н а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Передаточная функция звена |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
W ( p) = |
y |
= |
|
1 |
|
|
= |
k |
|
. |
(14) |
|
x |
T p +δ |
a |
Tp +1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Х а р а к т е р и с т и ч е с к о е у р а в н е н и е получим, приравняв знаменатель W ( p)нулю
Ta p +δa = 0 или Tp +1 = 0 . Рассмотрим переходной процесс одноемкостного звена
при скачкообразном возмущении входной координаты ( x =1) согласно уравнения движения (12).
Чтобы получить однородное диффуравнение с нулевой правой частью, введем вместо x в нашем случае величину
|
|
|
x |
|
|
|
δa x1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
где x |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
δa |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Получим искомое уравнение |
T |
+δ |
a |
y = x δ |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a dt |
|
|
1 a |
|||||||
|
или |
|
|
|
T |
dy |
+δ |
a |
( y − x ) = 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a dt |
|
|
1 |
x |
|
||||||
Введем новую переменную |
Ψ = y − x |
= y − |
. |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
δa |
|||
|
|
|
|
dy |
|
dΨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как |
|
= |
, получим линейное дифференциальное |
|||||||||||||||||
|
dt |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение с нулевой правой частью
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI75x1.jpg)
76
T |
dΨ |
+δ |
Ψ = 0 . |
(15) |
|
||||
a dt |
a |
|
|
Общий интеграл (решение) этого уравнения
Ψ = ce pt ,
где c - коэффициент (постоянная); p - показатель степени.
Первая производная ddΨt = ce pt p . Подставив в уравне-
ние (15) Ψ и |
dΨ |
, получим |
|
|
|
dt |
|
|
|
||
|
T ce pt p +δ |
|
ce pt |
|
|
|
|
a |
= 0 |
||
или |
|
a |
|
|
|
|
Ta p +δa = 0 . |
(16) |
|||
|
|
Из уравнения (16), которое называется х а р а к т е р и с –
т и ч е с к и м, определим значение p = −δa .
Ta
Х а р а к т е р и с т и ч е с к о е уравнение можно получить более простым способом, для этого необходимо уравнение (15) записать в операторной форме:
Ta pΨ +δaΨ = 0 или Ψ(Ta p +δa ) = 0 . |
(17) |
Так как Ψ не равно нулю, то выражение, стоящее перед переменной, равно нулю (Ta p +δa = 0 ).
Это выражение Ta p +δa , аналогичное выражению (16),
называется собственным оператором звена и обозначается как d( p) . Собственный оператор обладает всеми свойства-
ми простого оператора (см. начало гл. 5).
Таким образом, чтобы определить p в формуле общего
интеграла уравнения необходимо дифференциальное уравнение представить в операторной форме записи, выделить собственный оператор и, приравняв его к нулю, из полученного характеристического уравнения найти значение p .
Постоянная c определяется путем подстановки начальных условий (н.у.) в выражение общего интеграла (решения) уравнения (15).
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI76x1.jpg)
77
Начальные условия для данной задачи:
и |
dy |
= 0 (рис. 40). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
δa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δa |
|
|||||
|
|
t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||||||
Таким образом, Ψ = ce− |
|
|
|
|
|
x |
|
= ce− |
|
|
||||||||
Ta |
y − |
Ta |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δa |
δa |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
x |
e− |
|
t |
|
|||||||||
Решение уравнения (12) |
y − |
= − |
Ta |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
δ |
|
|
δ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δa |
t ) . |
|
||||
|
|
|
|
x |
|
(1 − e− |
|
|
||||||||||
или |
|
y = |
|
Ta |
|
|||||||||||||
|
δ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при t = 0 y = 0
иc = − x .
δa
(18)
Переходный процесс звена рассчитывается по выражению (18) и представлен на рис. 40.
x
|
x |
0 |
t |
y
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = cept |
k |
k′ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
δ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Ta |
|
|
||
0 |
|
t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 40. Переходной процесс апериодического одноемкостного звена при скачкообразном
возмущении на входе, x =1
Экспонента асимптотически приближается к значению y = δx при t → ∞. При t = Ta из выражения (18) имеем
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI77x1.jpg)
|
|
|
78 |
|
|
|
|
y = |
x |
(1−e |
−δa |
) = k |
′ |
= const. |
(19) |
δa |
|
|
Этим переходным процессом возможно воспользоваться в эксплуатации с целью определения коэффициентов уравнения движения (12) Ta и δa при помощи так называемого
имитатора переходного процесса для подобного звена, например, дизеля, системы охлаждения, компрессора, котла и т.п. Имитатор представляет собой устройство, позволяющее скачкообразно изменить входную координату звена на величину x . С помощью осциллографа записывается переходной процесс y = f (t).
