Методика изучения интеграла

Тема: Методика изучения интеграла

План:

1. Понятие первообразной

2. Криволинейная трапеция

3. Применение интегралов для вычисления площадей и объемов фигур

(1) Перед введением понятия интеграла вводится понятие первообразной. Поэтому необходимо повторять понятие производной, физического смысла производной. С этой целью целесообразно провести математический диктант с последующей проверкой. Вопросы типа:

Хотим показать, что для любой функции производная единственна, а для первообразной

производной может быть несколько функций.

Обратим внимание учащихся на то, что разные функции могут иметь одну и туже производную. И с точки зрения физики важно знать путь, зная скорость.

Проблема, как найти закон движения, если известен закон скорости. Учащиеся знают, что по закону движения можно найти закон скорости с помощью операции дифференцирования. Возникает обратная проблема. Эти операции в математике получили новое название – интегрирование.

Прежде чем вводить понятие интегрирование, как правило, сначала рассматривается понятие первообразной. В слабом классе путем практической работы для конкретных функций. Как закон скорости восстановить закон движения.

Приводим 5-6 примеров и убеждаем учащихся в том, что можно восстановить функцию по ее производной.

Функция называется первообразной функции на заданном промежутке, если для из этого промежутка .

Для того, чтобы учащиеся сознательно отличали производную от первообразной на первых парах должен быть четкий алгоритм .

После закрепления понятия первообразной изучаются ее свойства:

1. - первообразная суммы равна сумме первообразных.

2. - постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.

3. По правилу вычитания производной сложной функции имеем: .

Эти свойства должны быть проиллюстрированы на конкретных примерах и теоретически обоснованы.

Изучение этих свойств может быть проведено в проблемно-поисковом плане. Пример: для подготовки доказательства признака постоянства функций предложить учащимся (1-2 человека) подготовить это доказательство.

План доказательства:

1. Один ученик у доски записывает это доказательство.

2. Второй ученик работает с классом фронтально. Разбивает доказательство по шагам. Все остальные записывают это доказательство в тетрадь. На конкретных примерах доказывают, что является первообразной для на промежутке. Например:

Семейство первообразных.

Любая первообразная для этой функции будет иметь вид: .

Теорема. Любая первообразная для функции на промежутке может быть записана в виде .

Продемонстрировать закрепление этой теоремы упражнениями типа:

1. Доказать, что функция является первообразной функции…

2. Найти первообразную функции

Проблемный вопрос: как зафиксировать некоторую первообразную из семейства первообразных? Оказывается, достаточно найти первообразную и подставить вместо аргумента ее значение.

Другой тип упражнения:

При доказательстве теоремы после предварительной работы идет рассмотрение конкретных примеров и обобщение в результате ответа на вопрос: как доказать, что - тоже первообразная для ?

Если известно, что является первообразной для , то по определению первообразной находим производную от . Она будет равна .

Фактически доказали теорему по определению. После доказательства рассмотрим конкретную функцию . Задание:

• Запишите любые первообразные для функции

• Запишите три первообразных для функции

• Что является геометрическим образом первообразной?

• Как получить из графика любой другой график?

Предложить учащимся не график функции, а график первообразной и дать задание найти саму функцию.

По графику первообразной спрашиваем у учащихся, график какой функции в каждой точке имеет угловой коэффициент равный единице? Построить график этой функции.

После рассмотрения этих вопросов составляется таблица первообразных.

- по таблице производных это . А если соображать по определению .

(2) Криволинейная трапеция.

Фигуру, ограниченную графиком функции , параллельными прямыми , отрезком , называют криволинейной трапецией.

Абстрактно дедуктивный метод: без подготовки вводим любое определение. После введения определения криволинейной трапеции и отработки (закрепления этого понятия) с применением конкретных примеров необходимо сформулировать представление учащихся о том, что площадь криволинейной трапеции будет функция, если брать из отрезка .

То есть, каждому значению из промежутка будет соответствовать свое значение площади.

- площадь криволинейной трапеции

Подошли к теореме интеграла Ньютона-Лейбница.

После введения понятия криволинейной трапеции можно ввести определение интеграла.

(3) Применение интегралов для вычисления площадей и объемов фигур.

Работа:

Работа электрического поля по перемещению одного заряда из в :

Масса:

Электрический ток:

Дополнение.

Мишин

Теорема. Пусть - непрерывная функция, неотрицательная на отрезке , - площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если есть первообразная для на отрезке , то (рис. 1).

Рассмотрим функцию , определенную на отрезке . Если , то . Если , то - площадь части криволинейной трапеции, расположенной левее прямой, проходящей через точку . При этом . Докажем, что . Приведем одно из доказательств этого утверждения, по аналогии с которым будет позже доказано утверждение , где - площадь сечения для объема тела.

