Логика 2013 / Скачков А.С. Логика и теория аргументации

КЛВ можно при помощи синтаксического метода, т. е. посредством знания её наиболее известных законов (тождественно-истинных формул), а также — основных видов умозаключений, содержащих логическое следование.

6.5. Схемы некоторых законов КЛВ

Схемой называется такая запись высказывания, в которой символы А, B, C и т. п. служат обозначением как пропозициональных переменных, так и формул. Схематически выраженными законами КЛВ являются:

1.А А — закон тождества.

2.¬(А¬А) — закон непротиворечия.

3.А¬А — закон исключённого третьего.

4.А (В (А В)),

(А В) ((А С) (А (В С))) — законы введения конъюнкции.

5.А (А В),

В (А В) — законы введения дизъюнкции.

6.(А В) ((А¬В)¬А), (А¬А)¬А — законы введения отрицания.

7.А¬¬А ,

¬¬А А — законы введения и исключения двойного отрицания.

8.(А В) А, (А В) В — законы исключения конъюнкции.

9.((А В)¬А) В,

((А В)¬В) А — законы исключения дизъюнкции (modus tollendo ponens).

10.((А В) А) В,

((А В)¬В)¬А — законы исключения импликации (modus ponens и modus tollens).

11.А (В А) — закон утверждения консеквента.

12.(А (В С)) (В (А С)) — закон перестановочности антецедентов.

13.¬А (А В) — закон отрицания антецедента.

81

14.¬(А В)≡(А¬В) — закон отрицания импликации.

15.(А (В С)) ((А В) (А С)) — закон самодистрибутивности и импликации.

16.(А В) ((В С) (А С)), (А В) ((С А) (С В)) — законы транзитивности импликации.

17.(А В)≡(В А), (А (В С)) — законы коммутативности конъюнкции и дизъюнкции.

18.((А В) С)≡(А (В С)),

((А В) С)≡(А (В С)) — законы ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции.

19. (А (В С))≡((А В) (А С)), (А В)≡(В А) — законы дистрибутивности конъюнкции относительно

дизъюнкции, и наоборот.

20.((А (А В))≡А, (А (А В))≡А — законы поглощения.

21.(А А)≡А, (А А)≡А — законы идемпотентности.

22.((А В) А) А — закон Пирса.

23.(А (В С)) ((А В) С) — закон импортации.

24.((А В) С) (А (В С)) — закон экспортации.

25.(А В) ((А С) (В С)), (А В) ((А С) (В С)) — законы монотонности.

26.(А В) (¬В¬А) — закон контрапозиции.

27.(¬В¬А) (А В) — закон обратной контрапозиции.

28.((А В) С)≡((А¬С)¬В), (А (В С))≡(¬В (¬А С)) — законы сложной контрапозиции.

29.¬(А В)≡(¬А¬В),

¬(А В)≡(¬А¬В) — законы де Моргана.

82

30.(А В)≡¬(А ¬В), (А В)≡¬(¬А ¬В), (А В)≡¬А В, (А В)≡¬(¬А ¬В), (А В)≡((А В) В), (А В)≡(¬А В),

(А В)≡¬(А ¬В) — законы взаимовыразимости пропозициональных связок.

6.6.Основные виды дедуктивных рассуждений, выраженные ЯКЛВ

Входе аргументационного процесса следует осознанно использовать разнообразные формы дедуктивных рассуждений, в связи с чем рассмотрим в парадигме КЛВ основные классы умозаключений, акцентируя внимание на их корректных разновидностях.

ВКЛВ на основе прямых правил вывода строятся следующие основные классы наиболее часто используемых в практике аргументации умозаключений:

1)непосредственные условные умозаключения;

2)чисто условные (чисто гипотетические) умозаключения;

3)условно-категорические умозаключения;

4)чисто разделительные умозаключения;

5)разделительно-категорические умозаключения;

6)разделительно-условные (лемматические) умозаключения.

Условными называются умозаключения, в логической структуре которых в качестве посылок содержатся одно или несколько импликативных суждений.

Поскольку в умозаключении может присутствовать одна или несколько посылок, то будем, как и в силлогистике, различать непосредственные условные и опосредованные условные умозаключения.

Непосредственным условным умозаключением являются такие умозаклю-

чения, в которых из посылки — условного суждения — получают новое условное суждение — заключение.

