Задача №3.

Задание: Для заданной плоской рамы нагруженной в плоскости XY (рис.1) из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения в виде двух швеллеров (ориентация сечения показано там же). Рассчитать перемещение одного и угол поворота другого произвольно выбранных поперечных сечений рамы.

Исходные данные:

h = 2000 мм; l = 4000 мм;

P₁ = 20 кН; P₂ = 30 кН;

М = 40 кНм; q = 20 кН/м.

Материал стержней Сталь 6, с модулем продольной упругости (модулем Юнга) - Е=210⁵ МПа и пределом текучести _т = 300 МПа.

Решение:

1).Определим допускаемые напряжения для материала стержней, принимая коэффициент запаса прочности n = 1.5:

.

2).Определим реакции опор из условий равновесия всей рамы: из суммы моментов относительно опоры А (левой) получим –

, откуда получим

. Из уравнений: ; и.

Для проверки правильности нахождения реакций используем уравнение равновесия: :, подставляя значения, убеждаемся, что найденные реакции удовлетворяют этому условию, следовательно, они определены верно.

3). Построим эпюры нормальных – N, перерезывающих сил -Q и изгибающих моментов - Mна участках рамы, используя метод сечений в следующей последовательности:

• в пределах каждого участка проводим произвольное поперечное сечение на расстоянии x_i от начала координат, (которое выбирается в центре тяжести одного из граничных сечений участка рамы, ось Х как всегда совпадает с осью рассматриваемого участка стержня) затем любая часть балки отбрасывается;

• отброшенная часть заменяется внутренними силовыми факторами N,Q и M(то есть внутренними силами взаимодействия частей рамы, которые можно считать реакциями отброшенной части);

• силовые факторы N, Q и M определяются из условий равновесия оставшейся части, при этом искомые силовые факторы всегда следует показывать в положительных направлениях: N – так чтобы стремилась растягивать рассматриваемый участок (то есть должна быть направлена из сечения); Q - так чтобы стремилась вращать рассматриваемую часть участка рамы по часовой стрелке; M - при построении эпюры изгибающего момента в рамах правило знаков не устанавливается, эпюра моментов всегда строится на сжатых волокнах без указания знака.

Участок АС - 0  x  h. (рис.2а) Нормальную силу N_АС(x) найдем из условия равновесия ;, откуда очевидно, что нормальная сила на участке постоянна и равна.

Перерезывающую силу Q_АС(x) найдем из условия ;, откуда очевидно, что перерезывающая сила на участке постоянна и равна.

Изгибающий момент M_АС(x) найдем из условия ; (здесь и далее при определении изгибающих моментов в сечении в качестве моментной точки удобно выбирать т. С – центр тяжести рассматриваемого сечения), откуда следует, что изгибающий момент на участке линейно изменяется - , и его эпюру строим по двум значениям на границах участка в т.А (x=0) и С (x=2 м.): ,.Знак «-» означает, что сжимаются правые (внутренние) волокна, так как сначала (см. рис.2а) момент выбран сжимающим левые (внешние) волокна. Эпюры представлены на рис. 3а,б,в.

Участок СD - h  x  3h. (рис.2б) Нормальную силу N_СD(x) найдем из условия равновесия ;, откуда очевидно, что нормальная сила на участке постоянна и равна: .

Перерезывающую силу Q_СD(x) найдем из условия ;, откуда очевидно, что перерезывающая сила на участке постоянна и равна.

Изгибающий момент M_СD(x) найдем из условия ; откуда следует, что изгибающий момент на участке линейно изменяется - , и его эпюру строим по двум значениям на границах участка в т.С (x=2 м.) и D (x=6 м.): ,. Знак «-» означает, что сжимаются правые (внутренние) волокна, так как сначала (см. рис.2б) момент выбран сжимающим левые (внешние) волокна. Эпюры представлены на рис. 3а,б,в.

Участок BE - 0  x  h. (рис.2в). Нормальную силу N_BE(x) найдем из условия равновесия ; .

Перерезывающую силу Q_BE(x) найдем из условия ; , откуда очевидно, что перерезывающая сила на участке постоянна и равна.

