Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Карельская государственная педагогическая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

систем.урав

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.02.2016

Размер:

124.8 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Учебный центр «Резольвента»

Доктор физико-математических наук, профессор

К. Л. САМАРОВ

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Учебно-методическое пособие для подготовки

кЕГЭ и ГИА по математике

©К. Л. Самаров, 2010

Пример 1. Решить систему уравнений

xy = 8,
		1		1
1	−		=

		y		4
x

Решение.

xy = 8,

−

1 y − x

y − x = 2

x (x + 2)= 8,y = x + 2

x2	+ 2x −8 = 0,	(x + 4)(x − 2)= 0,		x + 4 = 0,	x − 2 = 0,

y = x + 2		y = x + 2		y = x + 2	y = x + 2
		x = −4,	x = 2,

		y = −2	y = 4

Ответ. (−4, − 2); (2, 4)

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Пример 2. Решить систему уравнений

x − y = 6,

x3 - y3 =126

Решение.

x − y = 6,

= y + 6,

x − y = 6,

− y3

=126

+18 y2

x3 − y3 =126

(y + 6)

+108y + 216 − y3 =126

x = y + 6,

+ 6 y +

5 = 0

18 y

2 +108y + 90=0

(y + 5)(y +1)= 0

x = y + 6,

x =1,

x = 5,

= 0

= −1

y + 5 =

y = −5

Ответ.

(1, −5); (5, −1)

Пример 3.

Решить систему уравнений

+ y

= 5

Решение.

6x = y,

y = 6x,

y 6

6x2

- 5x

+1 = 0

1 + xy = 5x

1 + x × 6x = 5x

+ y

= 5

Далее получаем:

6x2 - 5x +1 = 0 Û x =

5 ±

5 ±1

Û x =

, x =

25 - 24

1,2

Следовательно,

y = 6x =

= 2, y

= 6x =

= 3

Ответ.

, 2

;

, 3

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Пример 4. Решить систему уравнений

+ y = −5,

2x − y

= 6

2x − y

Решение.

+ y

= −5,

= −y −5,

− y

2x − y

= 6

y (−y −5)= 6

2x − y

= −y −5,

2x − y

− y

2x − y

+ 5 y + 6 = 0

+ 2)(y + 3)=

= −2

= −y

−5,

= −3,

= −2,

− y

2x +

2x + 3

= −3

= −2

y = −3

1 = −6x − 6,

1 = −4x − 6,

6x = −7,

4x = −7,

= −2

y = −3

y = −2

y = −3

= −

= −3

Ответ.

−

, − 2

;

−

, −

Пример 5.

Решить систему уравнений

x + y =14,

x + y =13

Решение.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru ,

resolventa@list.ru,

(495) 509-28-10

x + y

+ y =

x x + y =14,

13x

y x + y =13

x + y =13

y ×

=13

27x

13x

27x

x +

27x3 =143 ,

13x

y =

3x =14,

x =

13x

y =

13x

y =

Простая проверка показывает, что найденные числа являются решением ис-

ходной системы уравнений.

14 13

Ответ. ,3 3

Пример 6. Решить систему уравнений

+ 2 y

=17,

2 - 2xy = -3

Решение.

Сложив первое уравнение системы, умноженное на 3, со вторым

уравнением системы, умноженным на 17, получим:

3(x2 + 2 y2 )+17(x2 - 2xy )=17 ×3 + (-3)×17 Û 20x2 - 34xy + 6 y2 = 0 Û

Û 10x2 -17xy + 3y2 = 0 Û x

17 y ±

289 y2 -120 y2

17 y ±

169 y2

=Û

1,2

Û=

17 y ±13y

Û x =

4 y

, x =

30 y

Теперь рассмотрим первый случай:

y 2

2 51

+ 2 y

= y

+ 2 = y

=17

Û y

Û y = ±

x =

= ±

Рассмотрим второй случай:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru ,

resolventa@list.ru,

(495) 509-28-10

3y 2

2 9

2 17

2 y

+ 2 y

= y

+ 2

= y

=17

= 4

y = ±2 x =

= ±3

Ответ.

, ±

, (±3, ± 2)

Пример 7. Решить систему уравнений

3x + 4 y + 4z = 6,

+ + =

4x 3y 4z 8,4x + 4 y + 3z = -3

Решение. Сложив все три уравнения системы, получим:

11x +11y +11z =11 x + y + z =1 4x + 4 y + 4z = 4 .

