5. Схема Бернулли

5.1. Формула Бернулли

Пусть проводиться серия испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Такие испытания называют независимыми относительно события.

Событие в различных испытаниях может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же. Будем рассматривать такие испытания, в которых событиеимеетодну и ту же вероятность.

Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» (событие произошло) и «неудача» (событиене произошло), при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью, «неудача» — с вероятностью.

Вероятность того, что событие произойдет ровнораз изиспытаний, причемне важно, в какой последовательности появиться событие , будет равна:

–формула Бернулли.

Число успехов , которому при заданномсоответствует максимальная биномиальная вероятность, называетсянаиболее вероятным (наивероятнейшим) числом успехов.

В испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеханаиболее вероятным числом успехов является

- единственное число , если число не целое;

- два числа и, если числоцелое.

удобно искать из системы неравенств: .

Пример. Баскетболист забрасывает мяч в корзину с вероятностью 0,6. Произведено 8 бросков. Найти вероятность того, что при этом будет ровно 2 попадания. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.

Решение. Проводится серия из восьми испытаний с двумя исходами в каждом: попадание («успех») и промах («неудача»). Вероятность «успеха» при каждом испытании одна и та же: 0,6. Будем считать испытания независимыми. Требуется найти вероятность события ={в серии из 8 испытаний «успех» произошёл 2 раза}. Имеем: , , .

По формуле Бернулли: .

Найдём наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность. Составляем систему неравенств:

, , тогда .

Соответствующая вероятность:

Итак, вероятнее всего из 8 бросков баскетболист попадёт 5 раз, причём вероятность этого события равна 0,28.

5.2. Теорема Пуассона для схемы Бернулли

Предположим, нам нужна вероятность получить десять успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Вероятность этого события по формуле Бернулли будет равна:

,

и вычисление здесь весьма проблематично.

Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха. Термин «большое число» должен означает, что . При этоми вероятность успеха не меняется внутри одной серии испытаний. Обозначим через – число успехов в - ной серии испытаний.

Теорема Пуассона. Пусть ,так, что. Тогда для любого числавероятность получитьуспехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха стремится к величине .

–формула Пуассона.

Пользуясь теоремой Пуассона, можно приближенно посчитать вероятность получить десять успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003, с вычисления которой мы начали. Поскольку «велико», а= 0,003 «мало», то, взяв, можно написать приближенное равенство:

.

Замечание. Для закона Пуассона наиболее вероятное число успехов равно .

Пример. Завод «Золотая балка» (Крым) отправил в Москву 1500 бутылок вина «Каберне». Вероятность того, что в пути бутылка может разбиться, равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет разбито не более 4-х бутылок.

Решение. Событие ={в пути будет разбито не более 4-х бутылок}.

Искомая вероятность представляет собой сумму вероятностей:

, то есть вероятностей того, что будет разбита одна бутылка, две бутылки, три бутылки, четыре бутылки и т.д.

Так как ,,, то вероятность событиянайдем, используя формулу Пуассона:

и т.д.

.