u_course

Покажем, что u есть элемент, реализующий минимум функционала Φ

ˆ

на H.

Замечание 2. Из анализа известно, что если lim vm = v в B (B -

m→∞

банахово пространство), то lim kvmkB = kvkB. Из сильной сходимости vm

m→∞

кv в H следует слабая сходимость vm к v.

Всилу замечания 2

Ясно, что um → u в L2(Ω) слабо:

В силу (14.5), ( 14.6)

Φ(um) = kumk21 + 2(f, um) → Φ(u) = kuk21 + 2(f, u), m → ∞.

C другой стороны Φ(um) → d, m → ∞. В силу единственности предела числовой последовательности имеет место равенство Φ(u) = d.

Докажем, что элемент, реализующий минимум функционала Φ(u) единственный.

Пусть v, w - два элемента, реализующие минимум функционала Φ(u):

Φ(v) = Φ(w) = d и v 6= w. Рассмотрим последовательность v, w, v, w, . . . .

81

ˆ

Данная последовательность минимизирует функционал Φ на H. По доказанному выше она должна сходится к элементу, реализующему минимум функционала, а по построению она расходится. Следовательно, v = w = u. Теорема 1 доказана.

Далее мы получим необходимое условие минимума функционала. Пусть

ˆ 1 ˆ

H H (Ω) и w - произвольный элемент из H, u - элемент, реализую-

ˆ

щий минимум функционала Φ на H. Рассмотрим элемент u + tw, где t

-действительная переменная, и рассмотрим функцию

F (t) = Φ(u + tw) = ((u + tw, u + tw)) + 2(f, u + tw) =

kuk21 + t2kwk21 + 2t((u, w)) + 2(f, u) + 2t(f, w) =

Φ(u) + 2t[((u, w)) + (f, w)] + t2kwk21].

Функция F (t) принимает минимальное значение при t = 0, так как

F (0) = Φ(u) ≤ F (t) t E1.

Следовательно, F 0(t)|t=0 = 0. Отсюда 0 = 2[((u, w)) + (f, w)] и

Соотношение (14.7) - необходимое условие, которому удовлетворяет эле-

ˆ

мент, реализующий минимум функционала Φ на H.

ˆ

Cвязь элемента, реализующего минимум функционала Φ на H, с решением краевой задачи для эллиптического уравнения.

Рассмотрим краевую задачу

Относительно коэффициентов уравнения (14.8) предположим, что

82

◦

то есть u - обобщенное решение класса H1 (Ω) задачи (14.8), (14.9) (см. определение обобщенного решения первой краевой задачи (12.6)).

Рассмотрим краевое условие

∂u

= 0 (14.14)

∂n ∂Ω

и задачу 14.8), (14.14). Предположим выполнение условий (14.10) и

Рассмотрим ˆ 1 и скалярное произведение

H = H (Ω)

Z

((u, v)) = (k(x)rurv + auv) dx,

Ω

эквивалентное в силу (14.10), (14.15) исходному скалярному произведению в H1(Ω).

Элемент u, реализующий минимум функционала Φ(u) на H1(Ω), есть обощенное решение задачи (14.8), (14.14) в классе H1(Ω) (в силу (14.7)).

Доказаны:

83

◦

ˆ 1

Теорема 2. Пусть H =H (Ω) и выполняются условия (14.10), (14.11).

ˆ

Тогда элемент u, реализующий минимум функционала Φ(u) на H со скалярным произведением (14.12) есть обобщенное решение задачи (14.8), (14.9).

ˆ 1

Теорема 3. Пусть H = H (Ω) и выполняются условия (14.10), (14.15).

ˆ

Тогда элемент u, реализующий минимум функционала Φ(u) на H есть обобщенное решение задачи (14.8), (14.14) в классе H1(Ω).

15. Метод Ритца

Мы рассмотрим метод Ритца - конструктивный метод нахождения элементов, реализующих минимум функционала

порожденная скалярным произведением ((·, ·)) и эквивалентная исходной

норме в H1(Ω).

k

X

{ }∞ ˆ { | }

Пусть wj j=1 - базис в H и Xk = u u = ciwi , k - мерное про-

i=1

странство, натянутое на первые k элементов базиса {wj}∞j=1. Ясно, что

{ }∞ ˆ 0

Xk Xk+1. Так как wj j=1 - базис в H, то Xk H и функционал Φ определен на Xk. По теореме 1 п.14. существует элемент vk Xk, реализующий минимум функционала Φ(u) на Xk. Ясно, что

Φ(vk) ≤ Φ(u) u Xk.