Теперь остается лишь поочередно вычесть из полученного уравнения каждое из уравнений исходной системы:

4x + 4 y + 4z -(3x + 4 y + 4x + 4 y + 4z -(4x + 3y + 4x + 4 y + 4z -(4x + 4 y +

Ответ. x = −2, y = −4, z = 7

Пример 8. Решить систему уравнений

x3 y2 z2

x2 y3 z2

x2 y2 z3

4z )= 4 - 6 x = - 2, 4z )= 4 - 8 y = -4, 3z )= 4 - (-3) z = 7

=1 ,

Решение. Перемножив все три уравнения системы, получим:

	7		7		7		1		1		1		1 7		1		2		2		2		1
x		y		z		=		×		×		=		xyz =		x		y		z		=
x		y		z		=		×		×		=		xyz =		x		y		z		=
							2		4		16		2		2								4

Теперь остается лишь поочередно разделить каждое из уравнений исходной сис-

темы на полученное уравнение:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,									www.resolventa.ru ,									resolventa@list.ru,									(495) 509-28-10
								1									1										1
	x	3	y	2	z	2				x	2	y	3	z	2				x	2	y	2	z	3					1
		3		2		2					2		3		2					2		2		3
							=	2	x = 2,							=	4	y =1,							=	16		z =
	x2 y2 z2						=	1	x = 2,	x	2 y		2 z2			=	1	y =1,	x	2 y		2 z2			=		1	z =	4
	x2 y2 z2							1		x	2 y		2 z2				1		x	2 y		2 z2					1		4


								4									4										4

Ответ. x = 2, y =1, z = 1 4

Пример 9. При каких значениях параметра a система уравнений

ax + y = 3,+ =x ay 3

A.имеет единственное решение?

B.имеет бесконечно много решений?

C.не имеет решений?

Решение. Преобразуем исходную систему уравнений к более удобному для проведения исследования виду:

ax + y = 3,		y = 3 − ax,			y = 3 − ax,

x + ay = 3		x + a (3 − ax)= 3			x + 3a − a2 x	= 3
	y = 3 − ax,			y = 3 − ax,

	x (1 − a2 )= 3(1 − a)		x (1 − a)(1 + a)= 3(1 − a)

Рассмотрим первый случай: a ¹1, a ¹ -1. В этом случае

y = 3 − ax,

y = 3 −

+ a

1 + a 1

x (1

− a)(1

+ a)= 3(1

− a)

x =

1 + a

x =

1 + a

т.е. система уравнений имеет единственное решение.

Рассмотрим второй случай: a =1. В этом случае

y = 3 − ax,				y = 3 − x,		y = 3 −t,	t (−∞, +∞)
	− a)(1	+ a)= 3(1	− a)		= 0
x (1				0		x = t,

т.е. система уравнений имеет бесконечно много решений.

Рассмотрим третий случай: a = -1. В этом случае

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,			resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
y = 3 − ax,			y = 3 + x,
	+ a)= 3(1	− a)		= 6
x (1 − a)(1			0

т.е. система уравнений решений не имеет.

Ответ: При a ¹ 1, a ¹ -1 система уравнений имеет единственное решение, при a =1 система уравнений имеет бесконечно много решений, при a = -1 система

уравнений не имеет решений.

Пример 10. Решить систему уравнений

	2 (x			2	+ y	2	)= 5,
log
			x		+ log				y = 4
2log		4						2

Решение. Заметив, что область определения системы уравнений имеет вид {x > 0, y > 0} , получаем

+ y

= 32,

+ y

= 32,

log2

x + log

2 y = 4

log2 x

2log

+ log2 y = 4

+ y2 = 32,

+ y

= 32,

x2 +

256

= 32,

log2 xy = 4

xy =16

y =

(

)

−32x2 + 256 = 0,

−16

= 0,

=16,

y =

x = 4

x = −4

= 4

y = −4

Отбрасывая отрицательные решения, получаем ответ задачи.

Ответ. (4; 4)

Пример 11. Решить систему уравнений

3x2 +y2 = 81,

log2 x + 2log4 y =1

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Решение. Заметив, что область определения системы уравнений имеет вид {x > 0, y > 0} , получаем

	x	+y		2									x		+y			2			4
3	2			2	= 81,						3			2				2	=		3 ,					x			2		+ y	2	= 4,	x		2	+ y		2	= 4,
																													2			2				2			2

			2						4							2							2				log2 xy =1								xy = 2
			2	x + 2log					4	y =1						2		x + log					2	y =1
log				x + 2log						y =1	log							x + log						y =1
					2		2	2				4		-						2	+ 4 = 0,				(x			2		- 2)		2				2	- 2 = 0,
		x				+				= 4,	x							4x															= 0,	x
		x				+				= 4,	x							4x															= 0,	x
							x									2																						2
																2														2								2
							2				y		=												y =									y =


		y =															x														x							x
		y =					x										x														x							x
							x
																					=
																						2,								2,
																		x				2,			x = -					2,
																					=

																		y					2		y = -					2

Отбрасывая отрицательные решения, получаем ответ задачи.

