3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

3.1. Теорема сложения

Пусть - два случайных события.

Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий или вероятность появления хотя бы одного из них равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:

.

Для несовместных событий , поэтому теорема примет вид:

.

Для произвольного числа слагаемых:

;

Следствие.

1. Очевидно, что - вероятность суммы событий не превышает сумму вероятностей этих событий.

2. , если события попарно несовместны.

3. Если события образуют полную группу, то есть , то.

3.2. Условная вероятность

Пусть - совместные события.

Условной вероятностью события при условии, что событие произошло, называется число, определяемое равенством. Здесьи- вероятности, причём.

События называютсязависимыми, то есть вероятность события зависит от того, произошло или нет событие.

3.3. Теорема умножения

Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

.

Для трех слагаемых ;

для последовательности событий

.

В последней формуле вероятность произведения событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных событий, причем вероятность каждогопоследующего вычисляется в предположении, что все предыдущие уже произошли.

3.4. Независимые события

События называютсянезависимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, то есть

.

Для независимых событий их условные вероятности равны их безусловным вероятностям: и.

События называютсяпопарно-независимыми, если независимы любые два из них.

События независимы в совокупности, если они попарно независимы и независимы любые комбинации этих событий.

Для независимых событий .

Если события независимы в совокупности, то они попарно независимы, то есть любые два события, независимы. Обратное неверно.

3.5. Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности

Пусть события независимы в совокупности, тогда и противоположные им событиятакже независимы в совокупности.

Обозначим вероятности событий :

,

вероятности противоположных событий:

.

Рассмотрим событие A:

, тогда

.

Рассмотрим противоположное событие

, .

Вероятность противоположного события:

.

Так как , то вероятность исходного событиябудет равна.

Вывод: вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий, независимых в совокупности, будет равна:

.

Пример. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост разрушен, если на него сбросить 4 бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,5; 0,6.

Решение. Событие . Рассмотрим противоположное событие. Так как мост не будет разрушен, если на него не попадет ни одна бомба, то вероятность событиябудет равна.

Так как по условию вероятности попадания бомб на мост равны: ,

то вероятности не попадания каждой бомбы на мост равны соответственно:

Тогда .

Вероятность события :.