Изгибающий момент M_BE(x) найдем из условия ; , откуда следует, что изгибающий момент на участке линейно изменяется - , и его эпюру строим по двум значениям на границах участка в т.B (x=0) и E (x=2 м.): ,.Знак «-» означает, что сжимаются левые (внутренние) волокна, так как сначала (см. рис.2в) момент выбран сжимающим правые (внешние) волокна. Эпюры представлены на рис. 3а,б,в.

Участок DE - 0  x  l. (рис.2г). Нормальную силу N_DE(x) найдем из условия равновесия ; , откуда очевидно, что нормальная сила на участке постоянна и равна: .

Перерезывающую силу Q_DE(x) найдем из условия ; , откуда очевидно, что перерезывающая сила на участке линейно изменяется -, и для построения эпюры нужно вычислить два значения т.D (x=0 м.) и E (x=4 м.): ; .

Изгибающий момент M_DE(x) найдем из условия ; откуда следует, что эпюра изгибающего момента на участке является квадратичной параболой - , и его эпюру строим по двум значениям на границах участка в т. D (x=0 м.) и E (x=4 м.): ;. Для построения эпюры необходимо также определить положение вершины параболы и значение момента в ней, однако, учитывая дифференциальную зависимость - , замечаем, что вершина параболы находится в точке Е (так как). Таким образом, эпюру строим по двум значениям, учитывая кроме того, известный факт – выпуклость эпюры моментов всегда направлена навстречу распределенной нагрузке. Для определения перемещений потребуется определить значение изгибающего момента посередине участка -.Отрицательные значения изгибающего момента означают, что сжимаются нижние (внутренние) волокна так как сначала (см. рис.2г) момент выбран сжимающим верхние (внешние) волокна. Эпюры представлены на рис. 3а,б,в.

4).После построения эпюр необходимо выполнить проверку их правильности методом вырезания узлов.

Суть метода вырезания узлов заключается в следующем: каждый узел мысленно вырезается из рамы поперечными сечениями бесконечно близкими к узлу; в каждом сечении прикладываются все силовые факторы значения и направления, которых берутся с эпюр; производится проверка равновесия узла под действием силовых факторов и внешних нагрузок, приложенных непосредственно к узлу; если условия равновесия для узлов выполняются, то эпюры силовых факторов построены правильно.

На рис.4 представлены вырезанные узлы D и E с силовыми факторами (взятыми с эпюр рис.3а,б,в) и внешней нагрузкой.

Очевидно, что для каждого из узлов выполняются все три уравнения равновесия - ,,. Таким образом, проверка правильности построения эпюр выполнена.

5). Подберем сечение рамы в виде прямоугольной трубы составленной из двух прокатных швеллеров ГОСТ 8240-72 из условия прочности. Ориентация швеллеров рациональная, т.е. плоскость наибольшей жесткости совпадает с грузовой. Условие прочности запишем только для нормальных напряжений изгиба (учет нормальных напряжений растяжения-сжатия существенно усложняет условия прочности, в то же время в большинстве случаев напряжения растяжения-сжатия малы по сравнению напряжениями изгиба). Для опасного сечения (узелD участок CD смотри рис.3в)

откуда находим требуемый момент сопротивления сечения:

. Учитывая, что в сечении два одинаковых швеллера из сортамента выбираем наиболее подходящий номер по половине момента сопротивления. Наиболее подходящим оказывается швеллер №36 со следующими геометрическими характеристиками: ;;. Тогда подобранное сечение имеет следующие характеристики (фактические): момент сопротивления -, момент инерции -, площадь -, максимальный статический момент отсеченной части сечения -, суммарная толщина полок – .

Выполним теперь проверку подобранного сечения рамы на прочность (уточненный прочностной расчет). В опасном сечении D фактическое напряжения изгиба составит - , в этом же сечении действуют максимальные напряжения сжатия (т.к. )- и тогда наибольшее нормальное напряжение составит - . Наибольшее касательное напряжение в этом сечении будет действовать на нейтральной линии сечения, и величина его по формуле Журавского составит - . Так как в рассматриваемом сечении действуют одновременно и нормальные и касательные напряжения то проверку выполним по четвертой теории прочности, опасными точками в сечении будем считать соединение полок со стенками предполагая, что там действуют одновременно наибольшие касательные и нормальные напряжения (на самом деле в этих точках будут действовать напряжения несколько меньшие максимальных, что пойдет в запас прочности – в проверочном расчете это вполне допустимо). Тогда наибольшее эквивалентное напряжение в сечении и условие прочности выполняется.

