Геометрия теория, 2 семестр / Векторы 2
.docРаздел 3. Векторная алгебра в координатной плоскости
3.1 Основные векторы
Три взаимно перпендикулярные оси ОХ, OY и OZ образуют прямоугольную систему координат (раздел 2). Отложив на этих осях в положительном направлении отрезки ОА, ОВ и ОС, равные единице масштаба, получим три вектора: , и . Они называются основными векторами (ортами) и обозначаются соответственно , и .
3.2 Координаты вектора на плоскости
Если , – орты координатных осей прямоугольной системы координат Оху, то любой вектор единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами aх и aу: . Коэффициенты ах, ау линейной комбинации называют координатами вектора в базисе , . Координаты ах, ау вектора – это его проекции на соответствующие координатные оси. Вектор с координатами ах, ay записывают в виде . Длина вектора определяется по формуле .
Вектор образует с координатными осями Ох и Оу углы α и β соответственно. Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов: cosα, cosβ для которых справедливы равенства , .
Пусть даны два вектора и . Тогда:
-
векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т. е. .
-
векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т. е.: .
-
При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении вектора на число – умножаются на это число: ; .
Вектор , соединяющий начало координат с произвольной точкой называется радиус-вектором точки М. Координаты точки – это координаты ее радиус-вектора или . Если вектор задан точками и , то его координаты ах, аy вычисляются по формулам , : .
Если векторы и заданы своими координатами и то их скалярное произведение находится по формуле: .
3.3 Координаты вектора в пространстве
Если , и – орты координатных осей прямоугольной системы координат Oху, то любой вектор единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами aх и aу: . Коэффициенты ах, ау, аz линейной комбинации называют координатами вектора в базисе , и . Координаты ах, ау, аz вектора – это его проекции на соответствующие координатные оси. Вектор с координатами ах, ау, аz записывают в виде . Длина вектора определяется по формуле: (1.1).
Вектор образует с координатными осями Ох, Оу и Oz углы α, β и γ соответственно. Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов: cosα, cosβ и cosγ для которых справедливы равенства: , , (1.2).
Пусть даны два вектора , . Тогда:
-
векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т. е.
-
векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т. е. (1.3)
При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении вектора на число – умножаются на это число:
Вектор , соединяющий начало координат с произвольной точкой называется радиус-вектором точки М. Координаты точки – это координаты ее радиус-вектора или .
Если вектор задан точками и , то его координаты ах, аy, az вычисляются по формулам: , , : (1.4).
Пример 1: Даны три последовательные вершины параллелограмма: , , . Найти его четвертую вершину D.
Решение:
Обозначим координаты вершины D через х, y, z, т. е. . Так как ABCD – параллелограмм, то имеем: . Находим координаты векторов и : ,т.е. ; . Из равенства векторов и следует, что , , . Отсюда находим: x, , . Итак, .
Пример 2: Найти координаты вектора , если известно, что он направлен в противоположную сторону к вектору , и его модуль равен 5.
Решение:
Можно записать, что . Так как вектор направлен в противоположную сторону к вектору , то . Найдем орт . Из равенства находим . Но . Значит, .
Следовательно, и , т.е. .
Пример 3: Вектор составляет с осями Ох и Оу углы α = 60° и β = 120°. Найти его координаты, если .
Решение:
Пусть х, у, z – координаты вектора , то есть . Координаты вектора найдем из соотношений , , . Предварительно найдем . Так как, то , то есть . Отсюда находим, что или . Условию задачи удовлетворяют два вектора и : с направляющими косинусами , , и с направляющими косинусами , , . Имеем: , , , , , . Отсюда находим: , , и , , . То есть и .
Пример 4: При каких значениях α и β векторы и коллинеарны?
Решение:
Так как , то (см. условие (1.3)). Отсюда находим, что , .
Пример 5: Разложить вектор по векторам и .
Решение:
Требуется представить вектор в виде , где и – числа. Найдем их, используя определение равенства векторов. Имеем: , , и равенство , то есть . Отсюда следует, что , то есть , , следовательно, .
3.4 Векторное произведение векторов
Если векторы и заданы своими координатами , , то , или (3.2).
Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах и применяется формула (3.3).
Векторное произведение может быть выражено формулой (3.4), где – орт направления .
Пример 6: Найти площадь треугольника с вершинами , , .
Решение:
Площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , то есть . Имеем: , . Тогда по формуле (3.2) , то есть . Следовательно, .
3.5 Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор .
Обозначение: .
Таким образом: .
Геометрически смешанное произведение интерпретируется как число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах , и как на ребрах. Смешанное произведение векторов , и положительно, если данные векторы образуют правую тройку, и отрицательно – если левую.
Свойства смешанного произведения:
-
, т. е. смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов;
-
, т. е. смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного умножения;
-
т.е. смешанное произведение меняет знак на противоположный при перемене мест любых двух векторов-сомножителей;
-
, если , и компланарны (в частности, если любые два из перемножаемых вектора коллинеарны).
Если векторы , и заданы своими координатами , , то (4.1).
Если , то , – правая тройка; – левая.
Объем V1 параллелепипеда, построенного на векторах , и , и объем V2, построенной на них треугольной пирамиды, находятся по формулам
, (4.2)
. (4.3)
Пример 7: Доказать, что четыре точки , , , лежат в одной плоскости.
Решение:
Достаточно показать, что три вектора , , , имеющие начало в одной из данных точек, лежат в одной плоскости (то есть компланарны). Находим координаты векторов , , :
;
;
.
Проверяем условие компланарности векторов (свойство 4 смешанного произведения векторов):
.
Следовательно, векторы , и компланарны, а значит, точки , , , лежат в одной плоскости.
Вопросы для контроля
-
Дайте понятие основных векторов (ортов).
-
Линейная комбинация вектора на плоскости и в пространстве. Координаты вектора на плоскости и в пространстве.
-
Формулы для нахождения длины вектора, заданного своими координатами на плоскости и в пространстве.
-
Условия равенства и коллинеарности векторов на плоскости и в пространстве.
-
Операции над векторами, заданными своими координатами на плоскости и в пространстве (сложение, вычитание, умножение на число, скалярное произведение).
-
Направление вектора на плоскости и в пространстве.
-
Радиус-вектор точки на плоскости и в пространстве.
-
Координаты вектора, заданного координатами его концов на плоскости и в пространстве.
-
Векторное произведение векторов, заданных своими координатами. Свойства векторного произведения.
-
Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения.
-
Формула для нахождения смешанного произведения векторов, заданных своими координатами. Применение смешанного произведения векторов для нахождения объема параллелепипеда и треугольной пирамиды.
-
Условие компланарности векторов.