Геометрия теория, 2 семестр / линиии второго порядка
.doc
4.3.109. Найти уравнение касательной к параболе y2= 4x, проведённой из точки А(-2;-1).
Уравнение прямой будем искать в виде
y =kx+b. (3.29)
Так как точка А принадлежит искомой касательной , подставляя её тождество
-1=-2k+b. (3.30)
Далее, прямая (3.29) и парабола y2=4x имеют единственную общую точку (касаются). Следовательно система уравнений
Имеет единственное решение. Решение её относительно x и y . Это можно сделать различными способами, например, возвести правую и левую части первого уравнения в квадрат и подставить в левую часть полученного равенства вместо y2 его выражение из второго уравнения. Получим k2x2+2kbx+b2=4x. Это – квадратное уравнение, имеющее единственное решение в случае, когда дискриминант равен нулю. Таким образом,
= (kb-2)2 - k2b2=0 или 4kb=4, b=. (3.31)
Теперь для параметров k и b прямой (3.29) имеем два условия: (3.30) и (3.31). Следовательно, искомые значения параметров находятся как решения системы из этих условий:
Подстановка вместо b в первое уравнение его выражения из второго , получим -2k2+k+1=0 , откуда находим ,что k1=1, k2=- . Система имеет два решения :
, и
Следовательно, две прямые удовлетворяют условиям задачи. Их уравнения: y=x+1 и y=- -2.