Рис 1, 2.

Рис 3.

Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Каждому значению из этого отрезка соответствует площадь криволинейной трапеции; при этом - площадь криволинейной трапеции, соответствующей отрезку . Докажем сначала, что для всех на интервале . Пусть . Рассмотрим значение из этого интервала. Приращение функции выразится разностью , которая равна площади криволинейной трапеции с основанием, равным , если , и площади этой криволинейной трапеции, взятой со знаком «минус», если .

Таким образом, можно записать, что площадь криволинейной трапеции выразится как (рис. 2, 3).

Так как функция непрерывна в точке , то выполняется условие . Это означает, что для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , или (1).

Рис. 4.

Если , то для всех , таких, что при (или при ), неравенство (1) выполняется. Поэтому (рис. 4) криволинейная трапеция с основанием, равным , содержит в себе прямоугольник с тем же основанием и высотой и в то же время содержится внутри прямоугольника с тем же основанием и высотой . Значит, . Поэтому для всех выполняется условие (2).

Так как - возрастающая функция (площадь криволинейной трапеции увеличивается с увеличением ), то , и неравенства (2) можно записать в виде , или . Но это означает, что .

Так как - произвольная точка интервала , то утверждение доказано для всех точек этого интервала.

Для точек и доказательство аналогично, но придется рассматривать соответственно и (то есть, правую и левую производные). Таким образом, доказано, что для любого из интервала выполняется равенство , то есть является первообразной для функции на .

Существуют и другие доказательства, в частности такие, где рассматривается только случай, когда функция возрастает (или убывает), а для вычисления площади криволинейной трапеции делят отрезок на промежутки монотонности функции .

Приведенный здесь способ носит более общий характер и удобен тем, что легко переносится на вычисление объема.

Учитывая относительную сложность доказательства, можно рекомендовать его для сильных учеников.

Выведем теперь формулу площади криволинейной трапеции. Как одна из первообразных функции функция выражается через любую другую первообразную этой функции по формуле .

Найдем постоянную , используя то, что .

Отсюда . Как выяснено ранее, - это площадь данной криволинейной трапеции. Получили формулу , где .

Примеры. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями, уравнения которых заданы:

1. 

2. 

3. 

Во всех этих примерах значения и даны в условии задачи, поэтому площадь вычисляется путем прямого применения формулы.

Имея в распоряжении знак неопределенного интеграла, можно было бы несколько короче записать решение задач. Например, вместо записи «Одна из первообразных функции есть » появится запись: .

Поставим задачу вычислить объем тела, у которого известна площадь любого сечения, перпендикулярного некоторой оси . Пусть тело располагается при этом между плоскостями, перпендикулярными оси и проведенными через точки и на ней. Обозначим площадь сечения и будем рассматривать только случай, когда функция (площадь сечения, проведенного через точку ) непрерывна на . Наряду с этой функцией будем рассматривать функцию , где - объем части тела, отсекаемой плоскостью, проведенной через точку на оси .

Пусть сечения тела таковы, что из любых двух сечений тела плоскостью, перпендикулярной оси , одно проектируется внутрь другого или с ним совпадает.

Докажем, что при этих условиях при .

Ход рассуждений будет точно таким же, как при выводе формулы площади криволинейной трапеции.

Найдем производную функции в точке . Функция непрерывна, поэтому, каково бы ни было положительное число , найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие .

Если выбрать так, что , то для всех , таких, что при или при выполняется неравенство , или .

Поэтому слой тела, отсекаемый плоскостями, проведенными через точки и , заключен внутри прямого цилиндра с площадью основания и высотой и содержит в себе цилиндр с площадью основания и высотой . Значит, приращение объема по модулю заключено между объемами этих цилиндров: . Отсюда, так как - возрастающая функция, то есть, и имеют одинаковые знаки, можно записать , что означает , или , то есть, .

Итак, для всех точек интервала ; - непрерывная на отрезке функция, то есть, - первообразная функция для на отрезке (можно воспользоваться правой и левой производной соответственно в точках и ).

После этого можно провести те же рассуждения, что и при выводе формулы для площади криволинейной трапеции, а именно выразить через любую первообразную функции как , найти и так далее.

Получим формулу где .

Формулу можно применить для вычисления объемов большинства тел, которые изучаются в курсе геометрии (пирамида, конус, шар), и для решения задач на вычисление объемов тел, полученных вращением вокруг оси графика функции . Выбор задач ограничивается только запасом формул интегрирования, который имеется в распоряжении учащихся.