Определение перемещений при поперечном изгибе интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. (с постоянным по длине сечением)

Деформация стержня при поперечном изгибе представляется в виде прогибов y(перемещений перпендикулярных недеформированной оси) и поворотов поперечных сечений стержня. Считается, что поперечное сечение стержня после изгиба остается плоским и перпендикулярным изогнутой оси стержня, откуда следует, что. Принято следующееправило знаков: прогиб считается положительным, если направлен вверх; угол поворота считается положительным, если сечение поворачивается против часовой стрелки. Для всех последующих выкладок принята следующая система координат: ось стержняX(в недеформированном состоянии) направлена вправо, осьYвверх.

Для жестких балок максимальные прогибы, которых малы по сравнению с длиной, следовательно, связь углов поворота с прогибами упрощается. Для определения перемещения в таких балках используется линеаризованное дифференциальное уравнение:, где- уравнение изогнутой оси стержня (кривая изгиба). В этом дифференциальном уравнении не учитываются перемещениями, связанными с деформацией сдвига (то есть с действием перерезывающей силы) в связи с их малости по сравнению с деформацией связанной с изгибом. Последовательно интегрируя это уравнение два раза, получим соответственно уравнение углов поворота уравнение прогибов. Константы интегрированияиопределяются из граничных условий.

Непосредственное интегрирование дифференциального уравнения и особенно определение констант интегрирования для балок более чем 2-мя участками является трудоемкой задачей. Так, например, для балки с Nучастками необходимо записать и проинтегрироватьNдифференциальных уравнений при этом появится2Nконстант интегрирования;и для их определения необходимо записать и использовать2Nграничных условий. Два граничных условия отражают условия закрепления стержня в опорах. Для каждой шарнирной опоры можно записать,- координата сечения, где расположена опора. Для жесткой заделкии, где- координата жесткой заделки. Остальные2N-2констант интегрирования находятся из условий непрерывного () и плавного () сопряжения изогнутой оси стержня наN-1границах между участками, здесь - координата границы междуi иi+1 участком.

Метод начальных параметровявляется более удобным для балок со сложной нагрузкой (с большим количеством участков). Суть метода начальных параметров заключается в выравнивания констант интегрирования по участкам, в результате, которого неизвестными остаются лишь две из них,. Оставшиеся константы интегрирования имеют простой физический смысл:- прогиб начального (приx = 0) сечения,- угол поворота начального сечения и определяются из условий закрепления балки. Для произвольной балки постоянного по длине сечения нагруженнойk -моментамииm -сосредоточенными силами(включая реакции опор), а также n -равномерно распределенными нагрузкамиуравнения углов поворота и прогибов записываются одним выражением сразу для всей балки (для всех участков):

где a_i, b_i - координаты сечений где приложена соответственно i - сосредоточенная сила и i - сосредоточенный момент, c_i, d_i координаты соответственно начала и конца i - равномерной распределенной нагрузки. Двойные черточки у каждого из слагаемых показывают, при каком условии данное слагаемое включается в вычисления, а именно при определении прогибов или углов поворота в произвольном сечении с координатой - x в вышеприведенных выражениях удерживаются только те слагаемые, которые учитывают нагрузки, приложенные к балке левее рассматриваемого сечения. В выражениях метода начальных параметров принято следующее правило знаков для внешних нагрузок: если он направлен по часовой стрелке; иесли они направлены вверх.