Определяют коэффициент усиления звена k как отношение k = xy после завершения переходного процесса. Как
следует из рис. 40, |
k = |
y |
= |
|
x |
|
1 |
= |
|
1 |
. |
x |
δa |
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
δa |
Таким образом, δa = 1k , где k определено из осцилло-
граммы. Ta определяют следующим образом. Откладывают
на оси ординат отрезок |
k′ = |
x |
(1 − e |
−δ |
) . На оси абсцисс оп- |
δa |
|
ределится Ta (показано стрелкой на рис. 40).
Амплитудная фазовая частотная характеристика (АФЧХ) апериодического (одноемкостного) звена W (iω) может
быть определена по его передаточной функции при подста-
новке в нее величины |
p = iω при |
0 <ω < ∞. |
|
||||||||
W (iω)= |
a |
exp(iω)= |
|
1 |
|
= |
|
1 |
|
= Re+ Im . |
|
|
T |
(iω)+δ |
|
T (iω)+1 |
|||||||
|
A |
|
a |
|
|
||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Раскрытие W (p) возможно путем умножения и деления
T(iω)−1
еена выражение. T (iω)−1.
При этом выделяются вещественная и мнимая части вы-
ражения:
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI78x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
Re = |
|
k |
|
|
- вещественная часть, Im = − |
|
kTω |
- |
||
|
2 |
2 |
+1 |
|
2 2 |
+1 |
||||
T |
ω |
|
T |
ω |
|
мнимая часть.
В системе координат Re−Im при изменении 0 < ω < ∞
возможно построить амплитудную фазовую частотную характеристику (рис. 41, в).
Модуль вектора A(ω) определится как
A(ω) = Re2 + Im2 = |
|
k |
. |
||
T 2ω2 |
|||||
|
+1 |
||||
Сдвиг фаз определится как tgγ (ω) = |
|
Im |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Re |
|
После преобразований получим ФЧХ (см. рис. 41,б)
γ (ω) = −arctg(ωkT ) .
Определив вещественную и мнимую составляющие ( Re и Im), получим
W (iω) = A(ω) exp[−iγ (ω)]= |
k |
exp[− i arctg(ωT )], |
|||||||||
|
|
|
|
T 2ω2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АФЧХ |
АЧХ |
|
ФЧХ |
|
|
||||||
где A(ω) и γ (ω) - соответственно зависимости |
a |
|
и γ от |
||||||||
A |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частоты колебаний. На рис. 41 соответственно приведены АЧХ, ФЧХ и АФЧХ.
|
a |
|
АЧХ и |
ФЧХ строятся по данным |
эксперимента как |
||||
|
= f (ω) |
и γ = f |
2 |
(ω) соответственно. |
При |
построении |
|||
|
|
||||||||
|
A |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
k |
|
|||
АФЧХ модуль вектора определяют как |
, а угол γ |
||||||||
2 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
T ω |
+1 |
для каждого значения частоты ω определяют из осциллограммы переходного процесса. АФЧХ позволяет определить частотные характеристики звена, при которых может выявиться зона резонансного усиления внесенных в движение звена возмущений, например, при ω2 .
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI79x1.jpg)
80
а |
|
|
a |
|
|
|
|
б |
γ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A |
|
|
|
АЧХ |
|
|
|
|
|
|
ФЧХ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
− |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
Im |
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
АФЧХ |
k |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω3 |
|
|
|
ω2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 41. Частотные характеристики одноемкостного апериодического звена
Как правило, в качестве одноемкостного типового звена представляют основные объекты судовой автоматики, например, двигатель, котел, компрессор и т.д.
В зависимости от значения фактора устойчивости объекта, т.е. в зависимости от взаимного расположения характеристик подвода и отвода энергии, одноемкостные объекты разделяются на статические ( F > 0 ), астатические ( F = 0 ) и неустойчивые объекты ( F < 0 ).