В свою очередь, антецеденты непосредственного условного умозаключения могут быть как элементарными высказываниями, так и конъюнкцией элементарных высказываний, в связи с чем среди непосредмтвенных условных умозаключений принято различать:

1) простую контрапозицию условного суждения: в таком случае антецедент посылки — элементарное высказывание (см.: закон контрапозиции);

Пример

«Если какой-либо человек является гражданином России, то он имеет российские гражданские права, поэтому если человек не имеет российских гражданских прав, то он не является гражданином России».

83

Формула рассмотренного суждения:

(a b) (¬b¬a).

Или рассуждение: «Поскольку киты не являются рыбами, то не является рыбой касатка. Значит, если касатка — рыба, то рыбами следует признать китов».

Его формула (см.: закон обратной контрапозиции):

(¬a¬b) (b a).

Перечислим все возможные (как уже снабжённые примерами, так и те, примеры которых следует подобрать самостоятельно) схемы достоверных рассуждений по типу простой контрапозиции условного суждения:

1)(A B) (¬B¬A);

2)(¬A¬B) (B A);

3)(A¬B) (B¬A);

4)(¬A B) (¬B A);

2)сложную контрапозицию условного суждения, когда антецедент либо консеквент посылки является конъюнкцией двух элементарных высказываний, а антецедентом либо консеквентом заключения становится конъюнкция одного из этих элементарных высказываний со взятым с отрицанием консеквентом либо антецедентом посылки.

Пример

«Если вы внимательно следите за рассуждением и понимаете его структуру, то можете определиться с его логической состоятельностью. Поэтому, если вы внимательно следили за рассуждением, но не в состоянии определиться с его логической состоятельностью, то вы не понимаете его структуру». Формула рас-

смотренного суждения (см.: закон сложной контрапозиции):

(a b) с) ((а¬с)¬b).

Или: «Если вы внимательно следите за рассуждением и понимаете его структуру, то можете определиться с его логической состоятельностью. Поэтому, если вы понимаете логическую структуру рассуждения, но не в состоянии определиться с его логической состоятельностью, то вы невнимательно следили за рассуждением». Формула рассмотренного суждения:

(a b) с) ((b¬с)¬a).

Логическая форма рассмотренных разновидностей сложной контрапозии условного суждения может быть выражена схемами:

84

((А B) C) ((A¬C)¬B); ((A B) C) ((B¬C)¬A).

Опосредованным условным умозаключением является, например, чисто ус-

ловное, т. е. такое опосредованное умозаключение, в котором посылки являются условными суждениями.

Пример

Если предмет является столицей, то он является городом; если предмет является городом, то он является населённым пунктом; если предмет является населённым пунктом, то он является имеющим название; значит, если предмет является столицей, то он является имеющим название. Первая посылка данного умозаключения — импликативное (условное) суждение, а именно: «Если предмет является столицей, то он является городом» (его формула (a b)). Вторая посылка

— импликативное суждение: «Если предмет является городом, то он является населённым пунктом» (его формула (b c)). Третья посылка — импликативное суждение: «Если предмет является населённым пунктом, то он является имеющим название» (его формула (c d)). Формула импликативного суждения-заключения ((a d)). Общая формула умозаключения рассмотренной логической формы

((a b) (b c) (с d)) (a d).

Другая разновидность чисто-условного умозаключения имеет, например, следующий вид: «Если будет хорошее настроение, то мы будем заниматься английским, но даже если не будет такого настроения, мы всё равно будем заниматься английским; значит, мы будем заниматься английским». Его формула

((a b) (¬a b)) b.

Методом таблиц истинности докажем, что данная формула действительно является законом классической логики высказываний (рис. 24):

Рис. 24

Простейшим видом условных умозаключений, содержащих помимо импликативных суждений-посылок не импликативные суждения-посылки, является ус-

ловно-категорическое умозаключение.

85

Условно-категорическое умозаключение — это такое дедуктивное умозак-

лючение, в котором одна из посылок — условное суждение, а другая — простое категорическое суждение.

Поскольку в логической структуре такого умозаключения простое категорическое суждение выступает не только в роли отдельной посылки, но и элемента логической структуры импликативного суждения-посылки, то оно может быть либо антецедентом, либо консеквентом, либо отрицанием того или другого.

