u_course
.pdf
(17.1) - (17.3), (17.24) класса H1(QT ). В силу теоремы единственности ue = u
почти всюду в QT , что противоречит (17.53). Доказана
Теорема 1. Пусть выполняются условия (17.1’). Тогда существует един-
ˆ 1
ственное решение u H0 (QT ) задачи (17.1) - (17.3), (17.24). Последовательность галеркинских приближений {um}∞m=1 сходится к u слабо в
H1(QT ).
Обобщенное решение класса H2(QT )
Выше мы доказали однозначную разрешимость задачи (17.1) - (17.4) в классе H1(QT ). Докажем, что при более гладких входных данных полученное обобщенное решение имеет производные utt, utxi , принадлежащие классу L2(QT ).
Предположим, что входные данные удовлетворяют следующим условиям:
k C1(Ω), k ≥ k0 > 0, |
|
|
|
(17.54) |
||
a C(Ω), |
||||||
|
|
|
|
|
|
(17.55) |
f, ft C(Ω), |
◦ |
|||||
◦ |
|
|||||
ϕ H2(Ω)∩ H1 (Ω), |
ψ H1 (Ω). |
(17.56) |
||||
Имеет место теорема
Теорема 2. пусть выполняются условия (17.54) - (17.56). Тогда обобщенное решение u класса H1(QT ) задачи (17.1) - (17.3), (17.24) имеет производные utt, utxi , i = 1, . . . , n, из L2(QT ). Последовательность галеркинских приближений {um}∞m=1 −→ u слабо в H1(QT ), umtt −→ utt, umtxi −→ utxi слабо в L2(QT ).
Доказательство. Возьмём базис {wj}∞j=1 из элементов
◦
wj H2(Ω)∩ H1 (Ω), ортонормированный в L2(Ω). Разложим функции ϕ,
ψ по этому базису:
∞ |
∞ |
|
Xj |
X |
(17.57) |
ϕ(x) = αjwj(x), |
ψ(x) = βjwj(x). |
|
=1 |
j=1 |
|
В силу (17.56) при m → 0 |
|
|
m |
m |
|
X |
Xj |
|
αjwj → ϕ в H2(Ω), |
βjwj → ψ в H1(Ω). |
(17.58) |
j=1 |
=1 |
|
111
Функции cmj (t) галеркинских приближений um(t, x) по базису {wj}∞j=1 находим как решение системы уравнений (17.19) с начальными данными
cjm(0) = αj, |
cjm(0) |
|
(17.59) |
|
|
= βj, |
j = 1, . . . , m. |
||
|
||||
|
dt |
|
|
|
Так как (см. (17.58), (17.59))
mm
XX
αjwj = cmj (0)wj(x) = um(0),
j=1 |
j=1 |
|
|
m |
m |
cjm(0) |
|
X |
Xj |
|
wj(x) = utm(0) |
βjwj = |
|
|
|
j=1 |
=1 |
dt |
|
|
|
||
и um(0) → ϕ сильно в H2(Ω), umt (0) → ψ сильно в H1(Ω) при m → ∞, то существует постоянная B такая, что при всех m
k um(0)k + krum(0)k + krutm(0)k + kutm(0)k ≤ B. |
(17.60) |
||||||||||
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
∂um(0, x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ω |
X |
|
|
f |
|
|
|
C1[0, T ] |
cm(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В (17.58) krum(0)k = Z |
i=1 |
∂xi |
|
dx |
|
|
|
|
|||
Так как выполняются условия |
(17.55), |
то |
|
j |
|
|
и j |
|
|||
C3[0, T ], j = 1, . . . , m.
Продифференцируем (17.19) по t, умножим результат дифференциро-
d2cm(t)
вания на j 2 и просуммируем полученные равенства по j от 1 до m. dt
Получим равенство
Z
(umttt(t), umtt (t))+ [krumt (t, x)·rumtt (t, x)+aumt (t, x)umtt (t, x)]dx = (ft(t), umtt (t)).
