Для проверки вычислим напряжения в обоих стержнях:

Условия прочности выполняются для обоих стержней, следовательно, самый опасный стержень был выбран правильно. Удлиннения стержней можно определить по формулам:

Перемещения: удовлетворяют условию совместности перемещений(2). (Знак «-» означает, что действительные перемещения шарниров противоположны показанным на рис.2).

Задача №3

Задание: Для стержневой конструкции (рис.1) из условия прочности подобрать максимально допускаемую внешнюю нагрузку (выраженную через q). При найденной нагрузке определить перемещение точки приложения силы P₁.

Исходные данные: F = 700 мм²; l = 500 мм; a = 500 мм;P₁ = qa; P₂ = 3qa; M₁ = 2qa². Материал всех стержней Сталь 5, с пределом текучести _т = 270 МПа; E=210⁵ МПа.

Определим допускаемое напряжение для материала стержней (принимая для стали коэффициент запаса прочности n = 1.5).

.

Решение:

Рассмотрим равновесие абсолютно жесткого бруса, отбросив стержни (рис.2). В данном случае рациональнее заменить отброшенные стержни нормальными силами N₁, N₂, N₃, возникающими в них (неизвестные нормальные силы в стержнях следует показывать всегда в положительном направлении, то есть так, чтобы они были растягивающими). Для 3-х неизвестных сил можно составить 2 уравнения равновесия:

Следовательно, задача 1 раз статически неопределима, и необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Для этого рассмотрим возможное деформированное состояние конструкции (возможное означает допускаемое связями и включающее перемещение по всем возможным степеням упругой подвижности). В данном случае таким состоянием будет вертикальное поступательное перемещение жесткого бруса и его поворот, показанное на рис.3 (совершенно необязательно, чтобы выбранное направление перемещения и поворота совпадало с действительным). Шарниры А, В, С займут новые положения А₁, В₁, С₁, их вертикальные перемещения обозначим соответственно y₁, y₂, y₃. Очевидно, что эти перемещения связаны между собой условием, которое получается из рассмотрения трапеции АВСА₁В₁С₁: . Очевидно, что эти перемещения связаны с абсолютными удлинениями стержней:, откуда следует условие совместности деформаций:.

Выражая удлинения стержней по закону Гука, получим дополнительное уравнение связывающее нормальные силы в стержнях:

.

Решая совместно уравнения (1), (2), (5) выразим нормальные силы в стержнях: (для проверки следует убедится, что полученные нормальные силы удовлетворяют исходным уравнениям). Нормальные напряжения в стержнях выразятся следующим образом, чтобы их можно было сравнить в общем виде:

.

Так как материал стержней имеет одинаковую прочность на растяжение и сжатие, то опасным будет третий стержень (с наибольшим по модулю напряжением). Из условия прочности для 3-го стержня определим допускаемую внешнюю нагрузку, выраженную через q:

. Тогда внешние силы будут равны:

P₁ = 132.6500 = 66300Н = 66.3кН; P₂ = 3132.6500 = 199000Н = 199кН; M₁ = 2132.6500² = 6.6310⁷ Нмм = 66.3кНм.

Напряжения: ;;, действующие в стержнях удовлетворяют условиям прочности.

Более сложная постановка задачи.(с учетом монтажных напряжений )

Будем считать, что стержень №2 до сборки конструкции имел длину, отличающуюся от номинальной на малую величину = 0.5 мм (знак “+” означает, что начальная длина стержня больше номинальной). Уравнения (1), (2), (3) останутся без изменений, изменится только зависимость между перемещением шарнира B и удлинением стержня №2: ,тогда уравнение совместности деформаций (4) перепишется в виде: , (смотри рис.4). Используя закон Гука, получим: , откуда выразим: . Решая совместно (1), (2), (5) выразим нормальные силы и напряжения в стержнях: