Задача № 3. Обработка результатов измерений

В процессе изготовления точных деталей для повышения точности определения их действительных размеров используют серию измерений одним и тем же измерительным средством в одних и тех же условиях. При этом возникает задача определения границы доверительного интервала изменения погрешности результатов измерений, абсолютной и относительной погрешности при некотором заданном уровне надежности (доверительной вероятности) определения результата измерения. Причем, возможны два случая: границы доверительного интервала изменения погрешности результатов измерений сравнимы по величине с величиной погрешности используемого измерительного средства, либо значительно меньше ее.

Общий порядок обработки результатов измерений в подобных случаях:

1. Записать результаты измерений a_i;

2. Вычислить среднее значение из n измерений

а =

3. Определить погрешности отдельных измерений

V_i  а  а_i;

4. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений

V_i²;

5. Определить среднюю квадратическую погрешность результата серии измерений

6. Задаться значением надежности  (обычно выбирают одно из так называемых стандартных значений – 0,9; 0,95; 0,99; 0,995; 0,999);

7. Определить коэффициент Стьюдента t_(n) для выбранной надежности  и числа проведенных измерений n (см. табл. 3.1);

8. Найти границы доверительного интервала изменения погрешности результатов измерений

х = t_ (n)S_a

Если эта величина окажется сравнимой с величиной  погрешности прибора, то в качестве границ доверительного интервала следует взять величину

.

9. Записать окончательный результат

X  a  x;

10. Оценить относительную погрешность результата серии измерений

 = .

Таблица 3.1

Значения коэффициентов Стьюдента t_ для различных значений надежности  и числа измерений n

n\	0,5	0,6	0,683	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,995	0,997	0,998	0,999
5	0,74	0,94	1,14	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60	5,60	6.49	7,17	8,61
6	0,73	0,92	1,11	1,48	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	5,40	5,89	6,86
7	0,72	0,91	1,09	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71	4,32	4,82	5,21	5,96
8	0,71	0,90	1,08	1,42	1,90	2,36	3,00	3,50	4,03	4,46	4,79	5,40
9	0,71	0,89	1,07	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36	3,83	4,21	4,50	5,04
10	0,70	0,88	1,06	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25	3,69	4,03	4,30	4,78
11	0,70	0,88	1,05	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17	3,58	3,90	4,14	4,59
12	0,70	0,88	1,05	1,36	1,80	2,20	2,72	3,11	3,50	3,79	4,02	4,49
13	0,69	0,87	1,04	1,36	1,78	2,18	2,68	3,06	3,43	3,71	3,93	4,32
14	0,69	0,87	1,04	1,35	1,77	2,16	2,65	3,01	3,37	3,65	3,85	4,22
15	0,69	0,87	1,04	1,35	1,76	2,14	2,62	2,98	3,33	3,59	3,79	4,14
	0,67	0,84	1,00	1,28	1,65	1,96	2,33	2,58	2,81	3,00	3,09	3,29

Примеры

1. Микрометром было сделано 5 замеров диаметра цилиндра а_i

14,85; 14,80; 14,84; 14,81; 14,79.

Цена деления микрометра 0,01 мм. Определить диаметр цилиндра с надежностью   0,95.

Решение

Для первых пяти измерений определим среднеарифметическое значение и границы доверительного интервала. Для удобства расчетов в качестве а_о выберем произвольное число, удобное для расчетов:

а_о  14,80 мм

Определим разности (а_i  а_о) и квадраты этих разностей:

i	аi, мм	аi  ао, мм	(аi  ао)2, мм2
1	14, 85	0, 05	0, 0025
2	14, 80	0, 00	0, 0000
3	14, 84	0, 04	0, 0016
4	14, 81	0, 01	0, 0001
5	14, 79	0, 01	0, 0001
		0, 09	0, 0043

Найдем среднее значение а размера:

, мм;

а  а_о = 14,82 – 14,80 = 0, 02 мм;

(а  а_о)² = 0, 02² = 0,0004 мм

Найдем среднеквадратичное отклонение размеров S_а:

мм²

мм.

Для надежности   0,95 и n  5 t_  2,78.

Абсолютная погрешность измерения х

х  t_ S_а  2,78  0,0116  0,0322  0,03 мм.

Относительная погрешность измерения

_а = .

Результат измерения можно представить в виде

(14,82  0,03 мм  а  14,82  0,03 мм,

или а  14,82  0,03 мм.

2. Определить, сколько деталей из всей партии запуска N= 1220 деталей следует подвергнуть повторному контролю в порядке случайной выборки, чтобы с вероятностью= 0,95 предельная ошибка (абсолютная погрешность) не превышала 3% от среднего размера деталейx= 42 мм.

Коэффициент вариации среднего размера по данным предыдущих проверок составляет V_= 6% = 0,06.

Решение:

Абсолютная погрешность измерения

_Х=х= 0,0342 = 1,26 мм.

где = 3% – установленная относительная погрешность измерения.

Среднее квадратичное отклонение:

S_X=V_x= 0,0642 = 2,52 мм.

Оптимальная численность выборки для повторного отбора:

n = N t_(N)² S_X ²/(²_XN + t² S_X ²) =

= 12202²2,52²/(1,26²1220 + 2²2,52²) = 15,8

где: t_(N) –коэффициент Стьюдента t_(n) для выбранного уровня надежности (вероятности)  и числа проведенных измерений n, в нашем случае количество деталей настолько велико, что приближенно можно считать, что оно близко к бесконечности (см. табл. 3.1):

t_(N) = t_(1220)t_() = 1,96

Таким образом необходимо обследовать 16 деталей.