Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

алгебр.уравн

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
27.02.2016
Размер:
122.09 Кб
Скачать

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Учебный центр «Резольвента»

Кандидат физико-математических наук, доцент

С. С. САМАРОВА

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике

© С. С. Самарова, 2010 © ООО «Резольвента», 2010

Пример 1. Решить уравнение

3

2x −1

=

 

2x +1

.

(1)

 

 

 

 

x + 2 x +1 x2

+ 3x + 2

 

Решение. Разложим на множители квадратный трехчлен, стоящий в зна-

менателе дроби из правой части уравнения. Для этого сначала нужно найти корни квадратного трехчлена:

x2 + 3x + 2 = 0 Û x = -3 ± 32 - 4 × 2 = -3 ±1 Û x = -2, x = -1.

1,2

 

2

 

 

2

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + 3x + 2 = (x +1)(x + 2)

 

 

и уравнение (1) принимает форму

 

 

 

 

3

 

2x −1

2x +1

 

 

 

 

-

 

=

 

.

 

(2)

 

x + 2

x +1

(x +1)(x + 2)

 

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,

resolventa@list.ru,

(495) 509-28-10 1

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнений (1) и (2) имеет вид:

{x ¹ -1, x ¹ -2}.

Умножая обе части уравнения (2) на выражение

(x +1)(x + 2),

и, производя необходимые сокращения, получаем:

3(x +1) - (2x -1)(x + 2) = 2x +1 Û 3x + 3 - (2x2 - x + 4x - 2)= 2x +1 Û Û 3x + 3 - 2x2 + x - 4x + 2 - 2x -1 = 0 Û -2x2 - 2x + 4 = 0 Û

 

 

Û x2 + x - 2 = 0 Û x = -1 ± 12 + 4 × 2 =

-1 ± 3 Û x = -2, x =1.

 

 

 

 

 

 

1,2

 

2

 

 

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корень x1 = −2 не входит в ОДЗ и должен быть отброшен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решить уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - 3

+

x2 + 4x + 9

= -2

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + 4x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - 3

 

 

 

 

 

 

В результате замены переменного

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x −3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + 4x + 9

 

 

 

совершенной в уравнении (3), получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y +

1

= -2 y2 +1 = -2 y Û y2 + 2 y +1 = 0 Û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Û (y +1)2 = 0 Û y = -1.

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - 3

= -1 x - 3 = -(x2 + 4x + 9)Û x2 + 4x + 9 + x - 3 = 0 Û

 

 

x2 + 4x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Û x2 + 5x + 6 = 0 Û x = -3, x = -2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

Проверка показывает, что оба найденных значения удовлетворяют исходному

уравнению (3).

Ответ: −3, − 2.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 2

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru,

(495) 509-28-10

 

 

Решить уравнение

 

 

Пример 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2 + 3x −5 2x2 + 3x + 9 + 3 = 0

(4)

Решение. Уравнение (4) проще всего решить при помощи замены пере-

менного

 

 

 

2x2 + 3x + 9 = y .

 

 

(5)

В этом случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2 + 3x + 9 = y2

 

 

 

и уравнение (3) принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 - 9 - 5 y + 3 = 0 Û y2 - 5 y - 6 = 0 Û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Û y =

5 ± 52 + 4 × 6

 

=

5 ± 7

Û y = -1, y

 

= 6.

 

 

 

2

1,2

 

 

2

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу того, что переменная y , определенная по формуле (5), является неотри-

цательным числом, значение y1 = −1 должно быть отброшено. Следовательно,

y = 6 2x2 + 3x + 9 = y2 = 36 Û 2x2 + 3x + 9 - 36 = 0 Û

Û 2x

2 + 3x - 27 = 0 Û x =

-3 ±15

Û x = -

18

= -

9

, x = 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

 

 

4

1

4

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

-

,

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решить уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

=1

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

1 − x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1 − x

 

 

 

 

Решение. Уравнение (5) проще всего решить при помощи замены пере-

менного

 

 

x

 

= y .

(6)

 

 

 

 

 

1 − x

 

В этом случае

 

 

 

 

 

x

= y2

 

1 − x

 

 

 

 

иуравнение (5) принимает вид

ООО«Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 3

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,

resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

 

y2

3

y −1 = 0 2 y2 −3y − 2 = 0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

3 ±

 

 

=

3 ± 5

y = −

2

 

 

 

 

 

25

= −

1

, y

 

= 2.