В силу различий качества и местоположения простого категорического суждения в логической структуре импликативной посылки существуют четыре модуса условно-категорического умозаключения, подразделяющиеся по основанию наличия или отсутствия логического следования на модусы правильные и непра-

вильные.

Правильными являются утверждающий и исключающий модусы условнокатегорического умозаключения.

Первый из них принято называть modus ponens, что означает «утверждающий способ рассуждения». В таком случае умозаключение строится от утверждения основания к утверждению следствия.

Пример

Если по металлу пропускают электрический ток, то он нагревается; по металлу пропускают электрический ток, значит, металл нагревается. Формула рассматриваемого в качестве примера сложного высказывания

((a b) a) b.

Это одна из формулировок закона исключения импликации в классической логике высказываний выражается схемой:

((А В) А) В.

Второй правильный модус условно-категорического умозаключения принято называть modus tollens, что означает «отрицающий способ рассуждения». В та-

ком случае умозаключение строится от отрицания следствия к отрицанию основания.

Пример

Если химическое вещество является металлом, то оно электропроводно, но данное химическое вещество не проводит электрического тока, значит, оно не является металлом. Или – Поскольку когда кто-либо является адвокатом, то он является юристом, а Иванов юристом не является, значит, у него нет статуса адвоката. Формула данных высказываний:

((a b)¬b)¬a.

Это формулировка закона исключения импликации также выражаемая схемой: 86

((А В)¬В)¬А.

Не являются правильными следующие, выраженные схемами, способы услов- но-категорических рассуждений:

1)((А В) В) А;

2)((А В)¬А)¬В.

Теперь рассмотрим тип разделительных умозаключений, т. е. содержащих в качестве одной или нескольких посылок дизъюнктивные суждения.

Поскольку в разделительном умозаключении дизъюнктивными суждениями могут быть представлены все или только некоторые посылки, различают:

—чисто разделительные умозаключения;

—разделительно-категорические умозаключения;

—разделительно-условные умозаключения.

Чисто разделительным называется умозаключение, все посылки которого являются дизъюнктивными суждениями.

Пример

Всякое сравнимое суждение является или совместимым, или несовместимым. Всякое несовместимое суждение является или противоречащим, или противо-

положным.

_____________________________________________________________________________________________________________

Всякое сравнимое суждение является или совместимым, или противоречащим, или противоположным.

В парадигме классической логики высказываний данное рассуждение можно трансформировать в следующую цепочку:

«Суждение является сравнимым тогда и только тогда, когда оно либо совместимое, либо несовместимое, и суждение является несовместимым тогда и только тогда, когда это либо противоречащее, либо противоположное суждение, значит, если суждение является сравнимым, то это равнозначно, что оно является или совместимым, или противоречащим, или противоположным».

С учётом произведённой трансформации формула рассматриваемого высказывания выглядит следующим образом:

((a≡(b ¬b) (¬b≡(c d)) ((а≡(b (c d)),

где а — «Суждение является сравнимым», b — «Суждение является совместимым», ¬b — «Суждение не является совместимым», с — «Суждение является противоречащим», d — «Cуждение является противоположным».

87

Докажем методом таблиц истинности, что эта формула также является законом классической логики высказываний (рис. 25):

Рис. 25

Следующая разновидность разделительного умозаключения — это умозаклю-

чение разделительно-категорическое, в котором одна посылка — разделитель-

ное суждение, а другая — простое категорическое суждение. Такое умозаклю-

чение имеет два правильных модуса.

Первым правильным модусом является «отрицающе-утверждающий способ рассуждения» (modus tollendo ponens), в котором вторая посылка — это взятое с отрицанием простое категорическое суждение, являющееся в логической структуре первой посылки одним из суждений-дизъюнктов.

Таким образом, осуществляется переход от отрицания одного (нескольких) из членов дизъюнктивной посылки к утверждению другого его члена, что может быть выражено в случае двухчленной дизъюнкции схемами:

1)((А В)¬А) В,

2)((А В)¬В) А.

Пример

Так как мир иллюзий является либо действительно существующим, либо существующим мнимо и он не является действительно существующим, следовательно, мир иллюзий является существующим мнимо.