§ 5.3. Апериодическое звено (двухъемкостное, 2-го порядка)
Примерами такого типового звена могут быть регуляторы прямого действия частоты и температуры, двухконтурная система охлаждения, двухъемкостный тепловой аккумулятор (рис. 42). Источник энергии находится в 1-ой полости, а процесс аккумулирования тепла исследуется во второй. Таким образом, система состоит из двухъемкостных звеньев, соединенных последовательно.
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI80x1.jpg)
81
tвых0 1 |
t0 |
|
|
|
|
вых2 |
|
|
|
||
а |
б |
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
t0 |
|
|
вх1 |
k1 |
k2 |
вых2 |
|
σ tвх0 |
(x) |
( y) |
|||
W ( p) |
W ( p) |
||||
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
Рис. 42. Схема апериодического двухъемкостного звена второго порядка:
а - функциональная схема; б - структурная схема
Составим систему дифференциальных уравнений, определяющую тепловые процессы двухъемкостного звена, на базе уравнения (11):
T |
dtвых0 1 |
|
+t0 |
= t0 |
- для 1-й полости; |
|
|
||||||
1 |
dt |
|
|
вых1 |
вх |
|
T |
dtвых0 |
2 |
|
+t0 |
= t0 |
- для 2-й полости. |
|
|
|
||||
2 |
dt |
|
|
вых2 |
вых1 |
|
|
|
|
|
|
|
После ввода относительных координат и преобразований системы уравнений получим дифференциальное уравнение 2-го порядка для двухъемкостного звена
|
|
T 2 |
d 2 y |
+T |
dy |
|
+ y = kx, |
|
(20) |
|
|
|
|
dt |
|
||||||
|
T 2 |
p |
dt2 |
|
k |
|
|
|
||
где |
= T T , |
T |
= T +T |
и k = k k |
2 |
. |
||||
|
p |
1 2 |
k |
1 |
2 |
1 |
|
Разделив все члены уравнения (20) на k и введя замены, получим распространенную в автоматике другую форму этого уравнения
|
|
|
|
|
T 2 |
d 2 y |
+T |
dy |
+δ |
|
y = x, |
(21) |
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
|||||
|
|
|
Tp |
pa |
ka dt |
|
p |
|
|
|||
где |
Tpa = |
- время регулятора; |
|
|
|
|||||||
|
k |
|
|
|
||||||||
|
|
|
Tk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
= |
- время катаракта; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ka |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI81x1.jpg)
82
δ = 1k - степень неравномерности статической харак-
теристики звена.
К аналогичному результату придем, если функцию двухъемкостного звена (см. рис. 42, б) представим как произведение передаточных функций последовательно соединенных полостей
W( p) =W |
( p) W |
( p) = |
k1 |
|
|
k2 |
|
|
|
= |
|
|
k |
|
. |
|
T1 p +1 |
T2 p +1 |
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
2 |
|
|
T T p2 |
+(T +T ) p +1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|||
Далее, |
из выражения W ( p) = |
получим дифференци- |
||||||||||||||
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
альное уравнение движения двухъемкостного апериодического звена (20). Этот путь, как видим, намного проще и удобнее, чем преобразование системы уравнений в конечное выражение (20).
Передаточная функция данного звена может быть пред-
ставлена из уравнения (21) |
как |
|
|
|
|
W ( p) = |
|
1 |
|
. |
(22) |
T 2 |
p2 +T p +δ |
|
|||
|
pa |
ka |
p |
|
Решение дифференциального уравнения движения (20) двухъемкостного звена 2-го порядка (согласно степени уравнения) производится, например, методом подстановки
общего интеграла уравнения |
y = c e p1t |
+ c e p2t |
(аналогично |
|||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||||
решению уравнения (15)), где |
|
p1,2 - корни характеристиче- |
||||||||
ского уравнения двухъемкостного звена |
|
|||||||||
|
|
T 2 p2 +T p +1 = 0 , |
|
|
|
(23) |
||||
|
|
p |
k |
|
|
|
|
|
|
|
и |
p = − Tk |
± ( Tk )2 − 1 . |
|
|||||||
|
1,2 |
2Tp2 |
|
|
2Tp2 |
|
Tp2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
Условием |
протекания |
апериодического |
переходного |
|||||||
процесса является выражение ( |
Tk |
)2 ≥ |
|
1 |
. |
|
||||
2Tp2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Tp2 |
|
Тогда корни характеристического уравнения (23) будут вещественны и отрицательны, а общий интеграл уравнения