 

 

 

 

 

 

2

1,2

4

 

4

 

1

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу того, что переменная y , определенная по формуле (6), является неотри-

цательным числом, значение y

= −

1

 

должно быть отброшено. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2

 

x

= y2 = 4

 

x

 

= 4 x = 4 − 4x 5x = 4 x =

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

1

x

5

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решить уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x + 2)2 +

 

24

=18

 

 

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4x

 

Решение. Уравнение (7) проще всего решить при помощи замены пере-

менного

x2 + 4x = y .

(8)

В этом случае

(x + 2)2 = x2 + 4x + 4 = y + 4 ,

иуравнение (7) принимает вид

y + 4 + 24 =18 y + 24 −14 = 0 y2 −14 y + 24 = 0

y

 

y

 

 

 

 

y

=

14 ±10

y

= 2, y

 

=12.

 

2

1,2

2

1

 

 

 

 

 

 

 

При y1 = 2 из формулы (8) получаем

x2 + 4x = 2 x2 + 4x − 2 = 0 x1,2 = −4 ± 24 = −2 ± 6 2

x1 = −2 − 6, x2 = −2 + 6.

При y2 =12 из формулы (8) получаем

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 4

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru , resolventa@list.ru,

(495) 509-28-10

 

x2 + 4x =12 x2 + 4x −12 = 0 x =

−4 ±8

x = −6, x = 2.

 

 

 

 

 

 

 

3,4

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2 −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

6;

6; − 6; 2

 

 

 

 

 

Решить уравнение

 

 

 

 

Пример 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x −3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 − x

 

 

(9)

Решение. Заметив, предварительно, что правая часть уравнения (9) должна быть неотрицательным числом и ОДЗ уравнения имеет вид:

x ³ 3,

(10)

возведем обе части уравнения в квадрат:

5 − x = x −3 5 − x = x2 − 6x + 9 x2 −5x + 4 = 0

x1 =1, x2 = 4.

Всилу (10) случай x1 =1 должен быть отброшен. Простая проверка показывает,

что значение x2 = 4 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4 .

Пример 7. Решить уравнение

x + 5

 

=

 

 

 

x + 2

(11)

 

3x −1

 

Решение. Заметив, предварительно, что оба подкоренных выражения в уравнении (9) должны быть неотрицательными числами, возведем обе части уравнения в квадрат:

 

x + 5

 

=

 

 

x + 5

= x + 2 x + 5 = (x + 2)(3x −1)

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

3x −1

 

 

 

 

 

 

 

3x −1

 

 

 

 

x + 5 = 3x2 + 6x x − 2 3x2 + 4x − 7 = 0 x = −4 ±10

x = −

7

, x =1.

 

 

 

 

 

 

1,2

6

1

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение x = −

7

 

должно быть отброшено, поскольку в этом случае подкорен-

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ное выражение из правой части уравнения (11) отрицательно. Простая провер-

ка показывает, что значение x2 =1 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 1.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 5

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,

resolventa@list.ru,

(495) 509-28-10

 

 

 

Решить уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x +

7x2

+ x

= 0 .

(12)

 

 

 

x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переписывая уравнение (12) в виде

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7x2 + x

 

= −2x ,

(13)

 

 

 

 

x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

заметим, что правая часть уравнения (13) должна быть неотрицательной, т.е.

должно выполняться неравенство

-2x ³ 0 Û x £ 0 .

(14)

Также, в силу запрета деления на нуль, должно выполняться соотношение

 

x ¹ -1.

(15)

Для того, чтобы найти корни уравнения (13), возведем обе его части в квадрат:

 

7x2 + x

= 4x2 7x2 + x = 4x2 (x +1) 4x2 (x +1)− 7x2 x = 0

 

 

 

 

 

 

 

x +1

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

)

 

 

(

)

+

 

= 0 x

 

 

 

= 0

 

x 4x

 

x +1

− 7x −1

= 0 x 4x2

4x − 7x −1

 

4x2

−3x −1

x = 0 4x2 −3x −1 = 0 x = 0, x =

3 ± 5

x = 0, x = −

1

, x =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2,3

8

 

1

 

2

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В соответствии с (14) значение x3 =1 должно быть отброшено. Простая провер-

ка показывает, что значения x = 0, x = −

1

являются корнями исходного урав-

 

1

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

нения.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Ответ:

0; −

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

Пример 9. Решить уравнение

 

1

-

1

 

=

2

.

(16)

 

 

 

 

 

 

 

 

x - 2

 

 

x

3

 

 

Решение. В результате замены переменного

x

= y, y ³ 0,

(17)

совершенной в уравнении (16), получаем:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 6

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru ,

resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

1

1

=

2

 

3y −3(y − 2)− 2 y (y − 2)

 

= 0 3y −3(y − 2)− 2 y (y − 2)= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

y − 2 y 3

3y (y − 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

3y −3y + 6 − 2 y2 + 4 y = 0 −2 y2 + 4 y + 6 = 0 y2 − 2 y −3 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

2 ± 4

y = −1, y

 

= 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу (17) значение y1 = −1 должно быть отброшено. Для значения y2 = 3 по-

лучаем:

x = 3, x = 9.