Или: «Поскольку все части речи делятся на знаменательные и служебные и рассматриваемая часть речи не является служебной, значит, рассматриваемая часть речи является знаменательной». В дальнейшем, в рамках натурального ис-

88

числения высказываний данная схема будет означать одно из правил вывода: правило исключения дизъюнкции.

Логический союз «или» в modus tollendo ponens обеспечивает логическое следование при его использовании в любом из возможных смыслов (как в смысле строгой, так и нестрогой дизъюнкции), поэтому законами классической логики высказываний являются четыре формулы данного модуса:

1)((a b)¬a) b;

2)((a b)¬b) a;

3)((a b)¬b) a;

4)((a b)¬b) a.

Вторым правильным модусом является «утверждающе-отрицающий способ рассуждения» (modus ponendo tollens), в котором второй посылкой служит простое категорическое суждение, являющееся в логической структуре первой посылки одним из суждений-дизъюнктов. Так осуществляется переход от утверждения одного (нескольких) из членов дизъюнктивной посылки к отрицанию другого его члена, что может быть выражено в случае двухчленной дизъюнкции только двумя схемами:

1)((А В) А)¬В,

2)((А В) В)¬А.

Пример

Поскольку всякое тяготеющее тело в одно и то же время может находиться только в одном месте из двух и это тяготеющее тело в настоящее время находится в данном месте, то это тяготеющее тело в настоящее время не находится в другом месте.

Или: «В силу того, что любая дилемма является простой или сложной и сложная деструктивная дилемма — именно сложная, то сложная деструктивная дилемма не является простой».

Очевидно, что логический союз «или» в modus ponendo tollens обеспечивает логическое следование только при его использовании в смысле строгой дизъюнкции, употребление же этого союза в смысле нестрогой дизъюнкции логического следования не даёт, поэтому законами классической логики высказываний являются две формулы данного модуса:

1)((a b) a)¬b,

2)((a b) b)¬a.

Разделительно-условные или условно-разделительные (лемматические)

умозаключения состоят из посылок, имеющих структуру импликативных и дизъюнктивных суждений.

89

Взависимости от числа содержащихся в посылках импликативных суждений

исоответственно членов дизъюнкции лемматические умозаключения могут иметь форму дилеммы (содержит два импликативных суждения и два дизъюнкта), трилеммы (содержит три импликативных суждения и три дизъюнкта), полилеммы (содержит более чем три импликативных суждения и такое же число дизъюнктов).

Дилемма (от греч. δις - дважды и λημμα — лемма, предположение, посылка)

— это лемматическое умозаключение, в первой из посылок которого содержатся два импликативных суждения, во второй — дизъюнктивное, составленное из двух дизъюнктов суждение.

Поскольку суждения, являющиеся в логической структуре импликаций первой посылки антецедентами, либо консеквентами, а в логической структуре второй посылки взятыми без отрицания либо с отрицанием дизъюнктами, могут находиться в импликативной связи (имплицировать или быть имплицированными) с одним или двумя (тремя для трилемм и т. д.) суждениями, то следует различать две разновидности дилемм (в целом — две разновидности лемм): простую ди-

лемму и сложную дилемму.

Простая дилемма — это такая разновидность дилемм, в логической структуре которой взятые без отрицания либо с отрицанием суждениядизъюнкты второй посылки являются антецедентами или консеквентами суждений первой посылки, импликативно связанными только с одним суждением.

Пример Вариант А (с взятыми во второй посылке без отрицания дизъюнктами в каче-

стве антецедентов первой посылки):

Если по металлу пропускать электрический ток, то он нагреется, и если металл расплющивать, то он нагреется.

Известно, что по металлу пропускают электрический ток, или расплющивают

металл.

_____________________________________________________________________________________________________________

Металл нагреется.

Или «Если будешь переправляться через эту реку вброд, то вымокнешь; если станешь будешь переправляться через эту реку вплавь, то тоже вымокнешь; через эту реку можно переправляться вброд или вплавь, значит, при переправе через эту реку непременно вымокнешь».

Формула приведённых примеров:

((a c) (b c)) (a b)) c,

где в первом примере: а — суждение «По металлу пропускают электрический ток», являющееся дизъюнктом второй посылки и одним из антецедентов первой посылки, b — суждение «Металл нагревается», являющееся дизъюнктом второй

90