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI82x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20) определяют апериодический характер переходного |
||||||||||||||||||||||||||||
процесса (рис. 43), например, при «толчкообразном» воз- |
||||||||||||||||||||||||||||
мущении на входе в звено x . Значения c1 и c2 |
определяются |
|||||||||||||||||||||||||||
при начальных условиях: |
, dy = d 2 y = 0. Значения |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
при t = 0, x = 0, y = c |
|
|
+ c |
|
p и |
p |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
dt |
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
определяются путем решения характеристического уравне- |
||||||||||||||||||||||||||||
ния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При «скачкообразном» возмущении x =1 решение имеет |
||||||||||||||||||||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
(1+c e |
− p1t +c |
2 |
e− p |
2t ) , |
|
|
|
(24) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
δ p |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
T ′ |
|
|
|
|
|
|
T ′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
c |
= |
|
|
; |
c |
2 |
= |
|
|
|
; |
p |
|
|
= 1 |
; |
p |
2 |
= |
1 . |
|
|
|||||
|
1 |
|
T ′−T ′′ |
|
|
|
|
|
T ′−T |
′′ |
|
1 |
|
T ′ |
|
|
T ′′ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = c e− p1t |
+c e− p2t |
|
|
|
зона |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c e− p1t |
|
нечувствительности |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 +c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c e− p2t |
|
|
|
|
|
||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 43. Переходной процесс двухъемкостного звена |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(апериодического) при «толчкообразном» возмущении |
|
|
Коэффициенты решения определятся как
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI83x1.jpg)
|
|
|
|
|
84 |
|
|
|
|
|
T |
′ |
= T − |
2Tpa2 |
T |
′′ |
= T + |
2Tpa2 |
|
||
|
T 2 |
− 4T 2 ; |
|
T 2 |
− 4T 2 . |
(25) |
||||
|
|
k |
k |
pa |
|
|
k |
k |
pa |
|
Переходный процесс представлен на рис. 44.
x
1
|
0 |
t |
|
|
|
y |
|
a =T′+T′′ |
1
δт.а.
0 |
t |
Рис. 44. Переходный процесс двухъемкостного апериодического звена при «скачкообразном» возмущении
Переходной процесс имеет характерную точку перегиба
(т. А), касательная к кривой в этой точке позволяет определить T ′+T ′′.
Для подобного звена проводится эксперимент путем внесения ступенчатого возмущения на входе. При этом осциллографируется изменение выходного параметра во времени, то есть переходный процесс двухъемкостного апериодического звена при «скачкообразном» возмущении. Изменение
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI84x1.jpg)
85
входной координаты производят с помощью специального устройства, так называемого имитатора.
Таким образом, если экспериментально получена кривая переходного процесса звена, то, решив систему алгебраических уравнений
c + c |
2 |
= − |
1 |
(из уравнения (24) при t = 0 ); |
||
|
||||||
1 |
|
δ p |
||||
|
|
|
||||
c + c |
2 |
= |
T ′+T ′′ |
, |
||
|
||||||
1 |
T ′−T ′′ |
|||||
|
|
получаем T ′ −T ′′ = −aδ p . Из системы уравнений
T ′ −T ′′ = −aδ p ,
T ′+T ′′ = a
получим числовые значения
T |
′ |
= |
a −δ pa |
и |
T |
′′ |
= |
a +δ pa |
. |
|
2 |
2 |
|||||||||
|
|
Далее, подставив значения T ′ и T ′′ в выражения (25), получим значения Tpa и Tk . Коэффициент усиления звена k
определится как отношение значения выходной координаты к значению входной k = xy после завершения переходного
процесса и, следовательно,
δ p = 1k .
АФЧХ звена есть геометрическое место точек конца вектора передаточной функции при p = iω
W (iω) = |
|
|
1 |
= |
|
1 |
. (26) |
2 |
2 |
+Tka (iω) +δ p |
(δ p −ω |
2 2 |
|||
Tpa (iω) |
|
|
Tpa ) +iωTka |
|
Передаточная функция может быть представлена в виде комплексного числа W (iω) = u + iv = Re+ Im ,
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI85x1.jpg)
86
где u(Re) - вещественная часть, iv(Im)- мнимая часть пере-
даточной функции.