Ω
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.61) |
||||
Имеют место следующие соотношения: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∂ |
|||
|
|
(utttm (t), uttm(t)) = |
|
|
|
kuttm(t)k2, |
|||||||||
Z |
|
2 |
∂t |
||||||||||||
k(x)rutm(t, x) · ruttm(t, x)dx = 2 ∂t Z |
k(x)|rut(t, x)|2 dx, |
||||||||||||||
|
|
1 ∂ |
|
|
|
|
|
||||||||
Ω |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
a(x)(utm(t, x))2 dx. (17.62) |
|||||
|
autm(t, x)uttm(t, x) = 2 ∂t Z |
||||||||||||||
|
|
|
|
1 ∂ |
|
|
|
|
|
||||||
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
112
Интегрируя (17.61) на отрезке [0, t] и учитывая соотношения (17.62), (17.54), (17.55) получим неравенства
Z
|
kuttm(t)k2, +k0 |
k(x)|rut(t, x)|2 dx ≤ kuttm(0)k2 + |
|
|
|
Ω |
|
|
+ Z k(x)|rut(0, x)|2 dx + Z |a(x)|(utm(t, x))2 dx + |
||
+ Z |
Ω |
|
Ω |
|a(x)|(utm(0, x))2 dx + 2 ZZ |
ft(θ, x)uttm(θ, x) dxdθ ≤ |
||
Ω |
|
Qt |
|
≤ kumtt (0)k2 + Kkrumt (0)k2 + Akumt (t)k2 + Akumt (0)k2 +
+2kftkL2(QT ) · kumtt kL2(QT ) ≤ kumtt (0)k2 + Kkrumt (0)k2 + +Akumt (t)k2 + Akumt (0)k2 + εkumtt k2L2(QT ) + 1εkftk2L2(QT ). (17.63)
В (17.63) постоянные K, A, определяются равенствами
|
|
|
|
Ω |
|
A |
= mΩ | |
| |
. |
||
|
|
|
|
K = max k(x); |
ax a(x) |
||||||
Докажем |
ограниченность множества |
{k |
um(0) |
∞ |
. Для этого умножим |
||||||
|
d |
2 |
|
|
|
tt |
k}m=1 |
|
|
||
(17.19) на |
|
|
cjm(t), просуммируем полученные равенства по j от 1 до m и |
||||||||
|
|
2 |
|||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||
полученное соотношение рассмотрим при t = 0. Получим равенство |
|||||||||||
|
|
|
|
kuttm(0)k2 + Z |
k(x)rum(0, x) · ruttm(0, x)dx+ |
||||||
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
Z
+a(x)um(0, x)umtt (0, x) dx = (f(0), umtt (0)).
Ω
Проинтегрируем по частям второй член левой части равенства. Получим
113
соотношения
|
kuttm(0)k2 = Z |
|
n |
∂um |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
i=1 kxi (x) |
|
(0, x)uttm(0, x) dx + |
|
||||||||||||
|
∂xi |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Ω |
X |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
+ k(x)Δum(0, x)uttm(0, x) dx + |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
um(0)k · kuttm(0)k} + |
|
|||||
(f(0), uttm(0)) ≤ C1{krum(0)k · kuttm(0)k + k |
|
|||||||||||||||
|
|
ε |
|
|
C1 |
|
|
|
|
|||||||
+kf(0)k · kuttm(0)k ≤ |
|
|
kuttm(0)k2 + |
|
|
(krum(0)k + k um(0)k)2 + |
|
|||||||||
2 |
2ε |
|
||||||||||||||
|
|
|
ε |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
kuttm(0)k2 |
+ |
|
|
kf(0k2 ≤ εkuttm(0)k2 + C(ε).(17.64) |
||||||||
|
|
|
2 |
2ε |
||||||||||||
В (17.64) постоянная C(ε) не зависит от m. |
|
|
|
|||||||||||||
Из (17.64) при фиксированном ε, 0 < ε < 1, получаем оценку |
|
|||||||||||||||
|
kuttm(0)k2 ≤ |
|
C(ε) |
|
|
|
(17.65) |
|||||||||
|
|
|
= C1 |
(ε). |
||||||||||||
|
1 − ε |
|||||||||||||||
Проинтегрируем (17.63) по t от 0 до T . |
|
|
|
|
||||||||||||
Учитывая (17.60), (17.65) получим неравенство |
|
|||||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
kuttm(t)k2dt + ZZ |rutm(t, x)| dx ≤ C2(ε). |
|
||||||||||||||
Откуда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
kuttmkL2(QT ) + kutxmi kL2(QT ) ≤ C3, |
|
i = 1, . . . , n, |
(17.66) |
|||||||||||||
где постоянная C3 не зависит от m.