Запишем необходимое условие, которому удовлетворяет элемент, реализующий минимум функционала на Xk: ((vk, v)) + (f, v) = 0 v Xk, в частности,

84

k

Однозначная разрешимость системы (15.3) доказана нами в п.13, см.

называют последовательностью Ритца.

Покажем, что последовательность Ритца - минимизирующая последо-

ˆ

вательность функционала Φ на H. Так как vk - элемент, реализующий минимум функционала Φ на Xk, и имеет место следующая схема

Соотношения (15.5) имеют место в силу свойства точной нижней грани числового множества: если E и G - два ограниченных снизу числовых множества и E G, то inf E ≥ inf G.

Зафиксируем ε > 0 и найдем число N = N(ε) и элемент vε XN

N(ε)

(vε = X c(iε)wi) такой, что

i=1

85

Имеют место следующие соотношения

Φ(vε) = Φ(u + vε − u) = ((u + (vε − u), u + (vε − u))) + 2(f, u + (vε − u)) =

kuk21 + kvε − uk21 + 2((u, vε − u)) + 2(f, u) + 2(f, vε − u) =

= Φ(u) + Φ(vε − u) + 2((u, vε − u)) ≤

d + Φ(vε − u) + 2((u, vε − u)) ≤

d + kvε − uk21 + 2kfk · kvε − uk + 2kuk1 · kvε − uk1 ≤

≤ d + kvε − uk21 + 2kfk · kvε − uk + 2kuk1 · kvε − uk1 ≤

Здесь C1 = 1 + 2Ckfk + 2kuk1.

Через vN(ε) обозначим элемент, реализующий минимум функционала на

и, следовательно, последовательность Ритца {vk}∞k=1 минимизирующая.

86

- базис в H. Тогда существует (единственная) последовательность Ритца

ˆ { }∞

функционала Φ(u) на H по базису wi i=1. Эта последовательность явля-

ˆ

ется минимизирующей для функционала Φ(u) на H.

Из теоремы 1 п.14 и теоремы 1 следует

Теорема 2. При выполнении условий теоремы 1 последовательность Ритца для функционала Φ(u), построенная по базису {wi}∞i=1, сходится к

ˆ ˆ

элементу u H, реализующему минимум на H функционала Φ(u), сильно в H1(Ω).

16. Параболическое уравнение

равных нулю вблизи гиперповерхности ST }.

87

◦

Определение. Функция u H1ST (QT ) называется обобщенным решением задачи (16.1) - (16.3) класса H1(QT ), если выполняются условие (16.3)

и

Для доказательcтва однозначной разрешимости задачи (16.1) - (16.3) воспользуемся методом Галеркина. Так же как и в случае эллиптических уравнений мы должны построить галеркинские приближения, получить априорные оценки, перейти к пределу, доказать, что предел есть решение

задачи, доказать единственность этого решения.

◦

Пусть {wj(x)}∞j=1 - базис в H1 (Ω) ортонормированный в L2(Ω).

Галеркинские приближения

m

Определение. Функция um(t, x) = X c(km)(t)wk(x) называется m-ым

k=1

галеркинским приближением решения задачи (16.1) - (16.3), если c(km)(t)

- непрерывно дифференцируемые функции на [0, T ] (c(km)(t) C1[0, T ]) и являются решением следующей задачи:

Задача (16.7), (16.8) есть задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Действитель-

но,

Z

f(x)wj(x) dx = fj,

Ω

88

Z

krum(t, x)rwj(x) dx =

Из теории обыкновенных дифференциальных [17] уравнений следует, что задача (16.9), (16.8) имеет единственное решение класса C1[0, T ] (c(jm)(t)

C1[0, T ], j = 1, . . . m). Априорные оценки

Умножим (16.7) на c(jm)(t) и просуммируем результат по j от 1 до m.

89

Вследствие равенства u(m)(0) нулю

≤ (неравенство Шварца) ≤

≤ (неравенство Коши с ε : a, b |ab| ≤ 12 (εa2 + 1ε b2) ε > 0) ≤

Положив ε = C1 , получим неравенство

Положив в (16.10) t = T и отбросив первый неотрицательный член в левой части последнего неравенства, приходим к неравенству

где C1 = C2kfk2T .

Отбрасывая второй член в левой части неравенства(16.10) и интегрируя полученное неравенство по t от 0 до T , получим, что

Неравенства (16.11), (16.12) дают равномерную по m оценку в L2(QT ) функций u(m), u(xmi ), i = 1, . . . , n.

90