Умножив и разделив выражение (26) на разность
((δ −ω2Tpa2 ) −iωTka ),
получим формулу для |
Re и |
|
Im: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Re = |
|
|
δp −ω2Tpa2 |
|
|
|
|
|
|
; |
||||
T 4 ω4 |
+ (T 2 |
− 2T 2 δ |
p |
)ω2 |
+δ 2 |
|||||||||
|
|
pa |
ka |
|
pa |
|
|
|
p |
|
|
|
||
Im = − |
|
|
|
ωTka |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
T 4 ω4 +(T 2 |
|
−2T 2 |
δ |
p |
)ω |
2 +δ |
2 |
|||||||
|
|
pa |
ka |
pa |
|
|
|
|
p |
По полученным значениям Re и Im можно построить
АФЧХ, аналогичную изображенной на рис. 41, в. |
|
||||||||||
АЧХ ( A(ω) |
или |
a |
(ω) ) получается как вектор W (iω) в |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системе координат ReIm при условии 0 < ω < ∞ |
|
||||||||||
A(ω) = Re2 (ω) + Im2 (ω) = |
|
|
+ (T 2 |
1 |
|
)ω2 |
+δ 2 . |
||||
|
|
|
T 4 |
ω4 |
− 2T 2 δ |
p |
|||||
|
|
|
|
pa |
|
ka |
|
pa |
|
p |
|
ФЧХ (γ (ω) ) |
определится как |
|
|
|
|
|
|
||||
|
γ (ω) = −arctg |
|
ωTka |
|
, |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
δ p −ω Tpa |
|
|
|
где 0 < ω < ∞.
Предполагается, что статическая характеристика звена в рассматриваемом диапазоне линейна. Как правило, для наиболее распространенных в судовой практике двухъемкостных апериодических звеньев при «скачкообразном» возмущении на входе это предположение вполне оправдано.
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI86x1.jpg)
87
§ 5. 4. Колебательное звено (двухъемкостное, 2-го порядка)
Пример такого звена представлен на рис. 42, а. Но в отличие от апериодического звена, описанного в разделе 5.3, при соответствующих условиях характер переходного процесса является колебательным, т.е. при определенном соотношении коэффициентов уравнения движения звено из апериодического превращается в колебательное.
Вид уравнения движения при этом сохраняется:
T 2 |
d 2 y |
+T |
dy |
+ y = kx. |
|
dt |
|||
p dt 2 |
k |
|
Условием колебательного переходного процесса являет-
ся выражение |
( |
Tk |
)2 < |
|
1 |
. |
2Tp2 |
|
|||||
|
|
|
Tp2 |
Тогда корни характеристического уравнения становятся комплексно-сопряженными p1,2 =α ±iβ ,
где i - мнимая единица, i = −1;
α -вещественная часть выражения, α = − Tk ;
2Tp2
β -мнимая часть выражения, β = 1 |
− ( Tk |
)2 . |
Tp2 |
2Tp2 |
|
Решение уравнения движения выполним путем подстановки
y = c e p1t +c |
2 |
e p2t = c e(α +iβ)t +c |
2 |
e(α −iβ)t |
|||
1 |
|
|
1 |
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
y = eαt (c1eiβt +c2e−iβt ). |
|
|
(27) |
||||
Введем соотношения Эйлера для комплексной области |
|||||||
eiβt = cos βt + isin βt |
и |
e−iβt |
= cos βt −isin βt . |
Тогда, подставив соотношения Эйлера в уравнение (27), получим
y = eαt [(c |
+ c |
2 |
)cos βt + i(c |
− c |
2 |
)sin βt]. |
(28) |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
Обозначив c1 + c2 = c sin γ и |
i(c1 − c2 ) = c cosγ , |
получим |
||||||
значения новых постоянных γ |
и c |
|
|
|
|
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI87x1.jpg)
88
c = 2 c c |
2 |
и |
γ = arctg |
c1 + c2 |
. |
|
|||||
1 |
|
|
i(c1 − c2 ) |
||
|
|
|
|
Окончательно после простых преобразований уравнения
(28) получим |
|
|
|
y = ceαt sin(βt +γ ) |
|
|
||||||
или |
Tk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
t |
|
|
1 |
|
T |
|
|
|
|
|
2T |
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||
y = ce |
p |
sin |
|
T 2 |
−( |
k |
)t +γ |
|
(29) |
|||
|
|
|
( |
2T 2 ) |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
p |
|
|
|
|
На рис. 45 представлен переходный процесс:
а) при «толчкообразном» возмущении, б) при «скачкообразном» возмущении. Здесь T - период колебаний, T = 2βπ ,
при этом частота колебаний процесса f = 2βπ .
