3. Вывод рабочей формулы

Падение напряжения во внешней цепи из уравнения ( 5 ) равно:

U = - I r . (10)

С учётом (8 ) полезную мощность P_п можно представить в виде:

P_п = IU = I(- Ir) = - I ² r + I. (11)

Из уравнения (11) видно, что полезная мощность есть функция второй степени от тока P_п =  (I ) и графически имеет вид параболы со смещённой от начала координат вершиной (рис. 2 )

Из уравнения (11) следует, что P_п дважды обращается в нуль: при I = 0 (режим холостого хода) и при  - I r = 0 , т.е. при силе тока I =  / r (режим короткого замыкания).

Взяв производную от P_п по I из уравнения (11) и приравняв её к нулю, найдём значение силы тока I , при котором полезная мощность P_п имеет максимальное значение:

= - 2I r +  = 0, откуда I = .

Так как падение напряжения во внешней цепи равно U =  - Ir , то при I = получим:.

Тогда по формуле (8) получим при I = максимальное значение полезной мощностиP_п :

P_{п max} = IU = =(12)

По закону Ома для полной цепи . Сравнивая это выражение с I = , получим, что P_п = P_{п max} , когда внешнее сопротивление цепи R равно внутреннему сопротивлению источника, т.е. при R = r. Из выражения P = I  видим, что зависимость P =  ( I ) является линейной ( рис.2)

Из выражения видно, что зависимость =  ( I ) является линейной (рис.2) . Очевидно, что с увеличением силы тока  уменьшается от своего максимального значения  = 1 (при I = 0) до минимального  = 0 (при I = ). При I = , что соответствует максимальному значению полезной мощности, к.п.д. становится равным:

.

Так как U = IR , то выражение (8) для полезной мощности можно записать в виде:

P_п = I ² R. (13)

Подставляя значение , получим:

(14)

Здесь величины  и r - постоянные, следовательно, полезная мощность P_п является функцией внешнего сопротивления P_п =  ( R ) (рис.3).

Из уравнения (14) видно, что при R = 0 (короткое замыкание) и при

R =  (холостой ход) Pп = 0 . Взяв производную от P_п по R из уравнения (14) и приравняв ее к нулю, найдем значение внешнего сопротивления R, при котором P_п будет иметь максимальное значение.

Знаменатель здесь не равен бесконечности, значит числитель должен быть равен нулю, т.е.

 ² (R + r)² -  ²2R (R + r) =  ² (R + r) (R + r – 2R) = 0.

Это равенство выполняется при R = r . Таким образом, P_п = P_{п max} , когда R = r. При этом из уравнения (14) имеем P_{п max} =.

Выражение (7) для полной мощности можно представить в виде:

(15)

Из уравнения (15) видно, что полная мощность Р принимает максимальное значение при R = 0 (короткое замыкание) , тогда P_max =. ПриR   полная мощность асимптотически стремится к нулю (рис.3).

К.п.д.  из уравнения (6) можно представить в виде:

(16)

Из уравнения (16) следует, что при R = 0 (короткое замыкание) к.п.д.  = 0. При увеличении R к.п.д.  возрастает и при R   (холостой ход)

  1 (рис.3). Так как полезная мощность достигает максимального значения при R = r , то в этом случае  = 0,5.

Особенности трех режимов работы источника видны из таблицы 1.

Таблица1

Режимы	I	U	Pп	P	
холостого хода	0		0	0	1
максимальной полезной нагрузки					0,5
короткого замыкания		0	0		0