Кроме рассмотренного выше сечения опасным может оказаться сечение D участка DE где действует большой изгибающий момент - , максимальная перерезывающая сила -и нормальная сила -. Вычисляя соответствующие напряжения для этого сечения получим:

;; . Снова принимая (в запас прочности), что максимальные нормальные и касательные напряжения действуют в сечении в местах сопряжения полок со стенками вычисли эквивалентное напряжения в сечении: . Таким образом, подобранное сечение условиям прочности удовлетворяет.

6). Определим угол поворота узла D - _D и вертикальное перемещения узла E - y_E, используя энергетические методы (перемещениями связанными с деформациями растяжения-сжатия и сдвига пренебрегаем, ввиду их малости по сравнению с перемещениями от изгиба, таким образом, в расчетах будут учитываться только изгибающие моменты).

6.1). Угол поворота узла D определим, используя способ Верещагина, для этого в узле приложим единичный момент (смотри рис.5). Определим реакции опор как обычно используя уравнения равновесия всей рамы: из суммы моментов относительно опоры А (левой) получим –, откуда, из, и из. Строим эпюру единичного изгибающего момента (от действия только единичной нагрузки), описание построения эпюры опускаем в силу элементарности, сама эпюра представлена на рис.6.

Теперь для определения угла поворота _D нужно перемножить эпюру грузового момента (рис.3в) и (рис.6) по формуле Верещагина. На рис.7 показана эпюра грузового изгибающего момента с обозначенными площадями участков и положением их центров тяжести (участки эпюры разбиты на простейшие фигуры для удобства определения площадей и центров тяжести), вычисляя площади получим -

, ,

, ,

; .

На рис.8 на эпюре показаны ординаты единичного момента в сечениях, где находятся центры тяжестей соответствующих участков эпюры грузового момента, вычисляя значения ординат получим - , , , , .

Учитывая, что эпюры единичного и грузового момента на всех участках расположены на одноименных волокнах в формуле Верещагина все слагаемые будут иметь знак «+»:

.

Подставляя значения (в размерностях – Н, МПа, мм) получим:

Положительное значение найденного угла поворота означает что направление угла поворота совпадает с направлением единичного момента, то есть узел D поворачивается по часовой стрелке.

7). Вертикальное перемещения узла E - y_E, найдем с помощью интеграла Мора. Снова по направлению искомого перемещения прикладываем единичную нагрузку (см. рис.9). Определяя реакции из условий равновесия –

из,

из , из.

В интеграле Мора перемножаются непосредственно выражения грузового и единичного моментов по участкам нужно записать выражения единичного изгибающего момента, причем для каждого из участков начало отсчета и направление оси Х в выражениях единичного и грузового моментов должны совпадать, так же как и принятое за начальное направление изгибающего момента. Так как выражения для грузового изгибающего момента уже получены в пункте 3, то выражения для единичных моментов получим рассматривая те же схемы (рис.2а,б,в,г), прикладывая вместо внешней нагрузки единичную (используя только что найденные реакции):

. Так как вычисление интеграла Мора для нескольких участков трудоемко, то выполним его в среде MathCad.

Знак перемещения показывает, что перемещение направлено вниз туда же куда и единичная сила

Литература.

1. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев.: Наукова думка, 1988.

2. Писаренко Г.С. и др. Сопротивление материалов. Киев, 1986.

3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М., 1986.

4. Буланов Э.А. Решение задач по сопротивлению материалов. Москва.: Высшая школа, 1994.

5. Фомин А.П. Прикладная механика твёрдого деформируемого тела, том I, “Наука” , М. ,1975.

6. Фомин А.П. Прикладная механика твёрдого деформируемого тела, том II, “Наука” , М. , 1978.

7. Качурин В.К. Сборник задач по сопротивлению материалов, “Наука”, М.,1970.

8. Миролюбов И.Н. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов, “Высшая школа”, М., 1967.