5. Суть, причины и последствия автокорреляции.

Одной из предпосылок регрессионного анализа является независимость случайного члена в любом наблюдении от его значений во всех других наблюдениях, т.е. .

Если данное условие не выполняется, то говорят, что случайный член подвержен автокорреляции. Поскольку значения случайных членов неизвестны, то проверяется статистическая некоррелированность остатков, в частности двух последовательныхи. Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов.

Пусть - коэффициент корреляции между двумя соседними случайными членамии:

• если > 0, то автокорреляция положительная;

• если < 0, то автокорреляция отрицательная;

• если = 0, то автокорреляция отсутствует, и третье условие Гаусса-Маркова удовлетворяется.

Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить следующие.

Ошибки спецификации: неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии.

Инерция в изменении экономических показателей: многие экономические показатели обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюнктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей.

Эффект паутины: экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием. Например, большая цена сельхозпродукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а, следовательно, цена на нее снизится и т.д.

Сглаживание данных: данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам.

Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности:

1. Оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными.

2. Дисперсии оценок являются смещенными (заниженными), это влечет увеличение t-статистик, и признанию статистически значимыми объясняющие переменные, которые такими не являются.

3. Оценка дисперсии регрессии S²является смещенной (заниженной).

4. Выводы по t- и поF-статистикам оказываются неверными, из-за чего ухудшаются прогнозные качества модели.

6. Обнаружение автокорреляции.

В силу неизвестности значений параметров регрессии неизвестными будут также и истинные значения отклонений , поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок, полученных из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.

Графический метод. Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Один из них состоит в анализе последовательно-временных графиков. По оси абсцисс откладывают время, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения(Рис. 1).

Рис. 1.

Естественно предположить, что на рис. 1, а - гимеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. 1,дскорее всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.

Например, на рис. 1, ботклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости. Более того, можно утверждать, что в этом случае имеет место положительная автокорреляция остатков. Она становится весьма наглядной, если график 1,бдополнить графиком зависимостиот(рис. 2).

Рис. 2

Подавляющее большинство точек на этом графике расположено в I и III четвертях декартовой системы координат, подтверждая положительную зависимость между соседними отклонениями.

Современные ППП решение задач построения регрессии дополняют графическим представлением результатов: график реальных колебаний зависимой переменной накладывается на график колебаний переменной по уравнению регрессии. Сопоставление этих графиков часто дает возможность выдвинуть гипотезу о наличии автокорреляции.

Метод рядов. Последовательно определяются знаки отклонений. Например,

(-----)(+++++++)(---)(++++)(-), т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называют длиной ряда. Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция. Пустьn– объем выборки,n₁иn₂– общее количество, соответственно, знаков «+» и «-»,k– количество рядов.

При достаточно большом количестве наблюдений (n₁> 10,

n₂> 10) и отсутствии автокорреляции случайная величинаkимеет асимптотически нормальное распределение с

; .

Тогда, если , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

Число определяется по таблице функции стандартного нормального распределения из равенстваF() =. Например, при,=1,96 и при,=2,58.

Для небольшого числа наблюдений (n₁< 20,n₂< 20) разработаны таблицы критических значений количества рядов приnнаблюдениях. Суть таблиц в следующем.

На пересечении строки n₁и столбцаn₂определяются нижнееk₁и верхнееk₂значения при уровне значимости(Рис.3).

автокорреляция > 0 автокорреляция = 0 автокорреляция < 0

______kk₁_________k₁<k<k₂_________kk₂____________

k₁k₂

Рис.3.

Пример 1. Пусть изучается зависимость среднедушевых расходов на конечное потреблениеyот среднедушевого доходахпо данным некоторой страны за 16 лет.

Исходные (и расчетныедля примера 3) данные (усл.ед.) представлены в следующей таблице:

1	70	73	0,18	-	-
2	73	76	0,76	37,51	38,99
3	78	83	0,12	40,99	44,47
4	83	89	0,28	43,45	46,92
5	86	95	-1,55	43,92	49,88
6	89	100	-2,58	45,4	51,83
7	96	107	-1,22	50,88	56,3
8	96	108	-2,03	47,33	53,75
9	103	113	0,94	54,33	58,24
10	109	119	2,1	56,78	61,71
11	112	121	3,49	56,74	60,66
12	114	122	4,69	57,22	60,65
13	115	131	-1,56	57,2	69,14
14	118	135	-1,79	59,7	68,58
15	122	139	-1,01	62,17	70,55
16	123	140	-0,82	61,15	69,53