Простая проверка показывает, что найденное значение является корнем исход-

ного уравнения.

Ответ: 9 .

Пример 10. Решить уравнение

4 + x 26 − x2 = x − 2 .

(18)

Решение. Сначала заметим, что правая часть уравнения (18) должна быть неотрицательной, т.е. должно выполняться неравенство

x - 2 ³ 0 Û x ³ 2 .

(19)

Теперь возведем обе части уравнения (18) в квадрат:

4 + x26 − x2 = x − 2 4 + x26 − x2 = (x − 2)2 4 + x26 − x2 = x2 − 4x + 4x26 − x2 = x2 − 4x x26 − x2 x2 + 4x = 0 x (26 − x2 x + 4)= 0

x1 = 0 26 − x2 x + 4 = 0 x1 = 0 26 − x2 = x − 4.

Остается решить уравнение

26 − x2 = x − 4.

(20)

Правая часть уравнения (20) должна быть неотрицательной, т.е. должно выпол-

няться неравенство

x - 4 ³ 0 Û x ³ 4 .

(21)

Возводя обе части уравнения (20) в квадрат, получим:

26 − x2 = x − 4 26 − x2 = x2 −8x +16 2x2 −8x −10 = 0

x2 − 4x −5 = 0 x2 = −1, x3 = 5.

ООО«Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 7

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Итак, мы нашли три значения:

x1 = 0, x2 = −1, x3 = 5.

В силу (19) и (21), значения x1 и x2 должны быть отброшены. Простая проверка показывает, что значение x3 = 5 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 5 .

Пример 11. Решить уравнение

 

 

 

 

 

 

 

3x +10

x + 2

= 2. .

(22)

 

 

Возводя обе части уравнения (22) в квадрат, получим

Решение.

 

 

 

= 2 3x +10 − 2

 

 

 

+ x + 2 = 4

 

3x +10

x + 2

3x +10

x + 2

 

4x +8 = 2

 

 

 

 

 

2x + 4 =

 

 

 

.

 

3x +10

 

x + 2

3x +10

 

x + 2.

Теперь возведем в квадрат обе части полученного уравнения:

2x + 4 =3x +10 x + 2 (2x + 4)2 = (3x +10)(x + 2)

4x2 +16x +16 = 3x2 +10x + 6x + 20 x2 − 4 = 0 x1 = −2, x2 = 2.

Проверка показывает, что оба найденных значения удовлетворяют исходному

уравнению.

Ответ: −2; 2.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решить уравнения:

 

 

x −1

1

 

2 + 3x

1.

1 +

 

+

 

=

 

,

x + 2

x

x (x + 2)

+2t −1 = 4t + 3

2.2 + 2 2t +1 ,t

 

2 y +1 y +1

 

5 y + 4

3.

 

+

 

=

 

,

y −1

2 y +1

(y −1)(2 y +1)

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 8

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

4.12 − 2x + x2 = x + 2 ,

5.−11 +8x x2 = x −3 ,

 

 

x +10

 

=

 

 

 

 

 

 

,

6.

 

 

 

 

 

5x − 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

x +

x2 +8x

= 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

1

=

 

 

2

 

 

 

 

,

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

2

=

 

 

2

 

 

,

 

 

 

 

x 4 − x

10.3x = x3 +8x2 − 6x ,

11.

 

1 −3x

=

x

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

3x

3

 

12. x + x3 + 2x2 −12x = 0 ,

13.3 − 4x = 8x − 6 ,

x

14.x2 − 24 − 2 x2 − 24 =15 ,

ООО«Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 9

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

15.13 − x2 − 213 − x2 = 3 ,

16.x2 − 21 − x2 − 21 = 2 ,

17.10 − x2 10 − x2 = 6 ,

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2 x +1 = 5 ,

 

 

 

 

 

+1

 

 

x +1

19.

1

 

 

 

 

 

1

 

=

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x −1

 

x

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

20.

 

2 − x +

 

 

 

 

 

 

= 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3

 

 

2 − x

21.

 

2x +

6x2 +1 = x +1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

3

,

22.

 

x −1

 

 

x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +1

 

 

 

 

 

x −1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2 ,

23.

3

 

x −1

 

 

 

2x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x +1

 

 

x −1

24.4 + x9x2 +16 = −x + 2 ,

25.

2

x + 4

 

 

1 − 2x

 

=1,

 

 

 

 

1 − 2x

 

x + 4

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-1010

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.