Модуль-1 / АРМ 2

2012 МОК КазГАСА Математика 1 Сыдыкова Д.К..

Казахская Головная Архитектурно-Строительная Академия

Активный раздаточный материал

Математика 1 ФОЕНП

Кредит 3

Лекция №2. Обратная матрица. Система линейных уравнений. 1-й семестр

К.т.н., ассоц. профессора Сыдыкова Дамелькан Какеновна 2012-2013 уч. г

Краткое содержание лекции

1.Обратная матрица

Для каждого числа а≠0, существует обратное число а^-1 такое, что произведение а а^-1=1. Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение: Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножение этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

А^-1 А = А А^-1 =Е

Если определитель матрицы отличен от нуля (| А | ≠ 0 ), то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае ( | А | = 0 ) – вырожденной или особенной.

Теорема: (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы) Обратная матрица А^-1 существует (и единственная) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

1. 2. ( А^-1 ) ^-1 = А 3. (А^m ) ^-1 = (А^m ) ^-1 4. (АВ) ^-1 =В^-1 А^-1 5. (А^-1 )¹ = (А¹ ) ^-1

2. Ранг матрицы

Рангом матрицы А, называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Из определения следует:

а) ранг матрицы А(mxn) не превосходит меньшего из его размеров, т.е. r (A)≤ min (m; n);

б) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т. е. A =0;

в) для квадратной матрицы n-го порядка r (A)= n тогда и только тогда, когда матрица А- невырожденная.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Элементарными преобразованиями называются следующие действия:

а) отбрасывание нулевой строки (столбца);

б) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число не равное нулю;

в) изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

г) прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

д) транспонирование матрицы.

3. Системы линейных уравнений

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если оно имеет более одного решения.

Запишем систему в матричной форме. Обозначим:

На основании определения умножения и равенства матриц систему можно записать в виде: АХ = В

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю, т.е. в уравнении B=0, AX=0.

Задание на СРС

1. Решение системы линейных уравнений методом Крамера. [3- cтр.174; 1 – стр. 35]

Форма отчёта: реферат. Срок: 6 дней.

2. Решить задачи ИДЗ-1.2. [2 – стр. 42 ]

Задание на СРСП

1. Теорема Кронекера-Капелли. [1, 3-стр.177]

Контрольные вопросы:

А. Для письменного контроля

1. Что такое обратная матрица? Как находится обратная матрица?

2. Как определяется ранг матрицы? Как определяется транспонированная матрица?

3. Методы решения системы линейных уравнений? Теорема Кронекера-Капелли

4. Решение системы линейных однородных уравнений

Б. Для компьютерного тестирования

1. При каких значениях λ матрица не имеет обратной?

А) 0; В) 2; С) -4; 2; Д) -8; 1.

2. Найти ранг матрицы . А) 0; В) 1; С) 2; Д) 3.

3. Решить систему уравнения методом Крамера.

А) (1;1;1); В) (-1;2;3); С) (-1;-1;2); Д) (-1;-1;-1).

Глоссарий

№	На русском языке	На казахском языке	На английском языке
1	Обратная матрица	Кері матрица	inverse matrix
2	Необходимый	Қажет	indispensable
3	Достаточный	Жектілікті	sufficient
4	Единственный	Дара	singular
5	Система	Жүйе	system
6	Линейный	Сызықты	linear
7	Уравнение	Теңдеу	equation
8	Переменный	Айнымалы	variable
9	Решение	Шешуі	decision
10	Совместная система	Үйлесімді жүйе	combined system

Литература:

Основная:

1. Бугров А. С., Никольский С. М. «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» М: Наука 2002

2. Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по ВМ - М: Наука, 2003

3. К. Кабдыкаир. Курс математики. Алматы, 2005.

4. Д.К. Сыдыкова Математика-1. Методическое руководство к выполнению заданий для СРС. КазГАСА, 2008.

Дополнительная:

5. В. Е. Шнейдер и др «Краткий курс высшей математики» 1,2 том.- М: Высшая школа, 2000

6. Д. В. Клетник «Сборник задач по аналитической геометрии» М.Наука, 2001