Ответ. (2; 2 )

Пример 12. Решить систему уравнений

x + 2y+1 = 3,

4x + 4y = 32

Решение.

3 - x

y+1

x + 2 ×

= 3,

x + 2

= 3,

+ 4y

4x + (2y )

3 - x

= 32

4x +

= 32

3 - x

9 - 6x + x2

4x +

16x + 9

- 6x + x

=128

3 - x

-10 ± 100 + 476

+10x -119 = 0

-10 ± 24

1,2

2y =

3 - x

2y =

3 - x

=10

2y = -2

x = -17

x = 7

x = -17

x = 7

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,						resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
Поскольку 2y			> 0 , то вторая система уравнений решений не имеет. В первом слу-
чае получаем:
				2y =10		x = −17

				x = −17	y = log2 10
			x = −17
	Ответ.		x = −17
		y = log2 10

	Пример 13.			Решить систему уравнений
					+ lg x	2	= 2,
						2
				y
						= 28

				y + 4lg x

Решение. Заметив, что область определения системы уравнений имеет вид {x > 0, y ³ 0} , получаем

																												2 -
																												2 -					y
																								lg x =											,
						2																							2
	y + lg x					2	= 2,								y + 2lg x =						2,								2
	y + lg x						= 2,								y + 2lg x =						2,
	+ 4lg x					= 28																							2 -
																																		y
y													y + 4lg x = 28											y										y
																											+ 4										= 28
																											+ 4										= 28
																													2
																													2

																																2 - y
			2 - y															2 - y
																											lg x =												,
																											lg x =												,
lg x =							,								lg x =								,										2
lg x =							,								lg x =								,										2
		2																2
		2																2																		2 ± 4 +					96



y + 4		- 2 y				- 28				= 0					y - 2 y - 24 = 0												( y )						=
y + 4		- 2 y				- 28				= 0					y - 2 y - 24 = 0												( y )						=				2
																													1,2								2
																													1,2
									2 -
													y								2 -												2 -
													y								2 -				y								2 -					y
				lg x =										,			lg x =									,	lg x =													,
				lg x =										,
											2
											2											2														2
				(				)		=		2 ±10				(				)	= 6						(				)		= -4
																			y											y
					y
					y
							1,2				2							1											1
							1,2											1											1

Поскольку y является неотрицательным числом, то второй случай должен быть

отброшен. В первом случае получаем:

	2 -					2 - 6
	2 -	y				2 - 6			1
lg x =			,	lg x =			, lg x = -2,	x =		,
						2

	2								100
	2								100
							y = 36
	= 6				y )= 6

( y )				(				y = 36

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

	1
x =		,
x =	100	,
Ответ.	100

=y 36

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решить системы уравнений

	x + y = 7,
1.	(x2			− y2 )(x − y )=175

	xy = 2,
2.		1		1			3
2.		1	+	1		=	3

					y		2
	x				y		2

x + y = 5,

x3 + y3 = 215

x = 2,y

1 − y = 7x 4

	x − y = 3,
5.
5.	(x2 − y2 )(x + y )=147

		1	+ x = −1,



6.	x + y
6.		x
		x	= −2
	x + y		= −2
	x + y
		1	+ x =1,



7.	x − y
7.		x
		x	= −2
	x − y		= −2
	x − y
		1		+ y = 2,



8.	x + 2 y
8.		y
		y		= −3
				= −3
	x + 2 y

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.02.2016135.68 Кб10семинары.doc
#
27.02.2016138.24 Кб9семинары.doc
#
27.02.2016581.91 Кб5сенсорноая диагностика.docx
#
27.02.2016237.7 Кб23Сергеева (Мультикультурная компетентность).pdf
#
27.02.201642.1 Кб248Серебряный век русской поэзии..docx
#
27.02.2016124.8 Кб4систем.урав.pdf
#
24.09.201970.06 Кб4Скрынников.Б.Г..docx
#
06.08.201951.9 Кб13славянофилы.docx
#
27.02.20164.31 Mб12советы к егэ-2012.pdf
#
06.08.201955.51 Кб2соловьев.docx
#
14.04.2019570.88 Кб12социальное сиротство.doc