Метод частных средних

Среднее, связанное с определенными предположениями или вычисленное при определенных условиях, называется частным, условным или групповым средним. Частные средние переменных xиyвычисляются по формулам:

где - частное среднее переменнойxдля i–группы значений переменнойy(значения переменнойyразбитыqгрупп),- частное среднее переменнойyдляp-группы значений переменнойx(значения переменнойxразбиты наsгрупп);n_jиn_p– число отдельных значений в группеjи группеp;

Пример

Время наблюю-дения	№ наблюю-дения	y (общая сумма налогов и платежей в консолидированный бюджет РФ), млрд. руб.	№ группы значений y	x (общая сумма поступлений в консолидированный бюджет РФ по НДС), млрд. руб.	№ группы значений x
январь	1	38,9	1	13,4	1
февраль	2	45,3	1	15,4	2
март	3	61,1	2	16,7	3
апрель	4	70,4	2	16,2	3
май	5	63,8	2	13,0	1
июнь	6	67,7	2	15,0	2
июль	7	70,6	2	20,8	5
август	8	78,9	3	16,4	3
сентябрь	9	73,2	3	17,4	4
октябрь	10	78,1	3	23,6	6
ноябрь	11	103,0	4	23,9	6
декабрь	12	133,4	5	34,4	7

Группировка значений переменной yпостроена так, что вариация значений переменнойy_iиy_jиз одной группы не превосходит 10.

Группировка значений переменной xпостроена так, что вариация значений переменнойx_iиx_jиз одной группы не превосходит 1.

Представим полученные значения частных средних графически. Для этого из точек, соответствующих значениям переменной x, нужно восставить перпендикуляры к оси абсцисс и отложить их на значения. Вершины ординат нужно последовательно соединить прямолинейными отрезками, то есть прямое соединяем следующие точки:

М₁(13,2; 42,1); М₂(15,2; 42,1); М₃(16,4; 66,7); М₄(16,4; 66,7);

М₅(13,2; 66,7); М₆(15,2; 66,7); М₇(20,8; 66,7); М₈(16,4; 76,7);

М₉(17,4; 76,7); М₁₀(23,7; 76,7); М₁₁(23,7; 103,0); М₁₂(34,4; 133,4).

Эмпирическая линия регрессии yнаx:

Эмпирическая линия регрессии xнаyне совпадает с эмпирической линией регрессииyнаx. Поэтому при изучении зависимости необходимо отмечать направление зависимости между изучаемыми переменными.

Простая линейная регрессия

Простой регрессией называется односторонняя стохастическая зависимость результативной переменной только от одной объясняющей переменной:

Простая линейная регрессия задается следующей формулой:

b₀ иb₁– неизвестные параметры регрессии; имеютсяnнаблюдений над переменнойx:x₁,x₂, …,x_n;b₀выполняет в уравнении регрессии функцию выравнивания;b₁характеризует наклон прямой к оси ОХ.

b₁– это мера, которая в среднем показывает влияние изменения объясняющей переменнойxна зависимую переменнуюy. При экономических исследованиях чаще интересуются не столько самой прямой регрессии, сколько влиянием, которое одно экономическое явление оказывает на другое, т.е. речь идет о вычислении коэффициентов регрессии.

Если b₁>0, то регрессия является положительной, приb₁<0 регрессия является отрицательной. Значения функции регрессииŷ_i(предсказанные и рассчитанные) являются оценками средних значений переменнойyдля некоторого фиксированного значения переменнойx.

После экономического анализа можно приступать к выравниванию опытных данных, заключающемуся в построении гипотетической линии. При этом требуется минимизировать ошибки при определении формы связи между переменными. Эти ошибки обнаруживаются через отклонения û_iэмпирических данных от значений регрессииŷ_i. Они являются значениями возмущающей переменнойu:

, i = 1, …, n.

В качестве меры отклонения функции от набора наблюдений можно взять:

• сумму квадратов отклонений:

• сумму модулей отклонений:

• , где g– некоторая мера. Например, в качестве меры можно взять функцию Хубера, которая при малых отклонениях квадратична, а при больших линейна:

Каждая из указанных мер отклонений имеет свои недостатки и достоинства. Мера суммы квадратов отклонений обладает легкостью вычислений, простотой математических выводов, хорошими статистическими свойствами, но чувствителен к выбросам.

Мера суммы модулей не чувствительна к выбросам, но сложна в вычислениях и неоднозначна.

Мера Хубера является попыткой совместить достоинства двух предыдущих методов.

Самым распространенным и теоретически обоснованным является метод нахождения коэффициентов, при котором минимизируется первая сумма. Он получил названия метода наименьших квадратов.