Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
тесты / ТВиМС / Лекции по ТВиМС / Тема 11 Плотность вероятности. Числовые характеристики. Моменты случайных величин.doc
Скачиваний:
68
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
191.49 Кб
Скачать

Текст лекции

Введение в лекцию:

На лекции № 8 мы лишь рассмотрели формы закона распределения для дискретных и непрерывных случайных величин. Если вычислить вероятность появления непрерывной случайной величины не составляет особого труда, то решение основной задачи теории вероятностей для непрерывной случайной величины несёт большие трудности. Поэтому в материалах сегодняшней лекции мы рассмотрим методы определения вероятности попадания непрерывной случайной величины на интервал с помощью плотности распределения.

Учебные вопросы лекции:

1. Плотность распределения непрерывной случайной величины для определения вероятности попадания случайной величины на интервал

1.1. Плотность распределения

Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток. По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.

Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если её функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением (может быть, конечного числа точек).

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения (см. лекцию тема № 10).

Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.

Геометрически вероятность Р(а < Х < b) представляется в виде заштрихованной области, ограниченной кривой распределения и осью 0х на интервале(a;b) (рис 1)

f(х)

f(b)

f(а)

а bх

Рис. 1

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:

1.2. Свойства плотности распределения

1) Плотность распределения – неотрицательная функция.

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -  до  равен единице.

Плотность распределения

можно представить как:

тогда

Поэтому иногда функцию плотности распределения f(х)называют такжедифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения величины Х, а функцию распределенияF(x) -интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Следует заметить, что интеграл возможно трактовать как сумму бесконечно большого числа несовместных элементарных событий, каждое из которых заключается в попадании случайной величины в бесконечно малый участок (х, х +dх) и имеет вероятность:

Величину f(x)dx называют элементом вероятности.

По своему содержанию элемент вероятности есть вероятность попадания случайной величины Х на элементарный участок dх, прилежащий к точке Х.

Функция распределения случайной величины Х по известной плотности распределения может быть найдена, как интеграл от плотности распределения в интервале от -до х.

В схеме непрерывных случайных величин можно вывести аналогии формулы полной вероятности и формулы Бейеса, рассмотренные при изучении темы 3, 4.

Обозначим Р(Ах)условную вероятность события А при условииХ= х. Заменяя в формуле полной вероятности вероятность гипотезы элементом вероятностиf(x)dx, а сумму – интегралом, получим полную вероятность событияА.

Данная формула называется интегральной формулой полной вероятности.

Соответствующий аналог в схеме непрерывных случайных величин имеет и формула Бейеса. Обозначив условную плотность распределения случайной величины Хпри условии, что в результате опыта появилось событиеАчерез, получим:

Данная формула называется интегральной формулой Бейеса.