2012 МОК КазГАСА Математика – 1 Сыдыкова Д.К.

Казахская Головная Архитектурно-Строительная Академия Активный раздаточный материал Математика -1 ФОЕНП Кредит 3 1 семестр Лекция №5. «Плоскость» 2012-2013 уч.год К.т.н., ассоциированный профессор Сыдыкова Дамелькан Какеновна

Краткое содержание лекций

1. Векторное и нормальное уравнение плоскости

Пусть в пространстве задана система прямоугольных декартовых координат Oxyz и некоторая плоскость Р₁ Возьмем произвольную точку , где , и - радиус-вектор. Проекция радиус-вектора на направление вектора пр_n.

Из свойства скалярного произведения имеем пр_n, поэтому (1)

Обозначим через углы, образованные единичным вектором с ортами . Тогда

Кроме того, известно, что

И из (1) формулы, получим (2)

(2) – нормальное уравнение плоскости в координатной форме.

2. Общее уравнение плоскости.

Уравнение любой плоскости приводится к виду (3) где

Коэффициенты является координатами вектора , перпендикулярного к плоскости, заданной уравнением. Он называется нормальным вектором этой плоскости и определяет ориентацию плоскости в пространстве относительно системы координат.

Рассмотрим, в чем заключается особенность расположения плоскости, заданной общим уравнением , если некоторые коэффициенты этого уравнения обращаются в нуль.

3. Различные виды уравнения плоскости.

1) Пусть в уравнении плоскости все коэффициенты отличны от нуля.

Перенесем в уравнении член в правую часть

равенства и разделим левую и правую часть полученного

уравнения на - :

эта форма уравнения плоскости называется уравнением плоскости в отрезках

2) Пусть заданы точки и вектор

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной к вектору . Поскольку вектор задан, то уравнение плоскости, очевидно, будет иметь вид (*)

где остается определить из условия, что точка лежит в плоскости: (**)

вычитая почленно (**) из (*)

3) Уравнение плоскости по трем точкам. Если плоскость проходит через точки не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно записать в виде

4. Угол между плоскостями.

1) Для двух плоскостей, заданных уравнениями , , направления перпендикуляров к совпадают с направлениями векторов и . Поэтому угол между плоскостями можно измерять углом между векторами и по формулам:

2) Условие параллельности плоскостей совпадает с условием коллинеарности векторов и :

а условие перпендикулярности плоскостей будет тождественно с условием перпендикулярности векторов и :

3) Определим расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости:

Если ; ;

и то имеем

Задание на СРС:

1. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

(конспект). [1,4]

2. Решить ИДЗ стр. 101 [2 - ИДЗ - 3.1]

Задание на СРСП:

1. Точка пересечения трех плоскостей [5,6]

Контрольные вопросы:

1. Общее уравнение плоскости;

2. Уравнение плоскости в отрезках;

3. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку;

4. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Тесты:

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Ответы: А) ; В) ;

С) ; Д) ; Е) .

2. Определить угол между плоскостями и

Ответы: А) ; В) ; С) ; Д) ; Е) .

3. Определить расстояние от точки до плоскости

Ответы: А) ; В) ; С) ; Д) ; Е) .

Глоссарий

№	Казахский / Русский / Английский
1	Общее уравнение плоскости	.
2	Уравнение плоскости с нормальным вектором.	.
3	Формула косинус угла между плоскостями и с нормальными векторами и
4	Условие перпендикулярности плоскостей	.
5	Условие параллельности плоскостей	.
6	Уравнение плоскости в отрезках	.
7	Нормальное уравнение плоскости.	.

Используемая литература:

Основная:

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.; наука, 2000. –336с.

2. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике, - Минск; Вышэйшая школа, 2002. –304с.

3. Д.К.Сыдыкова. Математика-1. Методическое руководство к выполнению заданий для СРС, Алматы, 2008

4. К. Кабдыкаир. Курс математики. Алматы, 2005.

Дополнительная:

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. –М.Наука, 2001. –176с.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш.шк.; 2006. 4.1. –446с.