4.2. Построение графиков параметрически заданных функций

Пусть заданы функции x=(t), y=(t), t(, ). Если при этом x=(t) на интервале (, ) имеет обратную функцию t= ^-1(x), то определена новая функция y(x)=( ^-1(x)), называемая функцией, заданной параметрически.

Чтобы построить график функции, заданной параметрически, необходимо:

1. Определить t как дискретную переменную.

2. Задать переменные х и у как функции переменной t.

3. Щелкнуть мышью в свободном месте. Выбрать из меню «Графика» XYPlot (Декартов график).

4. В появившемся шаблоне напечатать х(t) в среднем поле по оси абсцисс, напечатать y(t) в среднем поле по оси ординат.

5. Щелкнуть мышью вне графика.

Пример 4. Построим график функции, заданной параметрически соотношениями x=(t+2)³ +10, y=1.5 t ².

Решение.

Выведем таблицу значений параметра t и таблицы соответствующих значений х(t) и y(t):

Пример 5. Построим график функции, заданной параметрически соотношениями x=а cos t, y=b sin t, придавая а и b различные значения.

Решение.

1. Пусть а=b=2.

2. Пусть а=5, b=3.

3. Пусть а=, b=.

График параметрически заданной функции можно форматировать так же, как и график явно заданной функции.

4.3. Задания для самостоятельного решения

1. Построить графики явно заданных функций (1) (на различных чертежах);

2. Построить графики параметрически заданных функций (2):

	(1)	(2)
1.	а) ; б) .
2.	а) ; б) .
3.	а) ; б).
4.	а) ; б) .
5.	а) ; б).
6.	а) ; б)
7.	а) ; б).
8.	а) ; б).
9.	а) ; б).
10.	а) ; б).
11.	а); б)	,
12.	а) ; б)	,
13.	а) ; б)	,
14.	а) ; б)	,
15.	а) ; б)	,
16.	а) ; б)	,
17.	а); б)	,
18.	а) ; б)	,
19.	а) ; б)	,
20.	а) ; б)	,

3*. Построить: а) циклоиду , б) астроиду, придавая различные значенияа.

Лабораторная работа № 5 Тема: Построение графиков в полярной системе координат

Цель работы: Научиться строить графики функций в полярной системе координат.

5.1. Основные теоретические положения

Говорят, что на плоскости задана полярная система координат, если заданы:

-некоторая точка О, называемая полюсом,

-некоторый луч и, исходящий из точки О называемый полярной осью.

Полярными координатами точки М называются два числа:

>0 - полярный радиус, равный расстоянию от точки О до точки М,

 - полярный угол, равный углу, на который следует повернуть ось и для того, чтобы ее направление совпало с направлением вектора (рис. 1).

рис. 1.

Запись М(,) означает, что точка М имеет полярные координаты  и .

Зададим на плоскости декартову систему координат таким образом, чтобы начало координат совпадало с полюсом полярной системы координат, а направление положительной полуоси абсцисс совпадало с направлением полярной оси (рис. 2).

рис. 2.

Тогда связь между декартовыми координатами точки М(х,у) и полярными координатами этой точки дается формулами:

, ;

, .

Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид или. Оно может быть получено либо непосредственно, исходя из свойств кривой, либо переходом к полярным координатам в уравнении этой кривой в декартовой системе координат.

Пример 1. Построим кривую - спираль Архимеда.

Решение. Будем придавать  значения от 0 до с шагом. Составим таблицу значений и  (для вычисления значений  можно использовать возможности MathCAD):

j	0
r	0	1.178	2.356	3.534	4.712	5.89	7.069	8.247	9.425

j
r	10.603	11.781	12.959	14.137	15.315	16.493	17.671	18.85

Фиксируем на плоскости точку О и проводим полярную ось и . Выберем также единичный отрезок.

Значению =0 соответствует =0, т.е. первая точка кривой – точка О. Далее проводим из точки О луч под углом к полярной оси и отмечаем на этом луче точку на расстоянии 1.178 от начала координат. Затем проводим луч под углом и отмечаем точку на расстоянии 2.356, и т.д. Соединив полученные точки в той последовательности, в которой их отмечали, построим кривую.