Введение

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. При этом изучаемые явления рассматриваются в абстрактной форме, независимо от их конкретной природы. То есть теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их упрощенные схемы – математические модели. Предметом теории вероятностей являются математические модели случайных явлений. При этом под случайным явлением понимают явление, предсказать исход которого невозможно (при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта оно протекает каждый раз по-иному). Примеры случайных явлений: выпадение герба при подбрасывании монеты, выигрыш по купленному лотерейному билету, результат измерения случайной величины, длительность работы телевизора и т.п.

Цель теории вероятностей – осуществление прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений, контроль их, ограничение сферы действия случайности. В настоящее время нет практически ни одной области науки, в которой в той или иной степени не применялись бы вероятностные методы, поэтому в данном учебном пособии рассмотрены все основные методы вычисления вероятности событий и приведено множество примеров, помогающих студенту усвоить понятия теории вероятностей.

Теория вероятностей

1. Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость

Вероятность есть степень достоверности и отличается от нее как часть от целого. (Ars Conjectandi, 1713 г.) Якоб Бернулли.

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных событиях, экспериментах (явлениях). Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать заранее — основное, что отличает случайное явление от детерминированного.

Не все случайные явления (события) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях и обладают свойством «статистической устойчивости»: «если — некоторое событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента, то долячисла экспериментов, в которых данное событие произошло, стремиться с ростом общего числа экспериментовn к некоторому числу ». Это число служит объективной характеристикой «степени возможности», с которой может произойти событиеА.

В дальнейшем мы будем говорить лишь о случайных событиях, обладающих свойством статистической устойчивости.

1.1. Пространство элементарных исходов. Алгебра событий

Пространством элементарных исходов («омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называютэлементарными исходами и обозначают буквой («омега») с индексами или без.

Событиями мы будем называть подмножества множества . Говорят, что в результате экспериментапроизошло событие А  , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множествоА. События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита: .

Пример 1. Один раз подбрасывается одна игральная кость (кубик). Самый разумный способ задать пространство элементарных исходов таков:

= {1,2,3,4,5,6}, элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.

Примеры событий: A = {1,2} — выпало одно или два очка; A = {1,3,5} — выпало нечетное число очков.

Пример 2. Два раза подбрасывается одна игральная кость (кубик). Или, что, то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Здесь самый разумный способ задать пространство элементарных исходов — считать результатом эксперимента упорядоченную пару чисел , в которой и – число очков, выпавших первый раз, – число очков, выпавших второй раз. = .

Примеры событий:

A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} — при первом подбрасывании выпало одно очко;

A = {(1,1),(2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} — при двух подбрасываниях выпало одинаковое число очков.

Пример 3. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счетного числа исходов:

= {г, рг, ррг, рррг, ррррг, рррррг, …} , где р и г обозначают выпадение решки и герба при одном подбрасывании, соответственно.

Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, это единственное событие, включающее все без исключения элементарные исходы — событие (пространство элементарных исходов).

Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, то есть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» ). Заметим, что всегда   .

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если не одно из них не является объективно более возможным, чем другие, т.е. все события имеют равные «шансы». Например, выпадение герба или решки при бросании монеты – равновозможные события.

Пусть и — события.

Объединением событий и называется событие, состоящее в том, что произошло либо , либо, либо оба события одновременно. есть множество, содержащее как элементарные исходы, входящие в , так и элементарные исходы, входящие в.

Произведением событий и называется событие , состоящее в том, что произошли оба события и одновременно. То есть есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие одновременно и в, и в .

Дополнением событиядо называется событие, состоящее в том, что произошло событие , но не произошлоВ. То есть есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в, но не входящие в.

Противоположным (или дополнительным) к событию называется событие, состоящее в том, что событиев результате эксперимента не произошло. Иначе говоря,есть множество, содержащее элементарные исходы, не входящие в.

События и называются несовместными, если =.

События А₁, А₂ , … А_n называются попарно несовместными, если для любых ,, события и несовместны.

Замечание. Понятия суммы и произведения событий переносятся на бесконечные последовательности событий:

, .

Свойства алгебры событий

1. – коммутативность

2. – ассоциативность

3. – дистрибутивность

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

Пример. По мишени производится три выстрела. попадание при -том выстреле, 1, 2, 3.

Представить в виде сумм, произведений или сумм произведений событий иследующие события:

все три попадания;

все три промаха;

хотя бы одно попадание;

хотя бы один промах;

не менее двух попаданий;

не более одного попадания.

Решение. Противоположным событию будет событиепромах при -том выстреле, 1, 2, 3. Тогда,

;

;

;

;

;

;