Модуль-1 / АРМ №3

2012 КазГАСА Математика 1 Сыдыкова Д.К.

Казахская головная архитектурно-строительная академия Активный раздаточный материал Математика 1 ФОЕНП Кредит 3 1 семестр Лекция №3 «Вектора. Произведения векторов» 2012-2013 уч.год К.т.н., ассоциированный профессор Сыдыкова Д.К.

Краткое содержание лекции

Векторы и скаляры. Линейные действия над векторами.

Вектором а, называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке АВ из этого множества говорят, что он представляет вектор а . Длина отрезка АВ называется длиной (модулем) вектора а и обозначается символом |a|=|AB|. Модуль вектора – это скаляр.

Вектор нулевой длины, называется нулевым вектором и обозначается символом О. Векторы а и в, называются коллинеарными если они параллельны одной прямой. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

В b

a C

c

А

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковый модуль, параллельны и направлены в одну и ту же сторону.

a

b

К линейным действиям над векторами относятся их сложение и умножение вектора на скаляр.

Пусть направленный отрезок АВ представляет вектор а. Приложив к точке В заданный вектор в, получим некоторый направленный отрезок ВС. Вектор, представляемый направленным отрезком АС, называется суммой векторов а и в и обозначается а + в. Суммой векторов а+в+с называется вектор R=OC, замыкающий ломаную ОАВС построенную из данных векторов.

В частности, в параллелограмме, построенном на данных векторах ОА=а и ОВ = в, один вектор – диагональ ОС есть сумма а+в, а другой ВА есть разность а-в. Если дан вектор а=АВ, то вектор ВА называется противоположным вектором к вектору а и обозначается – а. Очевидно, что а+(-а)= 0. Вычесть какой - либо вектор – это значить прибавить противоположный. Отсюда следует, что в + (а - в)=в + [в + (-в)]=а+0=а.

Система векторов аֽ..., аn называется линейно-зависимой, если существуют числа λ1 , ..., λn такие, что хотя бы одна из них отлично от нуля и λ1 а1 + ...+ λn аn =0. В противном случае система называется линейно – независимой.

Проекция вектора.

Пусть вектор а составляет угол φ с осью Ох. Тогда проекция вектора на эту ось определяется формулой пр_е ≤ |а| · cosφ.

Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекцией составляющих векторов на ту же ось:

пр_е (а + в)=пр_еа + пр_ев.

Пусть даны точки А(x₁,у₁,z₁) и В(х₂,у₂,z₂). Проекция вектора а=АВ на оси координат: пр_x АВ=X=х₂-х₁

пр_y АВ=Y=у₂-у₁ (1)

пр_z АВ=Z=z₂-z₁

т.е а = {х₂-х₁; у₂-у₁; z₂-z₁}

Базис. Разложение вектора по базису. Если е₁, е₂, е₃ – базисы, то

а = х₁е₁+х₂е₂+х₃ е₃ (2)

Числа х₁, х₂, х₃ называются координатами вектора а в базисе β=(е₁,е₂,е₃). Запись (2) называют также разложением вектора а по базису β.

Задание на СРС:

1. Вычисление длины вектора, угла между векторами. Свойства скалярного, векторного и смешанного произведения векторов (Конспект. Срок сдачи по графику) [1,5,6]

2. Решить ИДЗ-2.1, 2.2 из [2-стр. 69, 78], по вариантам.

Задание на СРСП:

1. Разложение вектора по базису. [3 – стр. 156 ]

Контрольные вопросы

1.Векторы. 2.Сложение векторов. 3.Проекция вектора на ось. 4.Координаты вектора. 5.Базис. Разложение вектора по базису.

6. Произведения векторов и их свойства.

Вопросы компьютерного тестирования

1) Даны три вершины А(3, -4, 7), В(-5, 3, -2) и С(1, 2, -3) параллелограмма АВСД. Найти его четвертую вершину Д, противоположную В.

2) На оси абсцисс найти точку М, расстояние которой от точки А(3,-3) равно 5.

3) Заданы векторы а=2i+3j, в=-3j-2k и с=i+j-k. Найти разложение вектора а+в-2с по базису β=(i, j, k).

4) Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2, 6), В(2, 8) и точка пересечения его диагоналей

М(2, 2). Найти две другие вершины.

5) Определить координаты концов отрезка, который точками С(2, 0, 2) и Д(5, -2, 0) разделён на три части.

6) Заданы вектора а=2i+3j, в=-3j-2k, c=i+j-k. Найти координаты вектора .

7) Даны точки А (3;-5), В (-1; 1). Определить координаты середины С=АВ.

A (1; -2) B (-1; -2) C (1; 2) D (-1; 2)

8) Даны точки A(-1; 6; 2) и В (3;;4). При каком значении а длина вектора АВ равна 2 ?

A 6 B 12 C –6 и 1 D -6

9) Даны точки С(3;-2;1), D (-1;2;1), M (2;-3;3), N(-1;1;-2), найти cos угла между векторами СD и MN.

A 0,7 B-0,7 C 0,3 D -0,3

10) Даны вершины треугольника А(3:2:-5), В (1;-4:-5), С (-3;0;1). Найти среднюю линию параллельную стороне АС.

A B C D 4

11) Вычислить косинус угла, образованного векторами =(2; -4; 4) и (-3; 2; 6).

А 2; В 2/3; С 4; D 5/21

12) Даны векторы =(-4; -2;-4) , (6;-3;2). Вычислить: (2-3)(+2)

А 40; В 2/3; С4; D-200

13) Даны точки . Найти координаты точки С, делящий отрезок АВ в отношении .

A (1; 1/3; 1) B (2; 1/2; 3) C (2; 7/2; 15/4) D (1/2; 2/3; 3)

14) Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах .

A (1;2;-2) , (-5;8; -4) B (2;-1;1), (-3;2;5) C (2;2;1), (-3;2;4) D (3;2;1), (7;-5;3)

Глоссарий

№	Казахский	Русский	Английский
1	Вектор	вектор	vector
2	Скаляр	скаляр	quantify
3	Байланыс	зависимость	dependence
4	Базис	базис	basis

Литература:

Основная:

1. Бугров А. С., Никольский С. М. «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» М: Наука 2002

2. Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по ВМ - М: Наука, 2003

3. К. Кабдыкаир. Курс математики. Алматы, 2005.

4. Д.К. Сыдыкова Математика-1. Методическое руководство к выполнению заданий для СРС. КазГАСА, 2008.

Дополнительная:

5. В. Е. Шнейдер и др «Краткий курс высшей математики» 1,2 том.- М: Высшая школа, 2000

6. Д. В. Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии» М.Наука, 2001