Рис. 45. Переходные процессы двухъемкостного колебательного звена второго порядка
Передаточная функция, АЧХ, ФЧХ и АФЧХ аналогичны предыдущему случаю (см. раздел 5. 3).
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI88x1.jpg)
89
§ 5. 5. Интегрирующее звено
Простейшее интегрирующее звено представлено на рис. 32. Зависимость между входной и выходной координатами определяется уравнением (9). Это же уравнение можно представить как
|
1 t2 |
|
|
y = |
|
∫xdt + y0 . |
(30) |
T |
|||
|
c t |
|
|
1 |
|
Переходный процесс интегрирующего звена и его характеристики приведены на рис. 46. Так, при «скачкообразном» возмущении, например, при x =1
|
|
t2 |
|
|
|
|
y = |
1 |
t |
+ y0 |
= |
t2 −t1 |
+ y0 . |
|
|
|||||
|
Tc |
|
|
Tc |
t1
Отклонение выходной величины пропорционально интегралу отклонения входной координаты x , поэтому такие звенья называют интегрирующими.
a x |
|
|
|
|
б |
|
a |
|
|
|
|
|
|
Im |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
АЧХ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
Re |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = ∞ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x =1 |
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
ω → 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ФЧХ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
||
|
|
|
t |
Tc |
|
t2 t |
− π |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 46. Переходный процесс интегрирующего звена и его характеристики
Передаточную функцию интегрирующего звена получим из уравнения (9), записанного в операторной форме
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI89x1.jpg)
90
x = T py |
и |
W ( p) = |
y |
= |
1 |
. |
|
|
|||||
c |
|
|
x |
Tc p |
||
АФЧХ при подстановке в W ( p) |
p(iω) определится |
при условии 0 < ω < ∞
W (iω) = |
1 |
|
T (iω) |
||
|
||
|
c |
= |
a |
|
(ω)exp[iγ (ω)]. |
(31) |
|
A |
|||||
|
|
|
АФЧХ |
АЧХ ФЧХ |
|
|
||
Выделив Re и Im, получим |
W (iω) = |
1 |
exp(−i |
π ) . |
|
T ω |
|||||
|
|
|
2 |
||
|
|
c |
|
|
§5. 6. Дифференцирующее звено
Видеальном дифференцирующем звене (см. рис. 47, а) зависимость между входной и выходной координатами определяется уравнением
|
|
|
y = k |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
(32) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||||
В операторной форме уравнение движения |
y = kpx . |
||||||||||||
Передаточная функция W ( p) = |
y |
= kp, |
откуда |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
π ) . |
|
||||
W (iω) = k(iω) = kω exp(i |
(33) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
АФЧХ |
|
АЧХ ФЧХ |
|
Уравнение движения дифференцирующего звена показывает, что при «ступенчатом» возмущении (см. рис. 47, б) переходный процесс начинается мгновенным импульсом бесконечной (теоретически) амплитуды. Но так как длительность времени изменения входной координаты стре-
мится к нулю, то сразу же за установлением dxdt = 0 выход-
ная координата также принимает нулевое значение y = 0 .
![](/html/2706/1215/html_UxaBpQDpYS.MWzV/htmlconvd-OheAHI90x1.jpg)
91
Звено состоит из катаракта 1 и пружины 2 (см. рис. 47, а). В технике такое звено принято называть изодромом. Если через изодром (дифференцирующее звено) проходит обратная связь, то ее называют изодромной или гибкой обратной связью (ГОС).
a |
x |
y |
б x |
|
2
1
t
y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
в a |
|
АЧХ |
|
γ |
|
|
|
|
|
Im |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A |
|
|
|
|
ФЧХ |
|
|
|
ω → ∞ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АФЧХ |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
ω |
|
|
Re |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 47. Дифференцирующее звено, его переходный процесс
ихарактеристики
§5. 7. Звено чистого запаздывания
Звеном чистого запаздывания называется звено, в котором изменения выходной координаты y полностью повто-
ряют изменения входной координаты x , но смещены относительно ее во времени, т.е. происходят с некоторым запаздыванием τ (рис. 48, а).
Реально такое звено не существует. Путем искусственного введения в цепочку САР звеньев запаздывания удается приблизить их математическое описание к реальным про-