Zadanie_1_matn

Задание 1. По имеющимся данным требуется:

1. Построить статистический ряд распределения. изобразить получившийся ряд графически с помощью полигона или гистограммы. Найти функцию распределения, построить ее график.

2. Найти: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение выборки, моду и медиану.

3. Проверить при уровне значимости гипотезу о соответствии имеющего статистического распределения нормальному закону.

4. Считая данные нормально распределенной случайной величиной найти:

а) точечную оценку математического ожидания изучаемой совокупности;

б) доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью 0.95.

Имеются данные о прибыли коммерческих банков региона, млн. руб.:

7.9	13.7	36.8	5.3	38.1	25.6	12.5	23.9	19.1	7.3
25.1	15.4	2.0	22.1	40.3	18.0	37.5	34.0	9.7	20.3
23.5	13.4	26.7	0.2	28.5	0.1	37.6	27.2	34.4	13.6
27.6	33.5	49.3	45.2	16.8	25.3	35.4	25.3	31.7	5.1

1. Для полученной выборочной совокупности объемом n=40

а). Производим ранжирование выборочных данных.

0.1	0.2	2.0	5.1	5.3	7.3	7.9	9.7	12.5	13.4
13.6	13.7	15.4	16.8	18.0	19.1	20.3	22.1	23.5	23.9
25.1	25.3	25.3	25.6	26.7	27.2	27.6	28.5	31.7	33.5
34.0	34.4	35.4	36.8	37.5	37.6	38.1	40.3	45.2	49.3

б) Определяем минимальное и максимальное значение признака.

млн. руб. млн. руб.

в) Находим размах варьирования признака

млн. руб.

г) Определяем число групп, на которые разбиваем выборочную совокупность (округление проводим до ближайшего целого)

k=6.

д) Определяем длину интервала по формуле

е) Определяем границы интервалов и группируем данные по соответствующим интервалам.

№ интервала	Границы интервала 	Частота	Накопленная частота
0	1	3	4
1	0.1-8.3	7	7
2	8.3-16.5	6	13
3	16.5-24.7	7	20
4	24.7-32.9	9	29
5	32.9-41.1	10	39
	41.1-49.3	1	40
		40	

ж) На основе полученных данных строим статистический ряд распределения и его геометрические представления.

№ Интер вала	Интервалы -		Частости	Накопленные частости	Относительная плотность распределения
0	1	2	3	4	5
1	0.1-8.3	4.2	0.175	0.175	0.021
2	8.3-16.5	12.4	0.15	0.325	0.018
3	16.5-24.7	20.6	0.175	0.5	0.021
4	24.7-32.9	28.8	0.225	0.725	0.027
5	32.9-41.1	37	0.25	0.975	0.03
	41.1-49.3	45.2	0.025	1	0.003
	__	__	1	__	__

Гистограмма и полигон распределения

Кумулята распределения

2. Найдем выборочную среднюю, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение выборки, моду и медиану.

а) Вначале находим выборочное среднее, характеризующее центр распределения, около которого группируются выборочные данные, как взвешенное среднее

млн. руб.

№ п./п.
0	1	2	3	4	5	6
1	4.2	0.175	-18.86	0.735	-3.3	62.247
2	12.4	0.15	-10.66	1.86	-1.599	17.045
3	20.6	0.175	-2.46	3.605	-0.43	1.059
4	28.8	0.225	5.74	6.48	1.292	7.413
5	37	0.25	13.94	9.25	3.485	48.58
	45.2	0.025	22.14	1.13	0,554	12.254
		1		23.078	0.002	148.598

Дисперсия выборочного распределения:

Среднее квадратическое отклонение .

В данном распределении модальным является интервал (32.9-41.1), так как ему соответствует наибольшая частота (). Значение моды определим по формуле:

Место медианы , поэтому медианным является интервал (24.8-32.9), так как в этом интервале находятся номера 20 и 21. Вычислим медиану:

3. Проверим гипотезу о соответствии имеющего статистического распределения нормальному закону. Число наблюдений в крайних интервалах меньше 5, поэтому объединяем их с соседними. Получим:

Интервал	0.1-8.3	8.3-16.5	16.5-24.7	24.7-32.9	32.9-49.3
Частота ,	7	6	7	9	11

Оценки параметров распределения вычислим по выборке:

;

,

где , , .

Плотность распределения вероятностей теоретического распределения на каждом интервале рассчитывается по формуле .

Расчеты выполним в табличной форме:

№ п./п.	Интервалы -
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	0.1-8.3	0.175		-1.21	-0.5	-0.3869	0.1131	4.524	10.831
2	8.3-16.5	0.15	-1.21	-0.54	-0.3869	-0.2054	0.1815	7.26	4.958
3	16.5-24.7	0.175	-0.54	0.13	-0.2054	0.0517	0.2571	10.284	4.764
4	24.7-32.9	0.225	0.13	0.82	0.0517	0.2939	0.2422	9.688	8.361
5	32.9-49.3	0.275	0.82		0.2939	0.5	0.2061	8.244	14.677
		1					1	40	43.59

Вычисляем наблюдаемое значение критерия :

.

Число степеней свободы по выборке равно , где число интервалов, число параметров распределения, в нашем случае:

.

При уровне значимости и по таблице распределения находим . Так как , то нет оснований отвергнуть выдвинутую гипотезу.

4. Точечная оценка математического ожидания найдена при проверке гипотезы о соответствии распределения нормальному закону: (метод моментов).

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии определяется из неравенства:

,

где определяется из уравнения .

Учитывая, что , получаем . По таблице находим . Тогда . Доверительный интервал для математического ожидания будет:

, то есть

7