Оценка (17.66) наряду с оценкой ограниченности последовательности галеркинских приближений {um}∞m=1 в H1(QT ) гарантирует существование подпоследовательности {uγ} последовательности {um}∞m=1 такой, что
uγ → u |
слабо в |
H1(QT ), |
|
uttγ → utt, utxγ i → utxi |
слабо в |
L2(QT ), |
i = 1, . . . , n. |
Таким образом, u(t, x) - обобщенное решение задачи (17.1) - (17.4), удовлетворяющее условиям
ˆ 1 |
(QT ), utt L2(QT ), utxi |
L2(QT ), i = 1, . . . , n. |
u H0 |
114
В силу единственности обобщенного решения задачи (17.1) - (17.4) в классе
H1(QT ) и вся последовательность {um}∞m=1 сходится к u при m → ∞:
um → u |
слабо в |
H1(QT ), |
uttm → utt, utxmi → utxi |
слабо в |
L2(QT ), i = 1, . . . , n. |
Теорема 2 доказана. |
|
|
18. Некоторые обобщения
Рассмотрим гиперболическое уравнение
n |
∂xi |
aij(t, x) |
∂xj |
n |
utt −i,j=1 |
+ i=1 bi(t, x)uxi (t, x)+c(t, x)u(t, x) = f(t, x), |
|||
X |
∂ |
|
∂u(t, x) |
X |
(18.1) частным случаем которого является рассмотренное ранее уравнение (17.1).
Предположим выполнение следующих условий:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν|ξ|2 ≤ |
X |
|
|
|
|
||||
aij(t, x) = aji(t, x), |
aij(t, x)ξiξj ≤ µ|ξ|2, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i,j=1 |
|
|
|
|
ν > 0, ξ = (ξ1, . . . , ξn) En, |
| |
(t, x) QT ; |
|
|||||||||||||
QT |
∂t |
ij |
|
|
QT |
∂xi |
|
|
QT |
i| |
QT | | ≤ |
d. |
||||
max |
|
∂ a |
|
|
+ max |
|
∂b |
|
+ max b |
|
+ max c |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18.2)
(18.3)
Определение. Обобщенным решением класса H1(QT ) задачи (18.1), (17.2) - (17.4) называется функция u H01(QT ) равная ϕ(x) при t = 0 и
удовлетворяющая тождеству
ZZ |
m |
m |
|
|
[−utvt + |
X |
X |
|
|
aijuxi vxj + |
biuxi v + cvu] dxdt− |
|||
QT |
i,j=1 |
i |
|
|
|
|
(18.4) |
||
− Z |
ψ(x)v(0, x) dx = ZZ |
|||
fvdxdt, |
||||
Ω |
|
QT |
|
|
верному при любых v |
ˆ 1 |
|
|
|
H0 (QT ). |
|
|
||
115
Имеет место следующая теорема [10]
Теорема 1. Пусть выполняются соотношения (18.2), (18.3). Тогда задача (18.1), (17.2), (17.3), (17.22) имеет единственное обобщенное решение в классе H1(QT ).
О повышении гладкости обобщенных решений краевых задач для гиперболических уравнений см. в [10], [14].
116
Список литературы
[1]Андреев В.К., Белов Ю.Я., Лазарева В.Н., Шипина Т.Н. Уравнения математической физики (Учебное пособие).- Красноярск: Краснояр. гос.ун-т. 2005.
[2]Бари Н.К. Тригонометрические ряды. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1961.
[3]Белов Ю.Я., Кантор С.А. Метод слабой аппроксимации -Красноярск: КГУ.- 1999.
[4]Годунов С.К. Уравнения математической физики - М. : Наука.1979.
[5]Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа// Успехи. мат.наук. 1962. Т.17. N 3. - C.3-146.
[6]Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ – Спб.: Невский диалект, БХВ-Петербург. 2004.
[7]Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики, Физматгиз, 1962.
[8]Кудрявцев Л.Д.Курс математического анализа: В 3т. -М.: Дрофа. 2003-2004.
[9]Курош А.Г. Курс высшей математики. - М.:Лань. Физматкнига. 2008.
[10]Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики - М.: Наука. 1988.
[11]Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.: Наука. 1967.
[12]Лионс Ж.-Л.Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.
- Едиториал УРРС, 2002.
[13]Люстерник Л.А. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. – М.: Высшая школа, 1982.
117
[14]Михайлов В.П. Лекции по уравнениям математической физики – М.: Физматлит. 2001.
[15]Михлин С.Г. Курс математической физики. – Санкт-Петербург: Лань. 2002.
[16]Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.2. – М.:Наука. 1991.
[17]Понтрягин Л.С.Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука. 1982.
[18]Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: СО АН СССР. 1962.
[19]Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
- М.: МГУ. 2004.
[20]Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: ФИЗМАТЛИТ 2007.
[21]Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. - М.: Мир. 1968.
118